18.2: Електричний потенціал

Як ви пам'ятаєте, ми визначили електричне поле\(\vec E(\vec r)\), яке повинно бути електричною силою на одиницю заряду. Визначивши електричне поле всюди в просторі, ми змогли легко визначити силу на будь-якому випробувальному заряді\(q\), чи є тестовий заряд позитивним або негативним (так як знак\(q\) буде змінювати напрямок вектора сили,\(q\vec E\)): \[\begin{aligned} \vec E(\vec r) &= \frac{\vec F^E(\vec r)}{q}\\ \therefore \vec F^E(\vec r)&=q\vec E(\vec r)\end{aligned}\]Аналогічним чином ми визначаємо електричний потенціал\(V(\vec r)\), який повинен бути електричним потенціалом енергії на одиницю заряду. Це дозволяє визначити електричний потенціал\(V(\vec r)\), всюди в просторі, а потім визначити потенційну енергію конкретного заряду\(q\), просто множивши\(q\) з електричним потенціалом в цьому положенні в просторі. \[\begin{aligned} V(\vec r) &= \frac{ U(\vec r)}{q}\\ \therefore U(\vec r)&= q V(\vec r)\end{aligned}\]Одиницею S для електричного потенціалу є «вольт», (V). Електричний потенціал - це скалярне поле\(V(\vec r)\), значення якого є «електричним потенціалом» в такому положенні в просторі. Позитивний заряд\(q=1\text{C}\), таким чином, матиме потенційну енергію,\(U=10\text{J}\) якщо він розташований у положенні в просторі, де знаходиться електричний потенціал\(V=10\text{V}\), оскільки\(U=qV\). Аналогічно, негативний заряд\(q=-1\text{C}\), буде мати негативну потенційну енергію\(U=-10\text{J}\), в тому ж місці.

Оскільки лише відмінності в потенційній енергії є фізично значущими (оскільки зміна потенційної енергії пов'язана з роботою), лише зміни електричного потенціалу є фізично значущими (оскільки електричний потенціал пов'язаний з електричною потенційною енергією). Різниця в електричному потенціалі прийнято називати «напругою». Часто робиться чіткий вибір того, де електричний потенціал дорівнює нулю (як правило, земля, або нескінченно далеко), так що термін напруга використовується для опису потенціалу\(V\), замість різниці потенціалу\(\Delta V\); це слід робити лише тоді, коли зрозуміло, де Визначено розташування нульового електричного потенціалу.

Ми можемо описати вільнопадаючу масу, заявивши, що маса рухається з області, де вона має високу гравітаційну потенційну енергію, в область нижчої гравітаційної потенційної енергії під впливом сили тяжіння (сила, пов'язана з потенційною енергією), завжди діє в напрямку зменшення. потенційна енергія). Те ж саме стосується електричної потенційної енергії: заряди завжди відчуватимуть силу в напрямку, щоб зменшити свою енергію електричного потенціалу. Однак позитивні заряди відчуватимуть силу, яка рухає їх від областей високого електричного потенціалу до областей з низьким електричним потенціалом, тоді як негативні заряди відчуватимуть силу, яка рухає їх від областей низького електричного потенціалу до областей з вищим електричним потенціалом. Це пояснюється тим, що для негативних зарядів зміна потенційної енергії, пов'язаної з переміщенням через простір\(\Delta U\), буде негативом відповідної зміни електричного потенціалу\(\Delta U=q\Delta V\), оскільки заряд\(q\), негативний.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Електричний потенціал збільшується вздовж\(x\) axis. A proton and an electron are placed at rest at the origin; in which direction do the charges move when released?

1. протон рухається в бік негативного\(x\), в той час як електрон рухається в бік позитивного\(x\).
2. протон рухається в бік позитивного\(x\), в той час як електрон рухається в бік негативного\(x\).
3. протон і електрон рухаються в бік негативного\(x\).
4. протон і електрон рухаються в бік позитивного\(x\).

Відповідь

Якщо єдиною силою, що чиниться на частинку, є електрична сила, а частинка рухається в просторі таким чином, що електричний потенціал змінюється на\(\Delta V\), ми можемо використовувати збереження енергії для визначення відповідної зміни кінетичної енергії частинки:

\[\begin{aligned} \Delta E&=\Delta U+\Delta K=0 \\ \Delta U&=q\Delta V \end{aligned}\]

\[\therefore \Delta K=-q\Delta V\]

де\(\Delta E\) - зміна загальної механічної енергії частинки, яка дорівнює нулю при збереженні енергії. Кінетична енергія позитивної частинки збільшується, якщо частка рухається з області високого потенціалу в область низького потенціалу (як\(\Delta V\) би негативна і\(q\) позитивна), і навпаки для негативної частинки. Це має сенс, так як позитивна і негативна частка відчувають сили в протилежних напрямках.

Для того щоб описати енергії таких частинок, як електрони, зручно використовувати іншу одиницю енергії, ніж Джоуль, щоб задіяні величини не були на порядки менше 1. Поширеним вибором є «електронвольт»,. Один електронвольт відповідає енергії, набутої частинкою із зарядом\(e\) (заряд електрона), коли вона прискорюється різницею потенціалів\(1\text{V}\):\[\begin{aligned} \Delta E &= q\Delta V\\ 1\text{eV}&=(e)(1\text{V})=1.6\times 10^{-19}\text{J}\end{aligned}\] електрон, який прискорився від спокою через область з \(150\text{V}\)Різниця потенціалів через нього матиме кінетичну\(150\text{eV}=2.4\times 10^{-17}\text{J}\). Як бачите, простіше описати енергію електрона в електронвольтах, ніж Джоулі.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Частка рухається від електричного потенціалу\(-260\text{ V}\) to an electric potential of \(-600\text{ V}\) and loses kinetic energy. What is the charge of this particle?

1. Нейтральний.
2. Це може мати позитивний або негативний заряд.
3. Позитивні.
4. Негативні.

Відповідь

думки Джоша

У фізиці часто корисно взяти раніше вивчені поняття і порівняти їх з новими, в цьому випадку можна порівняти гравітаційну потенційну енергію та енергію електричного потенціалу, щоб допомогти зрозуміти фізичний сенс електричного потенціалу.

Припустимо, що предмет з великою масою\(M\), сидить в просторі. Тепер розмістіть предмет набагато меншої маси\(m\), на будь-якій відстані\(r\), від центру\(M\). Гравітаційна потенційна енергія малої маси задається наступною формулою:\[\begin{aligned} U_g&=\frac{GMm}{r}\end{aligned}\] Яка дуже схожа на формулу електричної потенційної енергії:\[\begin{aligned} U(\vec r)&=\frac{kQq}{r}\end{aligned}\] Тепер, якби ми знімали масу\(m\) з її положення, у нас більше не було б об'єкта з гравітаційна потенційна енергія. Однак ми все ще могли б описати гравітаційний потенціал для точки\(r\), який призведе до гравітаційної потенційної енергії, коли там\(m\) розміщується будь-яка маса. Це гравітаційний еквівалент електричному потенціалу, і його можна визначити як:\[\begin{aligned} V_g&=\frac{U_g}{m}\end{aligned}\] що також дуже схоже на формулу електричного потенціалу:\[\begin{aligned} V_E&=\frac{U_E}{q}\end{aligned}\] Це порівняння проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Гравітаційна потенційна енергія та гравітаційний потенціал (зліва) поруч з електричним аналогом (праворуч).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Протон і електрон рухаються з області простору, де електричний потенціал\(20\text{V}\) to a region of space where the electric potential is \(10\text{V}\). If the electric force is the only force exerted on the particles, what can you say about their change in speed?

Рішення:

Дві частинки рухаються з області простору, де електричний потенціал знаходиться,\(20\text{V}\) до області простору, де знаходиться електричний потенціал\(10\text{V}\). Зміна електричного потенціалу, яку відчувають частинки, є таким чином:\[\begin{aligned} \Delta V = V_{final}-V_{initial}=(10\text{V})-(20\text{V})=-10\text{V}\end{aligned}\] і ми користуємося можливістю підкреслити, що слід бути дуже обережним із ознаками при використанні потенціалу. Зміна потенційної енергії протона, з зарядом\(q=+e\), таким чином:\[\begin{aligned} \Delta U_p=q\Delta V = (+e)(-10\text{V})=-10\text{eV}\end{aligned}\] потенційна енергія протона таким чином зменшується на\(10\text{eV}\) (яку ви можете легко перетворити в джоулі). Оскільки нам кажуть, що ніякої іншої сили на частинку не чиниться, загальна механічна енергія частинки (кінетична плюс потенційні енергії) повинна бути постійною. Таким чином, якщо потенційна енергія зменшилася, то кінетична енергія протона збільшилася на таку ж кількість, і швидкість протона збільшується.

Зміна потенційної енергії електрона, з зарядом\(q=-e\), таким чином:\[\begin{aligned} \Delta U_e=q\Delta V = (-e)(-10\text{V}) = 10\text{eV}\end{aligned}\] потенційна енергія електрона таким чином збільшується на\(10\text{eV}\). Знову ж таки, механічна енергія електрона зберігається, так що збільшення потенційної енергії призводить до того ж зниження кінетичної енергії і швидкість електрона зменшується.

Обговорення:

Використовуючи електричний потенціал\(V\), ми змоделювали зміну електричної потенційної енергії протона та електрона, коли вони рухалися з однієї області простору в іншу.

Встановлено, що коли протон рухається з області високого електричного потенціалу в область нижчого електричного потенціалу, його потенційна енергія зменшується. Це пояснюється тим, що протон має позитивний заряд і зниження електричного потенціалу також призведе до зменшення потенційної енергії. Оскільки на протон не чиниться інших сил, кінетична енергія протона повинна збільшуватися. Оскільки потенційна енергія протона зменшується, протон рухається в тому ж напрямку, що і електрична сила, і електрична сила робить позитивну роботу над протоном для збільшення його кінетичної енергії.

І навпаки, ми виявили, що коли електрон рухається з області високого електричного потенціалу в область нижчого електричного потенціалу, його потенційна енергія збільшується. Це пояснюється тим, що він має негативний заряд і зменшення електричного потенціалу, таким чином, призводить до збільшення потенційної енергії. Оскільки на електрон не діють ніякі інші сили, кінетична енергія електрона повинна зменшуватися, а електрон сповільнюється. Це має сенс, оскільки сила, яка чиниться на електрон, буде знаходитися в протилежному напрямку від сили, що чиниться на протон.

Електричний потенціал від електричного поля

На початку розділу 18.1 ми визначили потенційну енергію точкового заряду\(q\), при наявності іншого точкового заряду,\(Q\) (рис.\(\PageIndex{1}\)). Це було зроблено шляхом розрахунку роботи, виконаної кулонівської (електричної) силою, що чиниться зарядом\(Q\) на\(q\). Ми можемо написати той же інтеграл для роботи, виконаної електричною силою на\(q\), але використовуючи електричне поле\(\vec E\), записати силу:\[\begin{aligned} W&=\int_A^B \vec F^E\cdot d\vec r=\int_A^B q \vec E\cdot d\vec r=q \int_A^B \vec E\cdot d\vec r\end{aligned}\] де ми визнали, що заряд\(q\), постійний і може вийти з інтеграла. Інтеграл, який залишається, таким чином, робота, виконана електричним полем\(\vec E\), на одиницю заряду. Іншими словами, це негативна зміна електричного потенціалу:

\[\begin{aligned} W=q\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r=-q\Delta V=-q[V(\vec r_{B})-V(\vec r_{A})] \end{aligned}\]

\[\therefore\Delta V=V(\vec r_{B})-V(\vec r_{A})=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec r\]

що дозволяє легко визначити зміну електричного потенціалу, пов'язаного з електричним полем. Зверніть увагу, що цей результат є загальним і не вимагає, щоб електричне поле було точковим зарядом, і може бути використаний для визначення електричного потенціалу, пов'язаного з будь-яким електричним полем. Ми також можемо вказати функцію для потенціалу, аж до довільної константи\(C\), (мислити певні проти невизначені інтеграли):\[\begin{aligned} V(\vec r)=-\int \vec E\cdot d\vec r + C\end{aligned}\] Співвідношення між електричним потенціалом і електричним полем аналогічно відношенню між електричною потенційною енергією та електричною силою: \[\begin{aligned} \Delta V &=V(\vec r_B)-V(\vec r_A)=-\int_A^B \vec E\cdot d\vec r\\ \Delta U &=U(\vec r_B)-U(\vec r_A)=-\int_A^B \vec F^E\cdot d\vec r\end{aligned}\]оскільки нижнє рівняння просто\(q\) разів перше рівняння. Ми можемо думати, що електричний потенціал є потенційною енергією, що електричне поле до електричної сили. Електричний потенціал і електричне поле - це енергія електричного потенціалу і електрична сила, відповідно на одиницю заряду.

Для точкового заряду\(Q\), розташованого біля початку, електричне поле в деякому положенні\(\vec r\), задається Законом Кулона:\[\begin{aligned} \vec E=\frac{kQ}{r^2}\hat r\end{aligned}\] Різниця потенціалів між місцем розташування\(A\) (в положенні\(\vec r_A\)) і місцем розташування\(B\) ( в положенні\(\vec r_B\)), як на малюнку\(\PageIndex{1}\), задається:\[\begin{aligned} \Delta V &=- \int_A^B \vec E\cdot d\vec r= -\int_{\vec r_A}^{\vec r_B} \frac{kQ}{r^2}\hat r\cdot d\vec r=-\left(\frac{kQ}{r_B}-\frac{kQ}{r_A}\right)\end{aligned}\] і зауважимо, що ми можемо записати функцію для електричного потенціалу\(V(\vec r)\), на відстані\(r\) від точкового заряду\(Q\), як:\[\begin{aligned} V(\vec r)=\frac{kQ}{r}+C\end{aligned}\] де \(C\)є довільною константою. Це, звичайно, ідентично результату, який ми отримали раніше, для потенційної енергії заряду\(q\), відстані,\(r\), від\(Q\). \[\begin{aligned} U(\vec r)=qV(\vec r)=\frac{kQq}{r}+C'\end{aligned}\]де постійне\(C'=qC\), не робить ніякого фізичного впливу. Часто, як і у випадку з гравітацією, людина вибирає постійну\(C=0\). Цей вибір відповідає визначенню потенційної енергії, яка повинна бути нульовою на нескінченності. Аналогічно, це відповідає вибору нескінченності, щоб бути на електричному потенціалі\(0\text{V}\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Що змушує позитивно заряджену частинку набирати швидкість, коли вона прискорюється через різницю потенціалів? :

1. Частинка прискорюється, оскільки втрачає потенційну енергію, коли рухається від високого до низького потенціалу.
2. Частинка прискорюється, оскільки втрачає потенційну енергію, коли рухається від низького до високого потенціалу.
3. Частинка прискорюється, оскільки отримує потенційну енергію.
4. Частинка прискорюється, оскільки рухається до негативних зарядів.

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Що таке електричний потенціал на краю атома водню (відстань\(1\) from the proton), if one sets \(0\text{ V}\) at infinity? If an electron is located at a distance of \(1\) from the proton, how much energy is required to remove the electron; that is, how much energy is required to ionize the hydrogen atom?

Рішення:

Ми можемо легко обчислити електричний потенціал, відстань\(1\unicode{xC5}\) від протона, оскільки це відповідає потенціалу від точкового заряду (з\(C=0\)):\[\begin{aligned} V(\vec r)=\frac{kQ}{r}=\frac{(9\times 10^{9}\text{N}\cdot\text{m}^2\text{/C}^{2})(1.6\times 10^{-19}\text{C})}{(1\times 10^{-10}\text{m})}=14.4\text{V}\end{aligned}\] Ми можемо обчислити потенційну енергію електрона (щодо нескінченності, де потенціал \(0\text{ V}\), Так як ми вибрали\(C=0\)):\[\begin{aligned} U=(-e)V=(-1.6\times 10^{-19}\text{C})(14.4\text{V})=-14.4\text{eV}=-2.3\times 10^{-18}\text{J}\end{aligned}\] де ми також виражали потенційну енергію в електронвольтах. Для того щоб видалити електрон з атома водню, ми повинні докласти силу (робити роботу) до тих пір, поки електрон не буде нескінченно далеко від протона. На нескінченності потенційна енергія електрона буде дорівнює нулю (на наш вибір\(C=0\)). При переміщенні електрона від атома водню на нескінченну відстань, ми повинні зробити позитивну роботу, щоб протистояти силі притягання від протона. Робота, яку ми повинні виконати, в точності дорівнює зміні потенційної енергії електрона (і дорівнює негативної роботи, виконаної силою, що чиниться протоном):

\[\begin{aligned} W=\Delta U=(U_{final}-U_{initial})=(0\text{J}--2.3\times 10^{-18}\text{J})=2.3\times 10^{-18}\text{J} \end{aligned}\]

Позитивна робота, яку ми повинні зробити, надаючи силу, протилежну електричній силі, є позитивною і рівною\(2.3\times 10^{-18}\text{J}\), або\(14.4\text{eV}\). Якщо ви подивитеся на енергію іонізації водню, ви виявите, що вона є\(13.6\text{eV}\), так що ця дуже спрощена модель є досить точною (ми могли б поліпшити модель, регулюючи протонно-електронну відстань так, щоб потенціал був\(13.6\text{V}\)).

Обговорення:

У цьому прикладі ми визначили електричну потенційну енергію електрона в атомі водню і виявили, що вона негативна, коли потенційна енергія визначена рівною нулю на нескінченності. Для того щоб видалити електрон з атома, ми повинні зробити позитивну роботу, щоб збільшити потенційну енергію електрона від негативного значення до нуля (потенційна енергія на нескінченності). Це аналогічно роботі, яка повинна бути виконана на супутнику на гравітаційно пов'язаній орбіті, щоб він досяг швидкості втечі.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Дві великі паралельні пластини розділені відстанню,\(L\). The plates are oppositely charged and carry the same magnitude of charge per unit area, \(\sigma\). What is the potential difference between the two plates? Write an expression for the electric potential in the region between the two plates. Assume that the plates are large enough that you can treat them as infinite (that is, neglect what happens near the edges).

Рішення:

\(\PageIndex{2}\)На малюнку представлена схема двох паралельних пластин з поверхневим зарядом на них.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Дві паралельні пластини з рівними і протилежними поверхневими щільностями заряду. В області між пластинами електричне поле рівномірне.

Ми знаємо з попередніх глав, що електричне поле від позитивної пластини не залежить від відстані від пластини і задається:\[\begin{aligned} \vec E_+=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat x\end{aligned}\] якщо ми наближаємо пластину як нескінченно велику. Це розумне наближення для більшості точок, крім тих, що знаходяться біля країв пластини, які ми ігноруємо. Електричне поле від негативної пластини матиме однакову величину і напрямок, так що загальне електричне поле\(\vec E\), всюди між двома паралельними пластинами (поки ми не знаходимося біля країв) задається:\[\begin{aligned} \vec E=-\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat x\end{aligned}\] Зверніть увагу, що електричне поле за межами області між дві пластини всюди дорівнює нулю, так як поля від позитивних і негативних пластин вказують в протилежні сторони поза пластин і таким чином скасовують (крім країв пластин). Наприклад, під негативною пластиною поле від негативної пластини вказує в позитивному\(x\) напрямку (до негативної пластини), тоді як поле від позитивної пластини вказує в позитивному\(x\) напрямку (до позитивної пластини).

Тепер ми можемо визначити різницю потенціалів між двома пластинами, оскільки ми знаємо електричне поле в цій області. Використовуючи наведену систему координат, ми обчислимо різницю потенціалів між позитивною пластиною, розташованою на,\(x=L\) і негативною пластиною, розташованою за адресою\(x=0\):\[\begin{aligned} \Delta V &=V(L)-V(0)=- \int_0^L \vec E\cdot d\vec x=-\int_0^L\frac{-\sigma}{\epsilon_0} \hat x \cdot d\vec x=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\int_0^L dx=\frac{\sigma}{\epsilon_0}L\end{aligned}\] де ми визнали, що\(\hat x\) і\(d\vec x\) паралельні. Дуже легко отримати неправильний знак при розрахунку потенційних відмінностей, тому будьте обережні!

Оскільки різниця потенціалів\(\Delta V=V(L)-V(0)\), є позитивною, пластина при\(x=L\) знаходиться на більш високому електричному потенціалі, ніж пластина на\(x=0\). Це має сенс, оскільки позитивний заряд у спокої переміщався від позитивної пластини до негативної пластини, зменшуючи таким чином її потенційну енергію, що відповідає переміщенню з області високого електричного потенціалу в область низького електричного потенціалу. І навпаки, негативний заряд в спокої змістився б від негативної пластини до позитивної пластини, зменшуючи її потенційну енергію, але рухаючись від області низького електричного потенціалу до області високого електричного потенціалу.

Загалом, якщо електричне поле постійне, зміна потенціалу між двома точками, розділеними відстанню\(L\), вздовж осі, яка є антипаралельною полю (в даному прикладі точки поля в негативному\(x\) напрямку) задається:\[\begin{aligned} \Delta V =- \int_0^L \vec E\cdot d\vec x=E\int_0^L dx= EL\end{aligned}\]

Відзначимо, що ми можемо обчислити тільки різницю електричного потенціалу між пластинами, а не фактичне значення потенціалу\(V\). Якщо ми хочемо визначити конкретне значення електричного потенціалу, нам потрібно вибрати місце, де ми\(0\text{V}\) визначаємо бути. За умовністю, коли це можливо, один вибирає негативну пластину, щоб бути місцем розташування\(0\text{V}\). Для того, щоб визначити електричний потенціал де-небудь між двома пластинами, ми можемо обчислити різницю потенціалів між пластиною в\(x=0\) (той, що в\(0\text{V}\)) і деяке положення між пластинами вздовж\(x\) осі (\(x<L\)): \[\begin{aligned} \Delta V &=V(x)-V(0)=-\int_0^x E \hat x \cdot d\vec x= Ex =\frac{\sigma}{\epsilon_0}x\\ \therefore V(x)&=V(0)+Ex=Ex=\frac{\sigma}{\epsilon_0}x\end{aligned}\]де ми знаходимо, що електричний потенціал зростає лінійно між його значенням на негативній пластині (\(0\text{V}\)) і його значенням на позитивній пластині (\(EL\)). Звичайно, ми могли б вибрати будь-яке значення електричного потенціалу для негативної пластини, що еквівалентно вибору значення довільної константи\(C\).

Загалом, ми можемо записати електричний потенціал в області постійного електричного поля\(\vec E=-E\hat x\), як:\[\begin{aligned} V(x)=Ex + C\end{aligned}\] Цей сценарій дуже схожий на гравітаційну силу біля поверхні Землі, де гравітаційне поле (майже) постійне. Якщо ви вирішите визначити нульову гравітаційну потенційну енергію на поверхні Землі, то, рухаючись вгору на відстань\(h\) від землі, ваша гравітаційна потенційна енергія зростає лінійно за допомогою\(h\) (\(U(h)=mgh\)). У нашому випадку ми визначили нульову енергію електричного потенціалу, щоб відповідати розташуванню негативної пластини (негативна пластина, таким чином, схожа на поверхню Землі, з постійним електричним полем, спрямованим на неї). Оскільки позитивний заряд рухається на відстань\(h\) від негативної пластини, він отримує електричну потенційну енергію\(U(h)=qV(h)=qEh\), лінійно з відстанню від пластини. Якщо ми звільнимо цей позитивний заряд, він «впаде» назад на негативну пластину. Основна відмінність від гравітації полягає в тому, що ми також можемо мати негативні заряди, які під дією сили тяжіння були б схожі на «негативні маси» (це не річ), які б «падали вгору» (до позитивної пластини).

Обговорення:

У цьому прикладі ми розглянули електричне поле між двома паралельними пластинами з протилежними на них зарядами, і побачили, що поле постійне і рівномірне між пластинами і нулем зовні (за винятком невеликої області біля краю пластин, де руйнується припущення про нескінченно великих пластин). Встановлено, що електричний потенціал зменшується лінійно в залежності від відстані від однієї з пластин. Оскільки електричне поле постійне між двома пластинами, електричну силу на заряді можна розглядати аналогічно гравітаційній силі на масі біля поверхні Землі. Отриманий електричний потенціал лінійний на відстані від негативної пластини,\(mgh\) так само\(h\), як і лінійний в, відстані до поверхні Землі. Паралельні пластини часто використовуються для прискорення зарядів, тому з ними корисно розібратися.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Якщо ми визначили гравіційний потенціал,\(V(h)\), for particles a small distance, \(h\), from the surface of the Earth, it would have the form:

1. \(V(h) = mgh + C\).
2. \(V(h) = gh + C\).
3. \(V(h) = mg + C\).
4. \(V(h) = -mgh + C\).

Відповідь

Електричне поле з електричного потенціалу

теми рецензування

• Розділ 8.2 про визначення сили від потенційної енергії.
• Розділ A2.2 про градієнти.

У попередньому розділі ми виявили, що можна визначити електричний потенціал (скаляр) з вектора електричного поля. У цьому розділі ми покажемо, як зробити реверс, і визначити вектор електричного поля з електричного потенціалу. Розглянемо, по-перше, одновимірний випадок, де електричне поле\(\vec E(x)= E(x) \hat x\), вказує в\(x\) напрямку і залежить від положення,\(x\). У цьому одновимірному випадку електричний потенціал отримують з негативного антипохідного електричного поля:\[\begin{aligned} V(x)=-\int \vec E(x)\cdot d\vec x=-\int E(x) dx\end{aligned}\] Потім електричне поле повинно бути задано негативом похідної функції електричного потенціалу:\[\begin{aligned} \vec E(x) = -\frac{dV(x)}{dx}\hat x\end{aligned}\] Зверніть увагу, що з вищесказаного можна сказати, що електричне поле повинні мати розміри електричного потенціалу на відстані. Найбільш поширеною одиницею S.I., яка використовується для опису електричного поля, є\(\text{V/m}\) (Вольт на метр).

Цей результат дуже схожий на результат, отриманий у розділі 8.2, де ми розглянули, як можна використовувати скалярну потенційну енергію\(U(x,y,z)\), щоб визначити вектор сили, пов'язаної з цією потенційною енергією. Те ж саме стосується електричної сили, де ми можемо визначити вектор електричної сили\(\vec F\), з енергії електричного потенціалу, і аналогічно електричному полю з електричного потенціалу. У трьох вимірах, якщо ми знаємо електричну потенційну енергію як функцію положення\(U(\vec r)=U(x,y,z)\), то вектор електричної сили задається:

\[\begin{aligned} \vec F(x,y,z) =- \nabla U=-\frac{\partial U}{\partial x}\hat x-\frac{\partial U}{\partial y}\hat y-\frac{\partial U}{\partial z}\hat z\end{aligned}\]

Аналогічно, але використовуючи силу на одиницю заряду (тобто електричне поле) і потенційну енергію на одиницю заряду (тобто електричний потенціал), ми знаходимо:

\[\begin{aligned} \vec E(x,y,z) = -\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x}\hat x-\frac{\partial V}{\partial y}\hat y-\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\end{aligned}\]

де, як ви пам'ятаєте\(\nabla V\), називається градієнт скалярного поля,\(V(x,y,z)\). Градієнт є вектором, який вказує в бік максимального збільшення значення\(V(x,y,z)\). Для позитивного заряду це відповідає напрямку максимального збільшення потенційної енергії. Позитивний заряд буде відчувати силу в зворотному напрямку (в напрямку, де потенційна енергія зменшується найшвидше), а електричне поле, таким чином, знаходиться в протилежному напрямку від градієнта електричного потенціалу.

Еквіпотенціальні поверхні

Ми можемо візуалізувати електричний потенціал декількома способами, оскільки це скалярне поле (воно має єдине значення, яке може відрізнятися всюди в просторі). \(\PageIndex{3}\)На малюнку показаний електричний потенціал поблизу позитивного заряду\(+Q\), де один\(0\text{V}\) вибрав розташовуватися на нескінченності. Права панель показує електричний потенціал у вигляді «поверхневої ділянки», де вертикальний напрямок - це значення електричного потенціалу. На лівій панелі зображена «теплова карта» електричного потенціалу, де колір відповідає значенню електричного потенціалу.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Теплова карта електричного потенціалу (зліва) та ділянка поверхні (праворуч) біля одного позитивного заряду.

Найпоширенішим способом візуалізації електричного потенціалу є накреслення «контурних ліній», аналогічно тому, як малюють контурні лінії на географічній карті. На географічній карті контури відповідають лініям постійної висоти, які також є лініями постійної гравітаційної потенційної енергії. Аналогічно ми можемо провести лінії постійного електричного потенціалу для візуалізації електричного потенціалу. Лінії постійного потенціалу називаються «рівнопотенціальними лініями». Загалом, у трьох вимірах областями постійного електричного потенціалу можуть бути поверхнями або об'ємами, званими «рівнопотенційними поверхнями/обсягами». У прикладі 18.2.3 (з паралельними пластинами) кожна з пластин утворює рівнопотенціальну поверхню (наприклад, електричний потенціал був закріплений\(0\text{V}\) скрізь на негативній пластині).

Нагадаємо, що в якийсь момент простору вектор електричного поля завжди вказує в протилежну сторону градієнта електричного потенціалу. А саме електричне поле вказує в тому напрямку, в якому електричний потенціал знижується найшвидше. Цей напрямок повинен бути перпендикулярним напрямку, в якому електричний потенціал не змінюється; іншими словами, вектор електричного поля завжди перпендикулярний рівнопотенціальним лініям/поверхням. Більш інтуїтивно можна подумати про заряд, що рухається по еквіпотенціалу. За визначенням, електрична потенційна енергія заряду не змінюється, якщо його рухається по рівному потенціалу. В результаті електрична сила/поле не може виконувати жодної роботи над зарядом, і, таким чином, повинна бути перпендикулярна шляху заряду (який ми вибрали як еквіпотенціал).

Провідні матеріали завжди є рівнопотенціальними поверхнями (або об'ємами), якщо заряди не рухаються всередині провідника. Електричне поле всередині провідника завжди дорівнює нулю (в електростатиці, коли заряди не рухаються), і, таким чином, заряд, що рухається по провіднику, не відчуває електричної сили і його енергія електричного потенціалу буде постійною; іншими словами, весь провідник є рівнопотенціалом. Аналогічно, оскільки електричне поле завжди повинно бути перпендикулярно рівному потенціалу, лінії електричного поля завжди перпендикулярні поверхні провідника (в електростатиці).

Для того щоб намалювати рівнопотенціальні лінії, можна почати з малювання ліній електричного поля, а потім провести (замкнуті) лінії контуру, які всюди перпендикулярні лініям електричного поля. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Електричне поле та еквіпотенціальні лінії, спричинені двома\(+2q\) зарядами та одним\(−3q\) зарядом (зліва) та відповідною йому тепловою картою електричного потенціалу (праворуч).

Загалом, переважно малювати еквіпотенціальні лінії, розділені рівними приростами електричного потенціалу (так само, як на географічній карті, лінії контуру відповідають постійним збільшенням висоти). Для цього потрібно знати функціональну форму електричного потенціалу. Наприклад, рівнопотенціальні лінії для точкового заряду, розташованого біля початку, складаються в концентричних колах, центрованих біля початку (у трьох вимірах це призводить до концентричних сферичних рівнопотенціальних поверхонь). Якщо\(0\text{V}\) визначити бути на нескінченності, електричний потенціал задається: Для\[\begin{aligned} V(r)=\frac{kQ}{r}\end{aligned}\] того, щоб провести рівнопотенціальні лінії кожні, скажімо\(10\text{V}\), радіуси відповідних рівнопотенціальних кіл, для\(V=10\text{V}\),\(V=20\text{V}\),\(V=30\text{V}\), і т.д., задаються:\[\begin{aligned} r&=\frac{kQ}{V}\\ r_{10V}&=\frac{kQ}{(10\text{V})}\quad r_{20V}=\frac{kQ}{(20\text{V})}\quad r_{30V}=\frac{kQ}{(30\text{V})}\quad \dots\end{aligned}\]