18.1: Енергія електричного потенціалу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75691

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

теми рецензування

Розділ 8.1 про консервативні сили.
Розділ 9.3 про виведення гравітаційної потенційної енергії.

Математично закон Кулона для електричної сили ідентичний універсальної теорії гравітаційної сили Ньютона. Електрична сила, таким чином, консервативна, і робота, виконана електричною силою на заряді\(q\), коли заряд рухається з положення\(A\), в просторі в якесь інше положення\(B\), не може залежати від пройденого шляху. Оскільки робота, виконана електричною силою, залежить тільки від розташування початкових (\(A\)) і кінцевих (\(B\)) положень, ми можемо визначити електричну потенційну енергетичну функцію\(U(\vec r)\), яка залежить від положення,\(\vec r\). Робота, виконана електричною силою\(\vec F^E\), на заряді, що йде з положення,\(A\) (визначається вектором положення,\(\vec r_A\)), в положення,\(B\) (визначається вектором положення,\(\vec r_B\)), може бути записана як:

\[W=\int_A^B \vec F^{E}\cdot d\vec r=-\Delta U=-[U(\vec r_{B})-U(\vec r_{A})]\]

Для того щоб визначити функцію\(U(\vec r)\), ми можемо вибрати шлях, по якому інтеграл для роботи легко обчислити. Розглянемо роботу, виконану електричною силою від точкового заряду\(+Q\), що чиниться на заряд\(+q\), при\(+q\) переміщенні з відстані\(r_A\) на відстань\(r_B\) від центру\(+Q\), як проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Розрахунок роботи, виконаної\(+q\) на заряді електричною силою, що чиниться\(+q\) зарядом\(+Q\) при русі\(r_{A}\) заряду\(r_{B}\) з відстані на відстань від центру заряду\(+Q\).

Розміщення\(+Q\) біля початку системи координат, сила, що чиниться на заряд\(+q\), коли він розташований у положенні\(\vec r\), задається:\[\begin{aligned} \vec F^E=k\frac{Qq}{r^2}\hat r\end{aligned}\] Робота, виконана електричною силою при\(+q\) русі від\(A\) до \(B\)дається:\[\begin{aligned} W&=\int_A^B \vec F^E\cdot d\vec r=\int_{\vec r_A}^{\vec r_B} \left(k\frac{Qq}{r^2}\hat r\right)\cdot d\vec r=kQq \int_{r_A}^{r_B} \frac{1}{r^2}dr\\ &=kQq \left[\frac{-1}{r} \right]_{r_A}^{r_B}=-\left(\frac{kQq}{r_B}-\frac{kQq}{r_A}\right)\end{aligned}\] де ми зазначили, що оскільки\(\vec F^E\) і\(d\vec r\) є паралельними, їх скалярний добуток є просто добутком їх величин. Порівнюючи з рівнянням 18.1.1, ми можемо визначити потенційну енергію заряду\(+q\), що знаходиться у відносному положенні\(\vec r\), від точкового заряду\(+Q\), як:\(U(\vec r)\)

\[U(\vec r)=\frac{kQq}{r}+C\]

де потенційна енергія визначається лише до деякої константи\(C\), яка скасовується, коли ми приймаємо різницю в потенційній енергії між двома позиціями. Зверніть увагу, що це дуже схоже на функцію для гравітаційної потенційної енергії маси\(m\), відстані\(r\), від маси\(M\) (див. Розділ 9.3).

Потенційна енергетична функція, яку ми вивели вище, залишається колишньою, якщо один або обидва заряди змінюють знак, так як виведення не залежало від знака зарядів\(Q\),\(q\) і, при зміні знака одного заряду змінює напрямок сили. Наприклад, позитивний заряд\(+q\), поблизу негативного заряду\(-Q\), мав би негативну електричну потенційну енергію при виборі\(C=0\), в точній аналогії з гравітацією.

Енергія електростатичного потенціалу

Коли ми тримаємо два позитивні заряди разом на відстані\(r\), окремо, нам потрібно докласти силу на заряди, щоб утримувати заряди на місці (оскільки вони відштовхують один одного). Якщо звільнити заряди, то вони будуть розсуватися один від одного, і в кінцевому підсумку вся накопичена електрична потенційна енергія перетвориться в кінетичну енергію. Енергія, яка спочатку зберігалася в цій «системі» двох зарядів, називається «енергією електростатичного потенціалу». У цьому розділі ми покажемо, як моделювати енергію, що зберігається в колекції точкових зарядів.

Розглянемо єдиний позитивний заряд\(q_1\), розташований біля початку порожнього простору. Оскільки інших зарядів немає, це не «коштує» нам ніякої енергії, щоб розмістити цей заряд там - нам не потрібно робити жодної роботи. Якщо ми зараз внесемо другий позитивний заряд\(q_2\), і розмістимо його на відстані\(r_{12}\), від\(q_1\) (рис.\(\PageIndex{2}\)), Нам потрібно буде зробити роботу, так\(q_1\) як чинить силу на\(q_2\). Якщо визначити нульову потенційну енергію, щоб бути на нескінченності (вибираючи\(C=0\) для електричної потенційної енергії)\(W_{q2}\), то робота, яку ми повинні зробити далі,\(q_2\) щоб довести її з нескінченності на відстань\(r_{12}\), від\(q_1\) задається відповідна зміна потенційної енергії\(q_2\):\[\begin{aligned} W_{q2}=\Delta U=U_{final}-U_{initial}=k\frac{q_1q_2}{r_{12}}-0=k\frac{q_1q_2}{r_{12}}\end{aligned}\] Зверніть увагу, що робота виконується нами (а не електричним полем), тому вона має той же знак, що і зміна потенційної енергії (ми повинні зробити позитивну роботу для збільшення потенційної енергії). Робота, яку ми зробили, відповідає тій же кількості енергії електростатичного потенціалу, що зберігається в такому розташуванні двох зарядів (єдиним джерелом цієї накопиченої електростатичної потенційної енергії є робота, яку ми зробили на заряді\(q_2\)).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Три позитивні заряди, розташовані разом, будуть зберігати певну кількість електростатичної потенційної енергії.

Тепер ми вносимо третій позитивний заряд\(q_3\), також з нескінченно далеко, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Для того, щоб залучити\(q_3\), нам потрібно зробити роботу проти сил, що чинилися обома\(q_1\) і\(q_2\). Припустимо, що ми\(q_3\) розміщуємо відстань\(r_{13}\) від\(q_1\) і\(r_{23}\) від\(q_2\). Потім обсяг роботи, виконаної нами для внесення,\(q_3\) задається:\[\begin{aligned} W_{q3}=k\frac{q_1q_3}{r_{13}}+k\frac{q_2q_3}{r_{23}}\end{aligned}\] і загальна електростатична енергія, що зберігається в системі трьох зарядів, дається сумою виконаної роботи на місце\(q_2\) та виконаної роботи на місце\(q_1\):\[\begin{aligned} E = W_{q1}+W_{q2}+W_{q3}=0+k\frac{q_1q_2}{r_{12}}+k\frac{q_1q_3}{r_{13}}+k\frac{q_2q_3}{r_{23}}\end{aligned}\] Якщо у нас є будь-яка кількість зарядів (позитивних і негативних), ми завжди можемо обчислити накопичену електростатичну енергію, протікаючи аналогічним чином.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чотири заряди різної величини фіксуються в положенні. Якби енергія електричного потенціалу, що зберігається в системі, повинна була бути розрахована, як зазначено вище, скільки термінів було б у сумі?

Чотири.
Дві.
Один.
Шість.

Відповідь