17.7: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо заряджену сферу радіуса,\(R\), which has a non-uniform charge density, that varies with radius, as \(\rho(r) = ar^2\).

1. Який загальний заряд на сфері?
2. Що таке електричне поле як функція відстані від центру сфери поза сферою\(r>R\)?
3. Що таке електричне поле як функція відстані від центру сфери всередині сфери\(r\leq R\)?

Відповідь

а. щоб визначити сумарний заряд сфери, ділимо сферу на нескінченно малі оболонки радіуса\(r\), і товщини,\(dr\). Обсяг однієї з цих нескінченно малих оболонок - це їх площа (задана площею поверхні радіусної сфери\(r\)), помножена на їх товщину,\(dr\):\[\begin{aligned} dV = 4\pi r^2 dr\end{aligned}\] Заряд однієї з цих оболонок задається на\(dV\)\(dQ\) заряд на одиницю об'єму,\(\rho(r)\):\[\begin{aligned} dQ = \rho(r) dV = ar^24\pi r^2 dr = 4a\pi r^4 dr\end{aligned}\] Загальний заряд сфери знаходять шляхом підсумовування заряду з кожної оболонки:\[\begin{aligned} Q=\int dQ =\int_0^R4a\pi r^4 dr=\frac{4}{5}a\pi R^5\end{aligned}\]

б. поза сферою ми можемо використовувати сферичну гаусову поверхню радіуса\(r\), так що потік задається:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A=4\pi r^2 E\end{aligned}\] весь заряд сфери укладений. Застосовуючи Закон Гауса, ми можемо визначити електричне поле поза сферою:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A&= \frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\\ 4\pi r^2 E&= \frac{4a\pi R^5}{5\epsilon_0}\\ \therefore E(r)&=\frac{aR^5}{5\epsilon_0r^2}\end{aligned}\] і ми бачимо, що електричне поле зменшується у вигляді радіуса в квадраті, що має сенс, оскільки ззовні сфери ми не знаємо, як розподіляється заряд всередині.

c Усередині об'єму сфери ми все ще використовуємо гаусову сферичну поверхню радіуса\(r\), так що потік задається:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A=4\pi r^2 E\end{aligned}\] Однак всередині сфери гаусова поверхня лише охоплює заряд до радіуса\(r\), який ми знаходимо шляхом інтеграції, подібно до частина а):\[\begin{aligned} Q^{enc}=\int dQ =\int_0^r 4a\pi r^4 dr=\frac{4}{5}a\pi r^5\end{aligned}\] Застосування закону Гауса:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A&= \frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\\ 4\pi r^2 E&= \frac{4a\pi r^5}{5\epsilon_0}\\ \therefore E(r)&=\frac{ar^3}{5\epsilon_0r^2}\end{aligned}\] і ми виявляємо, що електричне поле дорівнює нулю в центрі сфери і збільшується з кубом радіуса всередині сфери.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

C) Розглянемо дві провідні пластини, які проілюстровані на малюнку.\(\PageIndex{1}\). Both plates have a hollow circle of radius, \(R\), at their center. One plate is a square on the outside and the other is a triangle on the outside, both of the outside shapes have a side length of \(L\). A point charge of charge \(+Q\) is placed at the center of the hollowed out circle of both plates.

1. Що таке електричне поле поза оболонками?
2. Яка середня лінійна щільність заряду на внутрішній і зовнішній поверхнях оболонок?
3. Які секції двох пластин мали б найбільшу щільність заряду?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Трикутна і квадратна оболонка, як з видовбленим круговим центром, так і точковим зарядом.

Відповідь

а Провідні снаряди не мають чистого заряду, тому єдиним зарядом в системі є точковий заряд\(Q\). Якщо ми намалюємо сферичну гаусову поверхню, єдиним замкнутим буде заряд\(Q\), і ми можемо ігнорувати заряди на пластин. Електричне поле - це, таким чином, поле від точкового заряду:\[\begin{aligned} E= \frac{kQ}{r^2} \end{aligned}\]

б. почнемо з оболонки, яка має трикутник зовні. Ми будемо використовувати закон Гауса для визначення щільності заряду внутрішньої і зовнішньої оболонок. Для цього намалюємо коло всередині оболонки,\(S_1\) а за межами зовнішньої оболонки трикутник,\(S_2\) як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Розчин трикутної провідної оболонки.

При розгляді ми знаємо\(S_1\), що електричне поле всередині (провідної) оболонки є\(0\), так що потік з\(S_1\) буде дорівнює нулю. Це означає, що точковий заряд на внутрішній стороні оболонки буде рівним і протилежним сумі поверхневих зарядів на внутрішній оболонці. Звідси ділимо чистий заряд на окружність внутрішньої оболонки для визначення лінійної щільності заряду:\[\begin{aligned} \lambda_{circle} = \frac{-Q}{2\pi R} \end{aligned}\] При розгляді ми знаємо\(S_2\), що той, що означає\(Q_{enc} = +Q\), що сумарний лінійний заряд на зовнішньому трикутнику буде\(+Q\) такий, що скасовує\(-Q\) по внутрішньому колу. Сума нарахувань була б\(Q_{enc} = Q_{point}+Q_{triangle}-Q_{circle}\). Знаючи це, ми повинні розділити загальний заряд на зовнішній поверхні на суму довжини кожної зі сторін трикутника, щоб знайти середню лінійну щільність заряду:\[\begin{aligned} \lambda_{circle} = \frac{Q}{3L} \end{aligned}\] Тепер розглянемо внутрішню і зовнішню лінійні щільності заряду квадратної провідної оболонки. Вибираємо дві гаусові поверхні\(S_1\), причому\(S_2\), як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\):

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Розчин для квадратної провідної оболонки.

Для\(S_1\), коло трактується як було при вирішенні трикутної оболонки. Електричне поле також знаходиться\(0\) в межах квадратної провідної оболонки, тому ми знаємо, що середня лінійна щільність заряду є\(\frac{-Q}{2\pi R}\).

При розгляді ми знаємо\(S_2\), що\(Q_{enc}\) є\(+Q\), тому знаємо, що загальний заряд на квадратній поверхні оболонки буде\(+Q\). Це залишає нам наступну середню лінійну щільність заряду:\[\begin{aligned} \lambda_{square} = \frac{Q}{4L} \end{aligned}\]

c Ці пластини заряджаються електричним полем, що генерується точковим зарядом, що утримується всередині них, а це означає, що лінійна щільність заряду двох пластин буде найвищою в точках уздовж зовнішніх сторін, які є найкоротшою відстані від точкового заряду. Ці точки зустрічаються в трикутної і квадратної пластин в точці, яка є найближчою до заряду\(Q\), як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Розчин для квадратної провідної оболонки.