15.6: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Чоловік і жінка, Ребекка (\(57\text{ kg}\)) і Райан (\(63\text{ kg}\)), знаходяться в круїзі, коли їх корабель трагічно тоне. Їх втягують в замерзаючий холодний океан. Вони бачать великі дерев'яні двері, що плавають на поверхні води, і дивуються, чи зможуть вони обидва вижити, якщо вони обидва лежать на вершині дверей. Вони оцінюють, що двері міряє близько\(2\text{ m} × 1\text{ m} × 0.12\text{ m}\). Щільність солоної води становить\(ρ_{w} = 1027 \text{kg/m}^{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ребекка і Райан задаються питанням, чи можуть вони залишитися над водою, якщо вони потрапляють на плаваючі двері.

1. Якою має бути щільність деревини, щоб Ребекка і Райан залишалися над поверхнею води? (Див. Малюнок\(\PageIndex{1}\))
2. Якщо двері зроблена з дуба (\(ρ_{d} = 750\text{ kg/m}^{3}\)), чи витримають вони? Чи може один з них вижити?

Відповідь

а. сили, що діють на двері, - це сила плавучості, вага дверей та ваги Ребекки та Райана, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Сили, що діють на двері, коли Ребекка і Райан знаходяться на вершині.

Ми можемо об'єднати вагу дверей і вага людей в загальну вагу,\(F_{g}\). Вибираємо\(y\) вісь позитивної вгору. Сума сил на двері в\(y\) напрямку задається:

\[\begin{aligned}\sum F_{y}=F_{B}-F_{g} \end{aligned}\]

Щоб двері плавала, чиста сила на двері повинна бути більше або дорівнює нулю. Ми хочемо знайти мінімальну плавучу силу для їх плавання, тому ми встановлюємо чисту силу рівну нулю:

\[\begin{aligned} F_{g}&=F_{B} \\ (m_{R}+m_{r}+m_{d})g&=\rho_{w}V_{w}g \\ m_{R}+m_{r}+m_{d}&=\rho_{w}V_{w} \end{aligned}\]

де вага включає масу Ребекки (\(m_{R}\)), Райана (\(m_{r}\)) і двері (\(m_{d}\)). Ми додали індекс\(W\) у правій частині рівняння, щоб нагадати собі, що плавуча сила залежить від щільності та обсягу витісненої води. Ми хочемо знайти максимальну щільність деревини для того, щоб Ребекка і Райан залишалися над поверхнею води. Це означає, що максимальний обсяг води, який можна змістити, - це обсяг двері,\(V_{w} = V_{d}\) (щоб поверхня дверей була врівень з поверхнею води, як на малюнку\(\PageIndex{1}\)). Ми можемо переписати масу двері в плані її обсягу і щільності, і застосувати нашу умову, що\(V_{w} = V_{d}\):

\[\begin{aligned} m_{R}+m_{r}+\rho_{d}V_{d}&=\rho_{w}V_{d} \\ \rho_{d}&=\frac{\rho_{w}V_{d}-m_{R}-m_{r}}{V_{d}} \end{aligned}\]

Швидкий розрахунок говорить нам про те, що обсяг двері є\((2\text{ m})(1\text{ m})(0.12\text{ m}) = 0.24\text{ m}^{3}\). Тепер ми можемо розрахувати бажану щільність деревини:

\[\begin{aligned} \rho_{d}&=\frac{\rho_{w}V_{d}-m_{R}-m_{r}}{V_{d}} \\ \rho_{d}&=\frac{(1027\text{kg/m}^{3})(0.24\text{m}^{3})-57\text{kg}-63\text{kg}}{0.24\text{m}^{3}} \\ \rho_{d}&=527\text{kg/m}^{3} \end{aligned}\]

Максимальна щільність деревини, яка дозволила б їм обом плавати, становить\(527\text{ kg/m}^{3}\). Деревина бальзи має щільність, яка приблизно\(150\text{ kg/m}^{3}\), тому дозволила б їм вижити. Однак навряд чи випадкова плаваюча двері зроблена з дерева бальзи (хоча при будівництві корабля можна було б вибрати більш легкі матеріали).

б. ні, вони не могли обидва залишатися на дверях, оскільки щільність дуба більше максимальної щільності\(527\text{ kg/m}^{3}\). Ми можемо знайти кількість маси, яку можна додати до дверей (\(m_{A}\)) для того, щоб людина на ній перебував над водою:

\[\begin{aligned} F_{g}&=F_{B} \\ (m_{A}+m_{d})g&=\rho_{w}V_{w}g \\ m_{A}+\rho_{d}V_{d}&=\rho_{w}V_{w} \\ m_{A}+\rho_{d}V_{d}&=\rho_{w}V_{d} \\ m_{A}&=V_{d}(\rho_{w}-\rho_{d}) \end{aligned}\]

де ми знову використовували умова, що\(V_{w} = V_{d}\). Ми можемо підключити відповідні значення і вирішити:

\[\begin{aligned} m_{A}&=V_{d}(\rho_{w}-\rho_{d}) \\ m_{A}&=(0.24\text{m}^{3})(1027\text{kg/m}^{3}-750\text{kg/m}^{3}) \\ m_{A}&=66\text{kg} \end{aligned}\]

Двері можуть підтримувати додаткову масу\(66\text{ kg}\), тому або Ребекка, або Райан можуть вижити, якщо інший не потрапить на двері.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Лікар призначає в/в крапельницю зневодненому хворому. Вона просить медсестру, Роб, ввести\(2\text{ l}\) фізіологічний розчин (\(η = 1.0 × 10^{−3}\text{ Pas}, ρ = 997\text{ kg/m}^{3}\)) пацієнту протягом декількох\(2\) годин. IV крапельниця працює шляхом введення голки в вену на руці пацієнта. Голка з'єднується з IV мішком трубкою (рис.\(\PageIndex{3}\)). Лілія використовує голку, яка має діаметр\(0.60\text{ mm}\) і довжину\(32\text{ mm}\). Артеріальний тиск у венах пацієнта\(80\text{ mmHg}\) вище атмосферного. Примітка:\(1\text{ mmHg} ≈ 133\text{ Pa}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Зліва: Циліндрична IV голка. Праворуч: IV голка з'єднана з IV мішком трубкою. Вільний кінець голки йде в вену пацієнта.

1. Яке має бути тиск на вході голки (сторона, з'єднана з фізіологічним розчином, а не пацієнт)? Припустимо, що голка по суті горизонтальна і що діаметр трубки з IV мішка досить великий, щоб опір у вертикальній трубці було незначним. Напишіть свою відповідь в паскалі вище атмосферного тиску.
2. Наскільки високо над рукою пацієнта Лілі повинна покласти IV мішок?

Відповідь

а Враховуючи, що тиск у венах пацієнта\(80\text{ mmHg}\) вище атмосферного тиску, ми хочемо знайти необхідний тиск на іншому кінці голки, щоб ми отримали потрібну швидкість потоку через голку. Ми моделюємо голку як горизонтальну циліндричну трубу і припускаємо, що сольовий розчин проявляє ламінарний потік. Тому ми можемо використовувати рівняння Пуазейля:

\[\begin{aligned} Q=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}(P_{1}-P_{2})\end{aligned}\]

\(P_{1}\)Допускаємо тиск там, де голка з'єднується з трубкою. Рішення для\(P_{1}\) дарує:

\[\begin{aligned} P_{1}=Q\frac{8ηL}{\pi r^{4}}+P_{2}\end{aligned}\]

Тиск на виході з голки\(P_{2}\), це якраз артеріальний тиск (\(80\text{ mmHg}+1\text{atm}\)). Радіус голки дорівнює\(0.60\text{ mm/}2 = 0.30\text{ mm}\). Витрата повинна бути в одиницях\(\text{m}^{3}\text{/s}\). Витрата у відповідних одиницях, таким чином, становить:

\[\begin{aligned} Q=\frac{21}{2\text{ hr}}\cdot\frac{1\text{ hr}}{3600\text{ s}}\cdot \frac{0.001\text{ m}^{3}}{11} =2.8\times 10^{-7}\text{m}^{3}\text{/s} \end{aligned}\]

Використовуючи наші значення, ми можемо обчислити\(P_{1}\):

\[\begin{aligned} P_{1}&=(2.8\times 10^{-7}\text{m}^{3}\text{/s})\frac{8(1.0\times 10^{-3}\text{Pas})(0.032\text{m})}{\pi(3\times 10^{-4}\text{m})^{4}}+80\text{mmHg}\cdot\frac{133\text{Pa}}{1\text{mmHg}}+1\text{atm} \\ P_{1}&=2817\text{Pa}+10640\text{Pa}+1\text{atm} \\ \therefore P_{2}&=13457\text{Pa}\quad\text{above atmospheric pressure} \end{aligned}\]

б. ми легко можемо визначити висоту IV мішка, яка потрібна для надання потрібного тиску. Вибираємо систему координат з\(y\) віссю, яка вертикальна (позитивна вгору) з початком в місці розташування голки (рис.\(\PageIndex{4}\)).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Голка знаходиться на висоті,\(0\) а верхня частина рідини в IV мішку знаходиться на\(y_{0}\).

У верхній частині розчину в IV мішку розчин має швидкість нуль і знаходиться при атмосферному тиску,\(P_{0} = 1\text{ atm}\).\(y_{0}\) Швидкість у голки є\(0\), а тиск -\(13457\text{ Pa} + 1\text{ atm}\). Принцип Бернуллі говорить:

\[\begin{aligned} P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{0}^{2}+\rho gy_{0}=P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{1} \end{aligned}\]

Використовуючи наші значення для вирішення for\(y_{0}\), ми отримуємо:

\[\begin{aligned} P_{0}+\rho gy_{0}&=P_{1} \\ y_{0}&=\frac{P_{1}-P_{0}}{\rho g} \\ y_{0}&=\frac{13457\text{ Pa}+1\text{ atm}-1\text{ atm}}{(997\text{kg/m}^{3})(9.8\text{m/s}^{2})} \\ y_{0}&= \frac{13457\text{ Pa}}{(997\text{ kg/m}^{3})(9.8\text{ m/s}^{2})} \\ y_{0}&=1.4\text{ m} \end{aligned}\]

Тому IV мішок слід розміщувати\(1.4\text{ m}\) вище руки пацієнта.