15.4: Резюме

Ключові виноси

Тиск від сили\(\vec F\), що чиниться над поверхнею з площею\(A\), - це скалярна величина, яка визначається як:

\[\begin{aligned} P=\frac{F_{\perp}}{A} \end{aligned}\]

де\(F_{⊥}\) - складова сили, перпендикулярна поверхні.

Якщо сила діє на частинки в рідині (наприклад, гравітація), тиск буде існувати скрізь у рідині. Якщо рідина поміщається в ємність, цей тиск призводить до зовнішньої сили на всіх поверхнях контейнера.

Якщо дві рідини під різним тиском існують по обидва боки інтерфейсу/об'єкта, чиста сила на цьому інтерфейсі/об'єкті від тиску рідин буде пропорційна різниці тиску рідин з обох сторін.

Рідина знаходиться в гідростатичній рівновазі, якщо сума сил на будь-який текучий елемент дорівнює нулю. При наявності сили тяжіння це завжди призводить до вертикального градієнта тиску

\[\begin{aligned}\frac{dP}{dy}=-\rho g \end{aligned}\]

де\(ρ\) - щільність рідини,\(g\) - величина гравітаційного поля Землі, а\(y\) вісь позитивна вгору.

Якщо рідина нестислива, то різниця в тиску між двома точками на висоті\(y_{1}\) і\(y_{2}\) задається:

\[\begin{aligned} P(y_{2})-P(y_{1})=-\rho g(y_{2}-y_{1}) \end{aligned}\]

Принцип Паскаля стверджує, що якщо зовнішній тиск\(P\), застосовується до одного місця в рідині, то тиск всюди в рідині збільшується на\(P\).

Якщо об'єкт занурений у рідину, він буде відчувати силу плавучості, яка знаходиться в протилежному напрямку до гравітаційного поля в цій рідині. Величина сили плавучості задається принципом Архімеда:

\[\begin{aligned} F_{B}=\rho Vg \end{aligned}\]

де,\(ρ\), - щільність рідини і,\(V\), - обсяг рідини, витісненої предметом (тобто обсяг тієї частини предмета, яка занурена в рідину).

Можна розрізнити ламінарний і турбулентний потік рідин. У ламінарному потоці окремі частинки в рідині слідують чітко визначеним обтічкам. У турбулентному потоці окремі частинки йдуть складними шляхами, які зазвичай включають вихрові струми. Загалом, моделювати ламінарний потік рідин набагато простіше.

Рівняння безперервності стверджує, що масова витрата рідини через замкнуту систему повинна бути однаковою скрізь в системі (жодна рідина не може з'явитися або зникнути). Для ламінарного потоку рідини з щільністю\(ρ\), що протікає зі швидкістю\(v\), по трубі з перетином\(A\), масова витрата є постійною:

\[\begin{aligned} \rho Av=\text{constant} \end{aligned}\]

Рідина, як кажуть, є нестисливою, якщо вона має постійну щільність. Для рідини постійної щільності об'ємна витрата\(Q\), повинна бути постійною всюди в закритій системі:

\[\begin{aligned} Q=Av=\text{constant} \end{aligned}\]

Принцип Бернуллі, який заснований на збереженні механічної енергії, стверджує, що наступна величина є постійною:

\[\begin{aligned} P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy=\text{constant} \end{aligned}\]

для ламінарного потоку рідини без в'язкості. \(P\)це внутрішній тиск рідини,\(v\) її швидкість і\(y\) висота рідини щодо фіксованої системи координат. Зокрема, Принцип Бернуллі передбачає, що для постійної висоти внутрішній тиск рідини повинен зменшуватися, якщо її швидкість збільшується.

В'язкість\(η\), для ламінарного потоку рідини може бути змодельована в результаті сили внутрішнього тертя між шарами рідини. Через в'язкість рідина не може протікати в горизонтальній трубі, якщо немає різниці в тиску по трубі. Аналогічно, не буде горизонтального градієнта тиску через рідину, якщо рідина не тече. Загалом, об'ємна витрата нестисливої рідини через трубу з опором задається:\(Q\)\(R\)

\[\begin{aligned} Q=\frac{\Delta P}{R} \end{aligned}\]

Для ламінарного потоку рідини з в'язкістю\(η\), через горизонтальну циліндричну трубу довжини та радіуса\(r\), швидкість потоку задається рівнянням Пуазейля:\(L\)

\[\begin{aligned}Q=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}\Delta P \end{aligned}\]

Важливі рівняння

При наявності гравітації:

\[\begin{aligned} \frac{dP}{dy}&=-\rho g \\ P(y_{2})-P(y_{1})&=-\rho g(y_{2}-y_{1}) \\ F_{B}&=\rho Vg \end{aligned}\]

Рівняння неперервності:

\[\begin{aligned} \rho Av&=\text{constant} \\ Q&=Av=\text{constant}\quad\text{(if incompressible)} \end{aligned}\]

Бернуллі:

\[\begin{aligned} P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy=\text{constant}\end{aligned}\]

В'язкість:

\[\begin{aligned} Q&=\frac{\Delta P}{R} \\ Q&=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}\Delta P\quad\text{(Poiseuille)} \end{aligned}\]

Важливі визначення

Визначення

Тиск: Вимірювання сили на одиницю площі. Одиниці СІ:\([\text{Pa}]\). Загальна змінна (и):\(P\).

Визначення

В'язкість: Вимірювання опору рідини потоку. Одиниці СІ:\([\text{Pas}]\). Загальна змінна (и):\(η\).

Визначення

Швидкість потоку: Вимірювання руху рідини, в обсязі за одиницю часу. Одиниці СІ:\([\text{m}^{3}\text{s}^{−1}]\). Загальна змінна (и):\(Q\).