15.3: Гідродинаміка

У попередніх розділах ми розробили «гідростатичні» моделі для рідин, коли ці рідини знаходяться в стані спокою (в деякій інерційній системі відліку). У цьому розділі ми розробляємо «гідродинамічні» моделі, щоб обговорити, що відбувається при протіканні рідин. Ми обмежимо наші моделі рідинами, які течуть «ламінарно», а не «бурхливою» модою.

Ламінарний потік - це потік рідини, коли кожна частинка в рідині йде шляхом, який може бути представлений лінією («обтічним»). Турбулентний потік - це потік рідини, де частинки можуть слідувати досить складними шляхами, зазвичай за участю «вихрових струмів» (маленькі вири). Два типи потоку проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ламінарний (ліворуч) і турбулентний (праворуч) потік рідини навколо об'єкта.

Безперервність потоку

Розглянемо ламінарний потік рідини через трубу, площа поперечного перерізу якої звужується від\(A_{1}\) до\(A_{2}\) у напрямку потоку, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Ламінарний потік рідини в звужується трубі.

Частинки, що входять до складу рідини, мають швидкість\(v_{1}\) на широкому кінці труби і швидкість\(v_{2}\) на вузькому кінці. Рівняння безперервності засноване на передумові, що рідина, яка потрапляє в трубу, повинна вийти з труби, оскільки рідини більше нікуди йти. Тобто, якщо протягом певного періоду часу\(∆t\), маса\(∆m\), рідини надходить в широкий кінець труби, то за цей же проміжок часу з вузького кінця труби повинна вийти така ж маса рідини.

Протягом певного періоду\(∆t\), рідина на широкому кінці труби буде проходити відстань\(l_{1} = v_{1}∆t\). Таким чином, обсяг рідини\(∆V_{1}\), буде надходити в широкий кінець труби:

\[\begin{aligned} \Delta V_{1}=A_{1}l_{1}=A_{1}v_{1}\Delta t \end{aligned}\]

Аналогічно за цей проміжок часу з вузького кінця труби\(∆V_{2}\) вийде об'єм:

\[\begin{aligned} \Delta V_{2}=A_{2}l_{2}=A_{2}v_{2}\Delta t \end{aligned}\]

Якщо рідина стискається, її щільність може змінюватися. \(ρ_{1}\)Дозволяти щільності рідини на широкому кінці труби і\(ρ_{2}\) бути щільністю рідини на вузькому кінці. Маса рідини\(∆m\), що надходить в широкий кінець труби, задається:

\[\begin{aligned} \Delta m = \rho _{1}\Delta V_{1}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\Delta t \end{aligned}\]

Маса рідини, що виходить з вузького кінця труби, задається:

\[\begin{aligned} \Delta m = \rho _{2}\Delta V_{2} = \rho _{2}A_{2}v_{2}\Delta t\end{aligned}\]

Маса рідини, що надходить в широкий кінець труби, повинна дорівнювати масі, що виходить з вузького кінця труби:

\[\begin{aligned} \rho _{1}A_{1}v_{1}\Delta t = \rho _{2}A_{2}v_{2}\Delta t \end{aligned}\]

Провідні до рівняння неперервності:

\[\rho _{1}A_{1}v_{1}=\rho _{2}A_{2}v_{2}\]

Величина\(ρAv\) має розміри маси за раз, і відповідає масі рідини, що проходить через поперечний переріз\(A\) за одиницю часу.

Якщо рідина нестислива, як і більшість рідин, то щільність однакова з обох сторін труби, а рівняння спрощує:

\[A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\qquad\text{(Incompressible fluid)}\]

Для рідини ми можемо визначити «об'ємний потік»\(Q\), як:

\[\begin{aligned} Q=Av \end{aligned}\]

де\(A\) - площа поперечного перерізу поверхні, через яку протікає рідина зі швидкістю\(v\), ¹. \(Q\)має розмірність обсягу за час, і відповідає обсягу рідини, що проходить через поперечний переріз\(A\) за одиницю часу. Для нестисливої рідини рівняння безперервності, таким чином, еквівалентно тому\(Q\), що об'ємний потік рідини є постійною.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Коли вода витікає з вашого крана, ви спостерігаєте, що потік води звужується, коли вода рухається вниз, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\). Чому це?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Вода витікає з крана.

1. Атмосферний тиск збільшується в міру руху вод вниз, тому потік води все більше стискається.
2. Оскільки вода прискорюється за рахунок сили тяжіння, площа поперечного перерізу проточної води повинна зменшуватися, щоб зберегти постійну швидкість потоку.

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Ваш садовий шланг має діаметр\(D = 2\text{ cm}\). Як швидко повинна витікати вода зі шланга, якщо ви маєте заповнити\(5\text{ l}\) відро за одну хвилину?

Рішення:

Нам потрібно, щоб об'ємний витрата від шланга був\(Q = 5\text{ l/min}\). Ми можемо перетворити це в одиниці виміру SI:

\[\begin{aligned} Q=(5\text{l/min})\left( \frac{1}{1000}\text{m}^{3}\text{/l} \right)\left( \frac{1}{60}\text{min/s} \right)=\frac{5}{6\times 10^{4}}\text{m}^{3}\text{/s} = 8.3\times 10^{-5}\text{m}^{3}\text{/s} \end{aligned}\]

Оскільки нам відома площа шланга, ми можемо визначити швидкість руху води для досягнення заданої швидкості потоку:

\[\begin{aligned} Q&=Av=\pi \left(\frac{D}{2} \right)^{2}v \\ \therefore v&=\frac{Q}{\pi \left( \frac{D}{2} \right)^{2}}=\frac{(8.3\times 10^{-5}\text{m}^{3}\text{/s})}{\pi (0.01\text{m})^{2}}=0.265\text{m/s} \end{aligned}\]

Принцип Бернуллі

У цьому розділі ми розглянемо, як змінюється тиск і швидкість рідини в міру протікання рідини. Обмежимося обговоренням ламінарного потоку нестисливої рідини без тертя. Бернуллі першим кількісно описав потік нестисливих рідин, і ми покажемо в цьому розділі, як вивести «Принцип Бернуллі».

Розглянемо ламінарний потік нестисливої рідини по трубі, яка змінює висоту, від\(y_{1}\) до\(y_{2}\), а також площа поперечного перерізу, від\(A_{1}\) до\(A_{2}\), як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). На малюнку зображений елемент рідини, синього кольору, як він рухається по трубі. Верхня панель відповідає розташуванню текучого елемента за часом\(t = 0\), тоді як нижня панель показує розташування елемента рідини в часі\(t = ∆t\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Ламінарний потік нестисливої рідини через трубу, яка змінює площу перерізу і висоту в напрямку потоку. Елемент рідини, синім кольором, відображається під час\(t = 0\) (верхня панель), а потім, пізніше,\(t = ∆t\) (нижня панель).

Для моделювання того, як рідина рухається по цій трубі, ми можемо використовувати енергію та теорему «Робота-Енергія». Почнемо з розгляду обсягу виконаної роботи над елементом рідини, коли він переміщається з положення у верхній панелі в положення в нижній панелі.

Рідина, яка знаходиться зліва від елемента рідини, чинить тиск\(P_{1}\), на елемент рідини, що призводить до чистої сили\(\vec F_{1}\), праворуч. Аналогічно, рідина праворуч від елемента рідини чинить чисту силу\(\vec F_{2}\) в протилежному напрямку, завдяки тиску\(P_{2}\) на ту сторону елемента рідини.

Через певний проміжок часу ліва частина елемента рідини буде переміщатися на відстань\(l_{1} = v_{1}∆t\), тоді як права частина елемента рідини буде переміщатися на відстань\(l_{2} = v_{2}∆t\).\(∆t\) Ми можемо розрахувати роботу, виконану кожною силою, визначаючи позитивну роботу, щоб бути в напрямку руху:

\[\begin{aligned} W_{1}&=F_{1}l_{1}=(P_{1}A_{1})(v_{1}\Delta t) \\ W_{2} &=-F_{2}l_{2}=-(P_{2}A_{2})(v_{2}\Delta t) \end{aligned}\]

Гравітація також буде робити (негативну) роботу над рідиною, коли вона змінює висоту. Через певний проміжок часу\(∆t\), маса рідини\(∆m\), буде переміщатися з положення\(y = y_{1}\) в положення\(y = y_{2}\). Маса рідини, яка змінює висоту, задається частиною рідини, яка рухається на відстань\(l_{1}\), з правого боку труби:

\[\begin{aligned} \Delta m = V_{1}\rho = A_{1}l_{1}\rho = A_{1}v_{1}\Delta t\rho \end{aligned}\]

Через рівняння безперервності це також дорівнює масі рідини, яка рухається на відстань\(l_{2}\), на лівій стороні труби:

\[\begin{aligned} \Delta m = V_{2}\rho = A_{2}l_{2}\rho = A_{2}v_{2}\Delta t\rho \end{aligned}\]

так як\(A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}\).

Таким чином, сила тяжіння зробить негативну роботу над цим елементом маси:

\[\begin{aligned} W_{g}=-\Delta mg(y_{2}-y_{1})=-(A_{1}v_{1}\Delta t\rho)g(y_{2}-y_{1}) \end{aligned}\]

Чиста робота, виконана над елементом рідини з часом,\(∆t\) таким чином:

\[\begin{aligned} W^{net}=W_{1}+W_{2}+W_{g}=P_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-P_{2}A_{2}v_{2}\Delta t - A_{1}v_{1}\Delta t \rho g(y_{2}-y_{1}) \end{aligned}\]

Зауважте, що через рівняння\(A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}\) безперервності ми можемо перерахувати a\(A_{1}v_{1}\) з кожного члена:

\[\begin{aligned} W^{net}=A_{1}v_{1}\Delta t(P_{1}-P_{2}-\rho g(y_{2}-y_{1})) \end{aligned}\]

Чиста робота, виконана над рідиною,\(∆K\) повинна дорівнювати зміні кінетичної енергії\(∆m\), маси елемента, від одного кінця труби до іншого:

\[\begin{aligned} \begin{aligned} \Delta K&=\frac{1}{2}\Delta mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}\Delta mv_{1}^{2} \\ &=\frac{1}{2}(A_{1}v_{1}\Delta t\rho )(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}) \end{aligned} \end{aligned}\]

Використовуючи теорему «Робота-енергія», ми маємо:

\[\begin{aligned} W^{net}&=\Delta K \\ A_{1}v_{1}\Delta t\left(P_{1} - P_{2}-\rho g(y_{2}-y_{1})\right)&=\frac{1}{2}(A_{1}v_{1}\Delta t\rho )(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}) \\ P_{1}-P_{2}-\rho g(y_{2}-y_{1})&=\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} \end{aligned}\]

Ми можемо переставити це так, щоб всі величини для кожної сторони труби знаходилися на одній стороні рівняння:

\[\begin{aligned} P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} +\rho gy_{1}=P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho gy_{2} \end{aligned}\]

Оскільки місця 1 і 2, які ми вибрали, є довільними, ми можемо констатувати, що для ламінарного нестисливого потоку наступна величина, оцінена в будь-якому положенні, є постійною:

\[P+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gy = \text{constant}\]

Це твердження є тим, що ми називаємо рівнянням Бернуллі, і еквівалентно збереженню енергії для рідини. Якщо рідина не тече\((v_{1} = v_{2} = 0)\), то це еквівалентно твердженню гідростатичної рівноваги, яке ми вивели в рівнянні 15.1.1:

\[\begin{aligned} P_{1}+\rho gy_{1}&=P_{2}+\rho gy_{2} \\ \therefore P_{2}-P_{1}=-\rho g(y_{2}-y_{1}) \end{aligned}\]

Якщо потік рідини знаходиться на постійній висоті\((y_{2} = y_{1})\), то рівняння Бернуллі можна записати так:

\[\begin{aligned} P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} \end{aligned}\]

Якщо рідина тече на постійній висоті така, що\(v_{2} > v_{1}\) (як на малюнку\(\PageIndex{2}\)), то\(P_{2} < P_{1}\); тобто тиск в рідині нижче, якщо рідина тече швидше. Зверніть увагу, що\(P\) це тиск всередині рідини і не пов'язаний з силою, яку чинила б рідина, якби вона зіткнулася з предметом. Має сенс, що рідина має нижчий тиск там, де вона рухається швидше, оскільки чиста сила, що надається на рідину, пов'язана з різницею тиску по обидва боки рідини. Рідина буде прискорюватися в напрямку, де тиск знижується, таким чином, вона буде рухатися швидше, коли вона знаходиться в районі низького тиску.

Принцип Бернуллі можна використовувати для опису багатьох явищ. Наприклад, крило літака (технічно «аерокрило») створює підйом, оскільки тиск повітря над крилом нижче тиску над крилом. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{5}\), на якому видно, що ламінарний потік повітря створює область низького тиску над крилом. Коли потокові лінії повітря стикаються з крилом, ті, що знаходяться над крилом, стискаються разом, що призводить до більш швидкої швидкості повітря над крилом (рівняння безперервності). Отримана різниця тиску повітря вище і нижче крила призводить до чистої сили вгору на крилі.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Ламінарний потік повітря навколо аерокрила. Кривизна асиметричного аеропрофілю змушує обтічні лінії над аерофолистом разом, збільшуючи швидкість повітря за рахунок рівняння безперервності, і в результаті утворюється область низького тиску.

Принцип Бернуллі також описує, чому дах можна піднімати з будинку при сильному вітрі (рис.\(\PageIndex{6}\), ліва панель). Не сила вітру проти даху здуває дах з будинку; це різниця тиску повітря в будинку (нормальний) та тиску над дахом (низький, через проточний вітер), що призводить до чистої сили вгору на даху. Принцип Бернуллі також використовується для побудови пульверизаторів, які дозволяють розпорошувати рідину в пляшці (малюнок\(\PageIndex{6}\), права панель). Наприклад, флакони для парфумів часто мають колбу, з'єднану з трубкою/носиком. Коли ви стискаєте колбу, це призводить до того, що повітря в трубці швидко надходить, створюючи низький тиск у вертикальному відрізку носика. Рідина витісняється тиском у пляшці; як тільки рідина надходить у швидко протікає повітря, вона розпорошується разом з повітрям.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): (Зліва:) вітер, що протікає над дахом, створює зону низького тиску над дахом. (Праворуч:) повітря, що протікає над вертикальним носиком в розпилювачі, створює зону низького тиску; тиск повітря в пляшці змушує рідину вгору носика.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Коли швидкісний поїзд їде з постійною швидкістю, чи є чиста сила на вікна від тиску повітря?

1. Ні, так як вікна нерухомі щодо поїзда, то чиста сила на них від тиску повітря відсутня.
2. Так, є сітка назовні сила на вікна від тиску повітря.
3. Так, є сітчаста внутрішня сила на вікна від тиску повітря.

Відповідь

Наступні приклади ілюструють, як застосовувати принцип Бернуллі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Вода витікає з горизонтального отвору в резервуарі для води.

Водонапірна вежа побудована так, що дно резервуара для води знаходиться на висоті\(h_{2}\) над землею, як показано на малюнку\(\PageIndex{7}\). Вода в баку знаходиться на висоті\(h_{1}\) від дна бака. Виявлена витік з отвору біля основи бака (вода випливає горизонтально з отвору). Яке відстань по горизонталі\(d\), від дна вежі до місця, де вода з витоку потрапляє на землю? Припустимо, що рівень води в резервуарі постійний і що атмосферний тиск помітно не змінюється по висоті вежі.

Рішення:

Тиск в резервуарі для води призводить до того, що вода виходить з дна бака з горизонтальною швидкістю величини,\(v\). Ця вода потім піддається руху снаряда на шляху до землі. Ми можемо спочатку визначити швидкість води, що виходить з резервуара, а потім використовувати кінематику для руху снаряда для моделювання відстані,\(d\).

Моделюємо потік води за допомогою двовимірної системи координат з горизонтальною\(x\) віссю (позитивна праворуч), і вертикальною\(y\) віссю (позитивна вгору). Розміщуємо початок на дні водонапірної вежі, на землі, нижче отвору, як показано на малюнку\(\PageIndex{7}\).

У верхній частині бака, на висоті\(y = h_{1} + h_{2}\), вода має швидкість нуль і знаходиться під атмосферним тиском,\(P_{0}\). На виході з отвору на дні бака, на висоті\(y = h_{2}\), вода має швидкість\(v_{2}\) і також знаходиться під атмосферним тиском. Використовуючи рівняння Бернуллі у верхній (1) та нижній (2) резервуара, ми маємо:

\[\begin{aligned} P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{1}&=P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho gy_{2} \\ P_{0} +(0) +\rho g(h_{1}+h_{2})&=P_{0}+\frac{1}{2}\rho v^{2}+\rho gh_{2} \\ \therefore v_{2}&=\sqrt{2gh_{1}} \end{aligned}\]

яка саме швидкість, яку матиме будь-який об'єкт,\(h_{1}\) що падає на відстань.

Використовуючи кінематику, ми можемо знайти час, коли вода потрапить на відстань\(h_{2}\) (де швидкість води горизонтальна, коли вона виходить з резервуара):

\[\begin{aligned} h_{2}&=\frac{1}{2}gt^{2} \\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2h_{2}}{g}} \end{aligned}\]

Відстань,\(d\) яку охоплює вода, таким чином, задається:

\[\begin{aligned} d=v_{2}t=\sqrt{2gh_{1}}\sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}=\sqrt{4h_{1}h_{2}} \end{aligned}\]

Обговорення:

Ми виявляємо, що вода, що виходить із дна резервуара, коли є висота, води над нею\(h_{1}\), що забезпечує тиск, матиме таку ж швидкість, як і у частинки, яка впала на відстань\(h_{1}\). Це пов'язано з тим, що немає чистої різниці тиску між верхньою частиною резервуара для води і там, де вода вийшла з отвору, тому гравітація є єдиною силою, яка виконує роботу над водою. Гравітація буде працювати з тією ж швидкістю на частинках води, що і на будь-якій іншій частинці, тому швидкість частинок води на дні резервуара така ж, як якщо б вони впали на відстань,\(h_{1}\). Знову ж таки, як тільки частинки води падають через повітря, гравітація - це єдина чиста сила, що чиниться на ці частинки, тому вони зазнають руху снаряда, як і будь-яка інша частинка.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Ви вимірюєте, що вода виходить з вашого кухонного змішувача зі швидкістю\(6\text{ l/min}\). Змішувач має діаметр\(2\text{ cm}\). З якою швидкістю буде витікати вода з вашого підвального крана, який має діаметр\(1\text{ cm}\) і розташований на висоту\(h=\text{ 3 m}\), нижче вашого кухонного змішувача? Припустимо, що атмосферний тиск\(P_{0}\), не змінюється помітно між вашою кухнею і підвалом.

Рішення:

Вода витікає з кухонного крана зі швидкістю\(v_{1}\), де тиск атмосферний. Якщо площа кухонного змішувача є,\(A_{1}\) ми можемо визначити швидкість\(v_{1}\), з заданої витрати,\(Q_{1} = 6 \text{l/min} = 1 × 10^{−4} \text{m}^{3}\text{/s}\):

\[\begin{aligned} Q_{1}&=A_{1}v_{1} \\ v_{1}&=\frac{Q_{1}}{A_{1}}=\frac{(1\times 10^{-4}\text{m}^{3}\text{/s})}{\pi (0.01\text{cm})^{2}}=0.318\text{m/s} \end{aligned}\]

Вода буде витікати з підвального крана зі швидкістю\(v_{2}\), де тиск теж атмосферне,\(P_{0}\). Ми можемо використовувати рівняння Бернуллі, щоб пов'язати потік з підвального крана (2) з тим, що на кухонному крані (1). \(y\)Вісь вертикальної системи координат вибираємо таку, щоб підвал розташовувався при\(y_{2} = 0\) і змішувач для кухні розташовувався за адресою\(y_{1} = 3\text{ m}\):

\[\begin{aligned} P_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{1}&=P_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho gy_{2} \\ P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho gy_{1}&=P_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2} \\ \frac{1}{2}v_{1}^{2}+gy_{1}&=\frac{1}{2}v_{2}^{2} \\ \therefore v_{2}&=\sqrt{v_{1}^{2}+2gy_{1}} \\ &=\sqrt{(0.318\text{m/s})^{2}+2(9.8\text{m/s}^{2})(3\text{m})} = 7.67\text{m/s} \end{aligned}\]

Відповідна витрата на підвальному крані складе:

\[\begin{aligned}Q_{2}=A_{2}v_{2}=\pi(0.005\text{m})^{2}(7.67\text{m/s})=6.03\times 10^{-4}\text{m}^{3}\text{/s}=36.171\text{/min}\end{aligned}\]

Обговорення:

Виявляємо, що витрата з підвального крана в шість разів більше, ніж у кухонного змішувача. Швидкість води, що виходить з підвального крана, більш ніж в\(20\) рази перевищує швидкість води на кухонному крані. Хоча це правда, що один отримує кращий тиск води з крана, який нижче в будівлі, ця зміна потоку нереально висока, і це погана модель для потоку води в трубах вашого будинку.

Ви можете легко переконатися, що швидкість руху води на різних рівнях вашого будинку не змінюється на коефіцієнт, близький\(20\) для\(3\text{ m}\) зміни висоти (можна було порівняти витрату для двох кранів з однаковим діаметром). Це тому, що наша модель нехтує ефектом тертя, коли вода тече в трубах; насправді в трубах набагато більший тиск, ніж через гравітацію, а також градієнт тиску у ваших трубах, що призведе до того, що швидкість потоку буде подібною на вашій кухні та підвалі.

В'язкість

Поки ми припускали, що рідини течуть без тертя. Насправді частинки, що рухаються в рідині, надають внутрішнє тертя один на одного, яке називається «в'язкістю». Це можна моделювати як тертя між різними шарами рідини в ламінарному потоці. Наприклад, ви можете помітити, що вода, яка тече в широкій річці, протікає набагато швидше посередині річки, ніж біля берегів річок, де вода практично нерухома, як показано на малюнку\(\PageIndex{8}\).

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Вода тече в річці; вода біля берегів майже нерухома через в'язкість води.

Можна змоделювати береги річки як чинивши силу тертя на шар води, що контактує з берегами. Потім цей шар чинить силу тертя на наступний шар ближче до центру річки, і так далі.

Можна визначити коефіцієнт в'язкості\(η\), виходячи з вимірювання сили, необхідної для витягування пластини повз іншу пластину, коли між пластинами є рідина. Розглянемо дві пластини, які мають площу\(A\), які знаходяться на\(l\) відстані один від одного, і містять цікаву рідину між ними, як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\).

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Рідина, поміщена між рухомою пластиною (зверху) і нерухомою пластиною (знизу) з метою вимірювання в'язкості рідини.

В'язкість рідини визначається виходячи з сили, яка необхідна для натягування верхньої пластини, в той час як нижня пластина залишається нерухомою. Шар рідини безпосередньо під рухомою пластиною буде рухатися разом з пластиною зі швидкістю\(v\), тоді як шар рідини, який безпосередньо контактує, буде нерухомою пластиною також буде нерухомою. Переміщення однієї пластини, таким чином, призведе до градієнта (зміни) швидкості рідини в залежності від положення між двома пластинами. Величина сили\(\vec F\), необхідної для переміщення однієї пластини зі швидкістю\(v\), була емпірично визначена, щоб бути пропорційною площі пластин\(A\), а швидкість\(v\), будучи обернено пропорційною відстані\(l\), між двома пластинами:

\[\begin{aligned} F ∝ A\frac{v}{l} \end{aligned}\]

Константа пропорційності визначається як в'язкість рідини:\(η\)

\[F=ηA\frac{v}{l}\]

Якщо в'язкість рідини дорівнює нулю, то ніякого зусилля для витягування пластини не потрібно. Чим в'язкіше рідина, тим складніше витягнути верхню пластину. Ви можете поекспериментувати з цим, порівнюючи силу, необхідну для переміщення невеликого аркуша паперу через верхню частину калюжі води і через верх меду.

Наявність в'язкості означає, що будь-яка рідина, яка тече, втратить механічну енергію через внутрішнього тертя (яке буде нагрівати рідину). Таким чином, рівняння Бернуллі не є правильним, якщо рідина має в'язкість, оскільки рідина не може протікати через горизонтальну трубу без зміни тиску для подолання втрат через тертя.

Потік Пуазейля

Для протікання нестисливої в'язкої рідини через трубу можна постулювати, що витрата\(Q\), пропорційна зміні тиску\(∆P\), по трубі:

\[\begin{aligned} Q ∝ ∆P \end{aligned}\]

де\(∆P\) приймається як позитивна різниця між тиском на будь-якому кінці труби. Рідина тече від високого тиску до низького тиску. Ми можемо ввести константу пропорційності\(R\), бути «опір труби», щоб ми могли написати:

\[\begin{aligned} Q=\frac{\Delta P}{R} \end{aligned}\]

де ми писали константу пропорційності як\(1/R\), так що більша величина\(R\) відповідає трубі з більш високим опором потоку. Тобто при заданій різниці тисків, як один збільшує опір труби, зменшує швидкість потоку через цю трубу. Наведені вище співвідношення можна використовувати для емпіричного визначення опору труби.

Витрата по трубі з заданим опором буде дорівнює нулю, якщо в рідині по трубі немає градієнта тиску. І навпаки, якщо в трубі немає потоку рідини, тиск всюди в трубі однаковий. Таким чином, ми також можемо розглядати падіння тиску в трубі як результат протікання рідини через трубу. Тиск не може впасти по горизонтальній трубі, якщо немає потоку.

Коли ви закриваєте кран на кухонному крані, тиск всередині крана близький до тиску в магістральній водопроводі, яка постачає ваш будинок. Як тільки ви відкриваєте кран і даєте воді текти, тиск у вашому крані падає до атмосферного, а отриманий градієнт тиску від основного підведення змушує воду витікати з крана. Якщо ви спробуєте підключити кухонний змішувач великим пальцем і зупинити потік води, вам потрібно буде докласти силу, досить велику, щоб подолати тиск, який існує в магістральному водопостачанні. Ви виявите, що зупинити потік води великим пальцем практично неможливо, оскільки тиск в магістральному подачі повинен бути досить високим, щоб подолати опір труб і все ж призвести до корисного потоку води.

Пуазей вперше розробив модель для ламінарного потоку рідини через рівномірну горизонтальну циліндричну трубу довжини\(L\), з круглим перетином з радіусом\(r\). Він встановив, що опір такої труби рідині в'язкості\(η\), задається:

\[\begin{aligned} R=\frac{8ηL}{\pi r^{4}} \end{aligned}\]

Це має певний інтуїтивний сенс, оскільки ми очікуємо більшого опору (більший імпеданс потоку), якщо труба довша і якщо рідина більш в'язка (опір дорівнює нулю, якщо немає в'язкості). Далі очікуємо меншого опору, якщо труба має більший радіус. Опір, знайдений Пуазейлем, знижується як четверта потужність радіуса. Таким чином, труба, яка в два рази ширше, матиме об'ємний потік, який в\(2^{4} = 16\) рази більше через зниженого опору.

Ламінарний\(Q\) витрата в'язкої рідини через трубу довжини\(L\) та радіуса\(R\), коли існує різниця тисків\(∆P\), задається:

\[Q=\frac{\pi r^{4}}{8ηL}\Delta P\]

Це зазвичай називають «рівнянням Пуазейля».

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Чи залежить витрата води з садового шланга від довжини шланга?

1. Ні, так як обсяг води, що надходить в шланг, також повинен виходити зі шланга, не має значення, якої довжини шланг.
2. Так, опір шланга залежить від його довжини, тому перепад тиску по шлангу зміниться, як і витрата.

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Ви моделюєте потік води для міста. Два будинки підключаються паралельно до магістрального водопостачання, щоб вода з магістрального водопроводу надходила або в будинок 1, або будинок 2, а потоки з кожного будинку потім знову приєднуються до магістрального підведення. Різниця в тиску\(∆P\), між точкою входу і виходу води однакова для кожного будинку, і кожен будинок може бути змодельований як має чистий опір,\(R_{1}\) або\(R_{2}\), до потоку води, як показано на малюнку\(\PageIndex{10}\). Якщо ви моделюєте два будинки як еквівалент одного «ефективного» будинку з ефективним опором\(R\), яке значення з\(R\) точки зору\(R_{1}\) і\(R_{2}\)?

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Потік води розділяється на два паралельні шляхи, які знову з'єднуються.

Рішення:

Вода з магістралі повинна буде протікати або через будинок 1, або будинок 2. Якщо витрата через магістраль є\(Q\), вимагаємо, щоб це дорівнювало сумі витрат через кожен будинок:

\[\begin{aligned} Q=Q_{1}+Q_{2} \end{aligned}\]

Потік через кожен будинок пов'язаний з різницею тиску\(∆P\), через кожен будинок (який однаковий), а також з опором цього будинку:

\[\begin{aligned} Q_{1}&=\frac{\Delta P}{R_{1}} \\ Q_{2}&=\frac{\Delta P}{R_{2}} \end{aligned}\]

Загальна витрата, таким чином, становить:

\[\begin{aligned} Q=Q_{1}+Q_{2}&=\frac{\Delta P}{R_{1}}+\frac{\Delta P}{R_{2}} \\ &=\Delta P \left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right) \end{aligned}\]

Ми можемо записати це як потік через ефективний опір\(R\), з різницею тиску\(∆P\):

\[\begin{aligned} Q&=\frac{\Delta P}{R} \\ \therefore R&=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}} \end{aligned}\]

Обговорення:

Вимагаючи, щоб сума потоків води через будинки була такою ж, як швидкість потоку по магістральній трубі, ми змогли змоделювати два будинки як єдиний ефективний будинок з опором\(R\). Ви можете помітити, що це те ж відношення, що і еквівалентний опір для двох електричних резисторів, об'єднаних паралельно. Це пояснюється тим, що потік електричного струму в резисторі можна моделювати за допомогою аналогічних інструментів, що необхідні для моделювання потоку в'язкої рідини в трубі.

Виноски

1. Якщо швидкість руху рідини не перпендикулярна поверхні, то\(v\) є складовою швидкості, перпендикулярної поверхні.