15.1: Тиск

Тиск, що чиниться силою\(\vec F\), над поверхнею з площею\(A\), - це скалярна величина\(P\), яка визначається як:

\[\begin{aligned} P=\frac{F_{\perp}}{A}\end{aligned}\]

де\(F_{⊥}\) - складова сили, перпендикулярна поверхні. Одиницею СІ для тиску є Паскаль (Па). Тиск пов'язаний з областю\(A\), над якою чиниться сила, і його можна розглядати як міру того, наскільки зосереджена ця сила. Наприклад, сила, що\(10\text{ N}\) чиниться через голку (невелика площа), призведе до набагато більшого тиску, ніж якби ця сила чинилася плоскою рукою (більша площа).

Коли сила чиниться на рідину, вона створює тиск, який ми моделюємо як всюди в рідині. Для кожного елемента в рідині тиск від навколишньої рідини надає внутрішню силу на елемент з усіх боків (див. Рис.\(\PageIndex{1}\)). У реакції елемент надає зовнішню силу у всіх напрямках, і ці сили діють на сусідні елементи.

Це дещо аналогічно натягу, яке існує всюди в мотузці, де кожен елемент мотузки відчуває сили від сусідніх елементів в мотузці, які намагаються «розірвати її». Тиск можна розглядати як «негативну» напругу, в тому, що матеріал під тиском відчуває сили, які намагаються зруйнувати елемент на себе, а не намагається витягнути його. Щоб створити напругу в мотузці, можна було б надавати зовнішню силу на мотузку (для того, щоб розтягнути її), щоб мотузка чинила внутрішню силу у реакції. Для того, щоб створити тиск у рідині, потрібно чинити внутрішню силу на рідину, яка потім надає зовнішню силу в реакції.

Якщо розглядати невеликий кубічний об'єм рідини, як зображено в центрі малюнка\(\PageIndex{1}\), то цей елемент рідини буде відчувати всередину сили у всіх напрямках від тиску в навколишній рідині, як ілюструють стрілки. Якщо сили від тиску призводять до відсутності чистої сили на рідинний елемент, то ми говоримо, що рідина знаходиться в гідростатичній рівновазі, а елемент рідини буде перебувати в стані спокою в інерційній системі відліку.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Невеликий елемент всередині рідини з тиском не відчуватиме чистої сили від тиску в рідині, оскільки сила, пов'язана з тиском у рідині, діє у всіх напрямках.

Розглянемо, замість цього, елемент рідини, який знаходиться на краю ємності для рідини (наприклад, чашку води), як зображено на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): На краю контейнера невеликий елемент рідини буде чинити зовнішню силу на контейнер, і контейнер буде чинити внутрішню силу на елемент рідини.

У цьому випадку немає рідини з правого боку елемента рідини, щоб чинити силу вліво. Якщо елемент рідини знаходиться в рівновазі, то це повинен бути контейнер, який чинить цю силу,\(\vec F\) контейнер, на рідину. За Третім законом Ньютона елемент рідини надає зовнішню силу на контейнер. Це вірно у всіх точках на поверхні ємності, які будуть відчувати зовнішню силу від тиску рідини. Якщо тиск постійний над поверхнею, величина зовнішньої сили на поверхні буде дорівнює тиску рідини, помноженому на площу цієї поверхні.

Якщо помістити порожню герметичну консервну банку під водою, вода буде чинити тиск на всі поверхні жерстяної банки, що призводить до сітчастої внутрішньої сили на всіх поверхнях жерстяної банки. Якщо напір води буде досить високим, бляшана банка отримає подрібнення. Якщо, з іншого боку, консервну банку дозволити наповнити водою, вона не буде подрібнена, оскільки вода всередині жерстяної банки матиме такий же тиск, як вода поза консервної банки, і буде надавати рівну чисту зовнішню силу на всіх поверхнях консервної банки. Чиста сила на кожній поверхні банки буде дорівнює нулю, а консервна банка не буде подрібнюватися, незалежно від того, наскільки високий тиск води.

Взагалі, якщо є інтерфейс з рідиною по обидва боки від нього різного тиску, саме різниця в тиску по обидва боки інтерфейсу визначає чисту силу, що чиста сила, що надається на інтерфейс, а не абсолютний тиск.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Ви розміщуєте жерстяну банку на стіл, а насос створюєте вакуум всередині банки. Ви спостерігаєте, що бляшана банка розчавлюється. Яке пояснення є правильним?

1. Всмоктуючи повітря з банки, ви також всмоктуєте стінки банки.
2. Ви знижуєте тиск всередині банки, так що повітря за межами банки чинить більшу внутрішню силу на банку, ніж зовнішня сила з повітря всередині банки.
3. Ви знижуєте тиск всередині банки, щоб повітря всередині банки чинив тягне зусилля на стінки банки.
4. Все перераховане вище - це все дійсні способи моделювання цього.

Відповідь

вплив гравітації

Обговорюючи малюнок\(\PageIndex{1}\), ми стверджували, що рідина чинить рівну силу, з усіх боків, на елемент рідини, так що чиста сила на елементі рідини дорівнює нулю. Це не зовсім правильно при наявності сили тяжіння, де рідинний елемент буде мати вагу. Таким чином, якщо елемент рідини повинен знаходитися в рівновазі, сила вгору (і тиск) від рідини нижче повинні бути вище, ніж від рідини над елементом рідини.

\(\PageIndex{3}\)На малюнку зображений елемент рідини, який має висоту\(h\) і площу поверхні\(A\) в горизонтальній площині. Тиск\(P_{2}\), в рідині нижче елемента рідини повинен бути вище тиску\(P_{1}\), вище елемента рідини, якщо елемент рідини знаходиться в рівновазі.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): При наявності сили тяжіння тиск нижче елемента рідини повинен бути більшим, якщо елемент рідини повинен залишатися в рівновазі.

Елемент рідини має загальну масу\(m\), задану:

\[\begin{aligned} m = \rho V = \rho Ah \end{aligned}\]

де\(V = Ah\),, - обсяг рідини, причому\(ρ\), її щільність.

Чиста (горизонтальна) сила, що чиниться зовнішньою рідиною на текучий елемент, дорівнює нулю вздовж вертикальних поверхонь. \(P_{1}\)Дозволяти тиск в рідині над елементом рідини, і\(P_{2}\) бути тиск нижче елемента рідини. Якщо ми виберемо вісь y, яка є позитивною вгору, і елемент рідини не прискорюється у вертикальному напрямку, то компонент y другого закону Ньютона, написаний для елемента рідини, такий:

\[\begin{aligned} &\sum F_{y} =F_{2}-F_{1}-mg=0 \\ &P_{2}A-P_{1}A-mg=0 \\ &P_{2}A-P_{1}A-\rho Ahg=0 \\ &\therefore P_{2}-P_{1}=\rho gh \end{aligned}\]

де ми використовували той факт, що сила, що виникає в результаті тиску, задається тиском, помноженим на площу, над якою воно чиниться. Таким чином, ми знаходимо, що різниця в тиску, обумовлена гравітацією в рідині між двома положеннями\(y_{1}\),\(y_{2}\) і, задається:

\[P(y_{2})-P(y_{1})=-\rho g(y_{2}-y_{1})\]

де\(y\) вісь визначена для збільшення у напрямку вгору. Оскільки тиск в рідині залежить від місця розташування в рідині, ми говоримо, що в рідині існує «градієнт тиску».

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Тримання води у вертикальній соломі.

Ви використовуєте палець, щоб перекрити верхній кінець соломи, а потім вийміть соломинку зі склянки води. Яке найбільш правильне опис того, чому вода залишається в соломі (рис.\(\PageIndex{4}\)) перед тим, як відпустити палець?

1. Солома не може мати вакууму всередині неї; якщо палець не буде видалений, щоб впустити повітря, щоб замінити воду, вода залишиться в соломі.
2. Над водою є невелика кількість вакууму, який всмоктує воду вгору і запобігає її падінню.
3. Тиск повітря в соломі нижче води вище, ніж тиск повітря в соломі над водою.
4. Тиск повітря в соломі нижче води нижче тиску повітря в соломі над водою.

Відповідь

Ми припустили, що щільність рідини, постійна\(ρ\), і що рідина не може бути стиснута. Це дуже хороше наближення для такої рідини, як вода, але не для газу, щільність якого буде залежати від її тиску. Якщо рідина була газом (наприклад, стовпом повітря в нашій атмосфері), і щільність, і тиск будуть змінюватися в залежності від висоти. Ми можемо легко врахувати це в нашій моделі, якщо врахувати, що елемент рідини має дуже малу висоту\(dy\), замість кінцевої висоти\(h\), як у виведенні вище. Рідкий елемент з нескінченно малою висотою\(dy\), проілюстрований на рис\(\PageIndex{5}\).

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Градієнт тиску від сили тяжіння на нескінченно малому елементі рідини.

На дуже малій висоті\(dy\), щільність рідини\(ρ\), може бути прийнята постійною, і нескінченно малий елемент рідини матиме масу\(dm\):

\[\begin{aligned} dm=\rho Ady \end{aligned}\]

Ми можемо моделювати тиск, який чинить рідина над елементом рідини як\(P + dP\), так і тиск, який чинить рідина нижче\(P\), як, де\(dP\) невелика (негативна) зміна тиску ¹. \(y\)Компонент Другого закону Ньютона, написаний для нескінченно малого елемента рідини, таким чином:

\[\begin{aligned} \sum F_{y} = PA-(P+dP)A-dmg &=0 \\ PA-PA-dPA-\rho Adyg&=0 \\ \therefore - dP - \rho gdy &=0 \end{aligned}\]

Таким чином, ми можемо визначити, як змінюється тиск з висотою,\(y\):

\[\frac{dP}{dy}=-\rho g\]

Це говорить нам про те, що швидкість зміни тиску зі збільшенням\(y\) негативна; іншими словами, тиск зменшується у міру збільшення висоти, як ми вже зробили висновок. Ми можемо інтегрувати рівняння, щоб отримати зміну тиску в переході від\(y_{1}\) до\(y_{2}\):

\[\begin{aligned} dP&=-\rho gdy \\ \int_{P_{1}}^{P_{2}}dp&=-\int_{y_{1}}^{y_{2}}\rho gdy \\ \therefore P_{2}-P_{1}&= - \int_{y_{1}}^{y_{2}}\rho gdy \end{aligned}\]

Якщо щільність,\(ρ\), постійна, то це призводить до Рівняння 15.1.1. Зауважте, що до цих пір ми лише моделювали, як тиск у рідині змінюється з висотою, але ми не визначили абсолютний тиск у рідині.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Якщо припустити, що щільність повітря пропорційна його тиску, то як змінюється щільність повітря з висотою?

Рішення:

Ми знаємо, що швидкість зміни тиску з висотою (положення\(y\), де позитивне\(y\) визначається вгору) задається:

\[\begin{aligned}\frac{dP}{dy}=-\rho g \end{aligned}\]

Так як можна вважати, що щільність пропорційна тиску, можна ввести довільну константу\(a\), і стверджувати, що:

\[\begin{aligned} \rho &=aP \\ \therefore \frac{dP}{dy}&=\frac{d}{dy}\frac{1}{a}\rho = \frac{1}{a}\frac{d\rho}{dy} \end{aligned}\]

де константу\(a\) можна оцінити, якщо ми знаємо тиск і щільність в якийсь момент. Таким чином, ми можемо записати, що швидкість зміни щільності з положенням\(y\) задається:

\[\begin{aligned} \frac{1}{a}\frac{d\rho}{dy}&=-\rho g \\ \therefore \frac{d\rho}{dy}&=-ag\rho \end{aligned}\]

Це відокремлене диференціальне рівняння для\(ρ\), що дозволяє відокремити змінні та інтегрувати від\(y = 0\), скажімо, висоти\(ρ_{0}\), де щільність\(y\), до висоти, де щільність\(ρ\):

\[\begin{aligned} \frac{d\rho}{\rho}&=-agdy \\ \int_{\rho_{0}}^{\rho}\frac{d\rho}{\rho}&=-\int_{0}^{y}agdy \\ \ln (\rho)-\ln (\rho _{0})&=-agy \\ \ln\left(\frac{\rho}{\rho _{0}} \right)&=-agy \end{aligned}\]

Ми можемо взяти експоненціальну з кожного боку рівняння, щоб позбутися від логарифма:

\[\begin{aligned} \frac{\rho}{\rho_{0}}&=e^{-agy} \\ \therefore \rho (y)&=\rho _{0}e^{-agy} \end{aligned}\]

Таким чином, ми знаходимо, що щільність повітря зменшується експоненціально з висотою. Саме тому дихати на великій висоті важче. Оскільки ми припустили, що щільність повітря пропорційна його тиску, тиск повітря також буде зменшуватися в геометричній прогресії зі збільшенням висоти:

\[\begin{aligned} P(y)=P_{0}e^{-agy} \end{aligned}\]

де\(P_{0}\) - тиск на висоті\(y = 0\). Якщо ми знаємо\(P_{0}\) і\(ρ_{0}\), то\(a\) константу задають:

\[\begin{aligned} a=\frac{\rho _{0}}{P_{0}} \end{aligned}\]

Обговорення:

Якби ми застосували цю модель до атмосфери Землі, наша модель забезпечила б лише якісне узгодження, оскільки щільність повітря також залежить від його температури та інших факторів. Тим не менш, цікаво, що, виходячи з простої вимоги, щоб елемент повітря знаходився в гідростатичній рівновазі, ми можемо отримати розумний опис того, як змінюється тиск і щільність з висотою в атмосфері Землі.

Принцип Паскаля

Принцип Паскаля стверджує, що якщо на рідину чиниться зовнішній тиск, тиск скрізь у рідині збільшується на цю кількість. Наприклад, якщо рідина міститься в поршні з площею поперечного перерізу\(A\), і на поршень чиниться сила (рис.\(\PageIndex{6}\)), то тиск всюди в рідині збільшується на\(F/A\).\(F\)

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Сила, що чиниться на поршень, збільшить тиск всюди в рідині.

Якщо ми хочемо визначити абсолютний тиск у воді на деякій глибині\(h\), в океані, нам потрібно включити той факт, що атмосфера Землі чинить вниз силу на поверхню океану на додаток до того, що тиск змінюється з глибиною внаслідок гравітації. Тиск повітря в атмосфері Землі називається «атмосферним тиском», і залежить від безлічі умов, таких як погода. Середній тиск з атмосфери становить\(P_{0} = 1.013 × 10^{5}\text{ Pa}\). Якщо атмосферний тиск знаходиться\(P_{0}\) на поверхні океану, то тиск на деякій глибині\(h\), задається:

\[\begin{aligned} P(h)=P_{0}+\rho gh \end{aligned}\]

де\(ρ\) - щільність води. Як наслідок, тиск на будь-якій глибині\(h\), в рідині однаково скрізь на цій глибині в рідині.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Три келихи різної форми.

Ви заповнюєте три склянки на малюнку\(\PageIndex{7}\) таким чином, щоб рідина досягала висоти h над дном склянки. Що можна сказати про тиск рідини на дні кожної склянки?

1. Він найвищий для скла\(A\).
2. Він найвищий для скла\(B\).
3. Він найвищий для скла\(C\).
4. Він однаковий для всіх окулярів.
5. Це однаково для всіх окулярів, якщо ми можемо знехтувати атмосферним тиском.

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Сила, що чиниться на поршень гідравлічного підйомника з метою життя маси\(M\).

Гідравлічний підйомник використовує принцип Паскаля для того, щоб використовувати невелику силу, щоб надати велику силу. Гідравлічний підйомник на малюнку\(\PageIndex{8}\) показує ліфт, який побудований шляхом наявності рідини між двома вертикальними рухомими поршнями. Поршні циліндричні і діаметр їх поперечних перерізів -\(D\) і\(D/2\). На поршень з більшим діаметром поміщається маса.\(M\) Яка величина сили\(\vec F\), яку потрібно прикладати на менший поршень для того, щоб підняти масу,\(M\)?

Рішення:

Якщо докласти зусилля\(\vec F\) до маленького поршня, то тиск в рідині збільшиться на:

\[\begin{aligned} \Delta P = \frac{F}{A}=\frac{F}{\pi \frac{D^{2}}{4}}=\frac{4F}{\pi D^{2}}\end{aligned}\]

Це призведе до чистого зусилля вгору\(\vec F'\), на великому поршні, з величиною:

\[\begin{aligned} F' = \Delta P A' = \Delta \pi D^{2} = \frac{4F}{\pi D^{2}}\pi D^{2}=4F\end{aligned}\]

Таким чином зусилля на великому поршні буде в чотири рази більше, ніж чиниться на малий поршень. Потрібно лише докласти силу з величиною для\(Mg/4\) того, щоб підняти масу,\(M\).

Вимірювання тиску

У цьому розділі ми опишемо, як можна конструювати прилади для вимірювання тиску. Найбільш простим пристроєм є манометр, який сконструйований за допомогою U-образної трубки, заповненої рідиною відомої щільності\(ρ\), як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\).

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Манометр може вимірювати різницю між тиском\(P\) і атмосферним тиском,\(P_{0}\). Ця різниця називається «манометричним тиском».

Манометр може використовуватися для вимірювання тиску\(P\) щодо атмосферного,\(P_{0}\). Один кінець трубки відкритий для атмосферного тиску, а інший підключений до рідини (наприклад, газу), для якої ми хочемо виміряти тиск. Якщо вимірюваний тиск більший за атмосферний тиск, рідина в манометрі буде відчувати більшу силу вниз на стороні вимірюваного тиску, ніж на стороні, відкритій для атмосферного тиску, як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\). Буде різниця\(h\), в рівні рідини з кожного боку трубки, яка прямо пропорційна різниці тиску між двома сторонами трубки.

Розглянемо точку в рідині\(B\) в місці на малюнку\(\PageIndex{9}\), де знаходиться тиск\(P_{B} = P\), тиск, який потрібно виміряти. Точка в рідині в місці\(A\), яка знаходиться на одній висоті в рідині, повинна мати такий же тиск, як і точка\(B\). Ми можемо записати тиск в точці\(A, P_{A}\), як суму атмосферного тиску і тиску від стовпа води висоти,\(h\):

\[\begin{aligned} P_{A}=P_{0}+\rho gh \end{aligned}\]

Оскільки це також повинно дорівнювати тиску в точці\(B\), ми можемо знайти різницю між тиском, який ми хочемо виміряти, та атмосферним тиском:

\[\begin{aligned} P_{A}&=P_{B} \\ P_{0}+\rho gh &=P \\ \therefore P-P_{0}&=\rho gh \end{aligned}\]

Різниця між тиском і атмосферним тиском називається «манометричним тиском», і це все, що ми можемо виміряти, якщо не знаємо абсолютного значення атмосферного тиску. Використовуючи манометр, манометричний тиск задається\(ρgh\), тоді як «абсолютний тиск»\(P\), задається шляхом додавання атмосферного тиску до манометричного тиску,\(P = P_{0} + ρgh\). Більшість приладів вимірювання тиску («манометри»), вимірюють тиск щодо атмосферного, використовуючи аналогічний механізм.

Атмосферний тиск у місці на Землі змінюється залежно від погоди. Барометр - це прилад, призначений для вимірювання атмосферного тиску. Простий барометр може бути побудований з манометра, з одним кінцем закритим, як показано на малюнку\(\PageIndex{10}\).

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Барометр, побудований з мамометра для вимірювання відносних змін атмосферного тиску.

Один кінець манометра герметизують на добу, коли атмосферний тиск знаходиться, скажімо\(P_{0}\), в той час як інший кінець трубки залишають відкритим. Різниця висот\(h\), між рідиною в обидві сторони трубки є мірою того, наскільки різний поточний атмосферний тиск\(P_{1}\), відносно тиску\(P_{0}\), коли манометр був герметичний. На малюнку\(\PageIndex{10}\) барометр показаний на день, коли атмосферний тиск нижче, ніж в день герметизації манометра. Різниця в тиску задається:

\[\begin{aligned} P_{1}=P_{0}+\rho gh \end{aligned}\]

якщо ми\(h\) визначаємо бути позитивним, коли сторона з тиском\(P_{0}\) вище (\(h\)так негативно на малюнку\(\PageIndex{10}\) і\(P_{1}\) менше\(P_{0}\)).

Ми також можемо виміряти абсолютний атмосферний тиск, якщо ми евакуюємо повітря з герметичного кінця трубки, так що\(P_{0} = 0\). При цьому різниця у висоті між рідиною по обидва боки манометра є мірою абсолютного атмосферного тиску.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Барометр, побудований з мамометра для вимірювання абсолютного атмосферного тиску.

За допомогою манометра, заповненого водою (\(ρ = 1 × 10^{3} \text{kg/m}^{3}\)), ви конструюєте барометр для вимірювання абсолютного атмосферного тиску шляхом евакуації повітря з одного боку манометра, як показано на малюнку\(\PageIndex{11}\). Яка різниця по висоті\(h\), коли атмосферний тиск «номінальний»,\(P_{1} = 1.013 × 10^{5}\text{Pa}\)?

Рішення:

Тиск\(P_{1}\), на відкритій стороні манометра, задається:

\[\begin{aligned} P_{B} &=P_{A} \\ P_{1}&=P_{0}+\rho gh = \rho gh \end{aligned}\]

якщо герметична сторона манометра має тиск\(P_{0} = 0\), вище рідини. Якщо\(P_{1} = 1.013 × 10^{5}\text{ Pa}\), ми можемо знайти висоту,\(h\):

\[\begin{aligned} h=\frac{P_{1}}{\rho g}=\frac{(1.013\times 10^{5}\text{Pa})}{(1000\text{kg/m}^{3})(9.8\text{m/s}^{2})}=10.3\text{m} \end{aligned}\]

Обговорення:

Різниця в висоті приблизно\(10\text{ m}\) тоді, коли атмосферний тиск номінальний. Це означає, що манометр повинен бути принаймні таким високим, щоб виміряти абсолютний атмосферний тиск, який не є практичним для побудови! Якщо замість цього використовувати рідину з більшою щільністю, ніж у води, то цю висоту можна істотно зменшити. Традиційно барометри будувалися з використанням ртуті, яка має щільність (\(ρ_{Hg} = 13.6 × 10^{3}\text{kg/m}^{3}\)), так що різниця висот при номінальному атмосферному тиску дорівнює\(760\text{ mm}\). Це набагато простіший інструмент для побудови (крім проблем безпеки використання ртуті). З цієї причини часто використовуваною одиницею тиску є «мм ртуті», що відповідає різниці висот в манометрі, який побудований з використанням ртуті.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Барометр Торрічеллі.

Ви будуєте барометр Торрічеллі, як показано на малюнку\(\PageIndex{12}\), для вимірювання абсолютного атмосферного тиску. Герметична вертикальна трубка має простір у верхній частині, який евакуюється (тиск нуль), так що атмосферний тиск на ємності з рідиною змушує рідину піднімати трубку на висоту\(h\), яка пропорційна атмосферному тиску. Якщо ви використовуєте оливкову олію в якості рідини, що можна сказати про висоту\(h\), для номінального атмосферного тиску?

1. Це більше, ніж\(10.3\text{ m}\).
2. Вона дорівнює\(10.3\text{ m}\).
3. Це менше, ніж\(10.3\text{ m}\).
4. Недостатньо інформації, щоб розповісти.

Відповідь

Виноски

1. Ми розмістили\(dP\) її на верхній частині рідини, навіть незважаючи на те, що тиск вище на нижній частині рідини, тому що\(y\) вісь збільшується вгору. Нас дійсно цікавить зміна тиску\(dP\), що відповідає зміні висоти\(dy\), по позитивному\(y\) напрямку.