13.7: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Ty (\(m=30\text{kg}\)) пробує нову частину обладнання на своєму місцевому майданчику. Устаткування складається з платформи, яка з'єднана з двома пружинами. Верхня пружина (\(k_1=2400\text{N/m}\)) з'єднує платформу з конструкцією дитячого майданчика і нижня пружина (\(k_2=3480\text{N/m}\)) (рис.\(\PageIndex{1}\)) з'єднує її з землею. Коли ніхто не стоїть на платформі, платформа\(50\text{cm}\) відривається від землі. Коли Тай стоїть на платформі, він коливається вгору-вниз, а найнижча точка, до якої досягає платформа, знаходиться\(35\text{cm}\) поза землею. Покажіть, що це простий гармонійний рух і визначте, якою буде максимальна швидкість Ty.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ігрове обладнання виконано з платформи, з'єднаної з двома вертикальними пружинами.

Відповідь

По-перше, нам потрібно вирішити для нового рівноваги положення платформи\(x_0\), коли Ти стоїть на платформі. Визначаємо\(x\) вісь так, щоб початок знаходився\(50\text{cm}\) над землею (положення рівноваги, коли ніхто не стоїть на платформі) і вибираємо позитивний напрямок вниз (рис.\(\PageIndex{2}\)).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Платформа, коли на ній ніхто не стоїть.

Незважаючи на те, що ми не знаємо маси платформи або фактичної довжини спокою пружини, нам не потрібно їх знати, оскільки ми можемо моделювати платформу з ніким на ній як єдину пружину з постійною пружиною\(k=k_1+k_2\) та спокою\(x=0\).

Коли Ти стоїть на платформі, сума сил дається його вагою і силою від «ефективної пружини»:\[\begin{aligned} \sum F=mg-(k_1+k_2)x\end{aligned}\] де ми відзначили, що при русі платформи вниз і верхня, і нижня пружина будуть чинити силу вгору (рис.\(\PageIndex{3}\)).

При рівновазі сума сил дорівнює нулю. Ми можемо використовувати це для вирішення зміщення за адресою\(x_0\):\[\begin{aligned} 0&=mg-(k_1+k_2)x_0\\ \therefore x_0&=\frac{mg}{k_1+k_2}=\frac{(30\text{kg})(9.8\text{m/s}^{2})}{(2400\text{Nm})+(3480\text{Nm})}=0.05\text{m}\end{aligned}\] Ми підтвердимо, що це простий гармонічний генератор, показавши, що рух системи може бути описаний рівнянням:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}&=-\omega^2x\end{aligned}\] Для деякої позиції\(x\) нижче рівноваги, ми можемо переписати Ньютона Другий закон як: Для\[\begin{aligned} ma&=mg-(k_1+k_2)x\\ m\frac{d^2x}{dt^2}&=mg-(k_1+k_2)x\end{aligned}\] того, щоб показати, що це простий гармонічний рух, нам потрібно об'єднати праву частину рівняння в один член. Раніше ми виявили\(mg=(k_1+k_2)x_0\), що, який ми можемо використовувати тут: Тепер\[\begin{aligned} m\frac{d^2x}{dt^2}&=(k_1+k_2)x_0-(k_1+k_2)x\\ \frac{d^2x}{dt^2}&=\frac{(k_1+k_2)}{m}(x_0-x)\\ \frac{d^2x}{dt^2}&=-\frac{(k_1+k_2)}{m}(x-x_0)\\\end{aligned}\] ми визначаємо\(x'\) вісь, що\(x'=x-x_0\). Це означає, що початок\(x'\) осі знаходиться в новому положенні рівноваги:

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Сили, що діють на платформу, і наша нова система координат.

Тепер ми можемо переписати наш вираз за допомогою\(x'\) осі:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}&=-\frac{(k_1+k_2)}{m}x'\end{aligned}\] Це рівняння говорить нам, що це простий гармонічний рух про нову позицію рівноваги, де\(\omega=\sqrt{(k_1+k_2)/m}\). Ми знаємо, що найнижча точка, якої досягає платформа, знаходиться на 35 см над землею, що на нашій\(x'\) осі відповідає\(x'=10\text{cm}\) (рис.\(\PageIndex{3}\)). Таким чином, амплітуда коливань дорівнює\(A=0.1\text{m}\). Оскільки це простий гармонійний рух, ми знаємо, що положення платформи можна описати наступною функцією:\[\begin{aligned} x'(t)&= A \cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] Ми встановлюємо\(t=0\) бути, коли платформа знаходиться в найнижчій точці (\(x'=A\)). Значення\(\phi\) є таким чином:\[\begin{aligned} x'(0)&= A \cos(\omega (0) + \phi)\\ A&= A \cos(\phi)\\ 1&=\cos(\phi)\\ \therefore \phi&=0\end{aligned}\] Швидкість задається:\[\begin{aligned} v(t)=\frac{d}{dt}x(t) &= -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ &=-A\omega\sin(\omega t)\end{aligned}\] Швидкість буде максимізована, коли\(\sin(\omega t)=1\quad \textrm{or} -1\). Отже, максимальна швидкість складе:\[\begin{aligned} |v|&=A\omega\\ |v|&=A\sqrt{\frac{(k_1+k_2)}{m}}\\ |v|&=(0.1\text{m})\sqrt{\frac{(2400\text{Nm}+3480\text{Nm})}{30\text{kg}}}\\ |v|&=1.4\text{m/s}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Торсіонний маятник складається з горизонтального стрижня, підвішеного до вертикального дроту. При обертанні стрижня так, щоб він змістився на кут\(\theta\) від рівноваги, дріт (який зараз скручений) забезпечує відновлюючий крутний момент навколо осі дроту, заданий:\[\begin{aligned} \tau=-\kappa\theta\end{aligned}\] де\(\kappa\) - коефіцієнт кручення, який залежить від жорсткості дроту. Ви можете помітити, що ця формула дуже нагадує закон Гука.

а. будують крутильний маятник, прикріпивши дві невеликі сферичні маси (можна припустити, що вони точкові маси, кожна з маси\(m\)) до кінців тонкого (без маси) стрижня довжини\(L\) і прикріпивши до центру стрижня дріт (рис.\(\PageIndex{4}\)). Коли ви зміщуєте одну з мас на кут\(\theta\) і відпускаєте її, ви виявляєте, що вона коливається з періодом\(T\). Знайти вираз для коефіцієнта кручення\(\kappa\), в терміні\(T\)\(m\), і\(L\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Крутильний маятник. У правій частині показано вид зверху.

b. ви розміщуєте дві дуже великі сфери, кожну з маси\(M\), біля кожної з малих сфер (як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\)). На кожну з малих сфер буде діяти сила тяжіння з найближчої великої сфери. Маятник знаходиться в рівновазі, коли він відхиляється на кут\(\beta\) від початкового положення рівноваги. При новій рівновазі вектори зміщення, що з'єднують центри великих і малих сфер, мають величину\(d\) і по суті перпендикулярні стрижню. Знайдіть вираз для універсальної гравітаційної константи\(G\), з точки зору мас, довжини стрижня і періоду, виміряного в частині а).

Веселий факт! Ця установка нагадує експеримент, проведений Генрі Кавендіш, який вперше був використаний для визначення значення\(G\) та перевірки Універсальної теорії гравітації Ньютона.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Дві дуже великі сфери розміщені біля кожної з малих мас на крутильному маятнику (вид зверху). При новій рівновазі кожна мала маса - це відстань d від найближчої великої маси.

Відповідь

Єдина сила, яка створює крутний момент на маси - відновлює зусилля від скручування дроту. Версія динаміки обертання Другого закону Ньютона пов'язує цей крутний момент з кутовим\(\alpha\) прискоренням стрижня:\[\begin{aligned} I\alpha=-\kappa\theta\end{aligned}\] де\(I\) момент інерції стрижня. \(\alpha\)Переписуючи більш явно як другий раз похідну кута, ми отримуємо:\[\begin{aligned} I\frac{d^2\theta}{dt^2}&=-\kappa\theta\\ \frac{d^2\theta}{dt^2}&=-\frac{\kappa}{I}\theta\\\end{aligned}\] За допомогою огляду ми можемо побачити, що крутильний маятник є простим гармонічним осцилятором, де\(\omega=\sqrt{\kappa/I}\). Період руху, отже, такий:\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ T&=2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}\end{aligned}\] Ми можемо переставити цей вираз, щоб отримати\(\kappa\):\[\begin{aligned} T^2&=\frac{4\pi^2I}{\kappa}\\ \kappa&=\frac{4\pi^2I}{T^2}\end{aligned}\] Момент інерції для однієї з мас\(L/2\) є\(m(L/2)^2\), де відстань від маси до осі обертання. Момент інерції для двох мас, прикріплених до стрижня без маси, такий:\[\begin{aligned} I&=2m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{mL^2}{2}\\\end{aligned}\] Введення цього в наш вираз для\(\kappa\):\[\begin{aligned} \kappa=\frac{2\pi^2mL^2}{T^2}\end{aligned}\]

Дві сили, що забезпечують крутний момент для малих сфер, - це сила тяжіння та сила, яку надає скручувальний дріт. Кожна з малих сфер буде відчувати силу, обумовлену гравітацією від найближчої великої сфери. При рівновазі сила, спричинена гравітацією на одній з малих сфер, є таким чином:\[\begin{aligned} F_g=\frac{GMm}{d^2}\end{aligned}\] Припускаючи, що при рівновазі вектор сили перпендикулярний стрижню, крутний момент від однієї з великих сфер - це лише сила, помножена на відстань до осі обертання. Оскільки існує дві великі сфери, кожна з яких створює крутний момент на маятнику, загальний крутний момент, обумовлений гравітацією, становить:\[\begin{aligned} \tau_g&=2F_g\frac{L}{2}\\ &=F_gL\\ &=\frac{GMm}{d^2}L\end{aligned}\] (Зверніть увагу, що\(\tau g\) це крутний момент, обумовлений силою тяжіння тільки при рівновазі). Ми можемо використовувати другий закон Ньютона для маятника, щоб знайти вираз для\(G\). При рівновазі чистий крутний момент дорівнює нулю, а кут відхилення такий\(\beta\):\[\begin{aligned} \tau_{net}&=\tau_{wire}-\tau_g\\ 0&=\tau_{wire}-\tau_g\\ \tau_g&=\tau_{wire}\\ \frac{GMm}{d^2}L&=\kappa\beta\\ \therefore G&=\frac{\kappa\beta d^2}{LMm}\end{aligned}\] Використовуючи наш вираз для\(\kappa\) знайденого в частині а), це стає:\[\begin{aligned} G=\frac{2\pi^2L\beta d^2}{MT^2}\end{aligned}\]