13.5: Резюме

Ключові виноси

Рівняння руху для положення\(x(t)\), маси в одновимірній пружинно-масовій системі без тертя може бути записано:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x = -\omega^2 x\end{aligned}\] і має рішення:\[\begin{aligned} x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] де\(A\) амплітуда руху,\(\phi\) - фаза, яка залежить від наш вибір початкових умов (коли ми вибираємо час\(t=0\)), і\(\omega\):\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\] це кутова частота руху. Маса буде коливатися навколо положення рівноваги з періодом\(T\), і частота\(f\), задана:\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ f&=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\] Швидкість і прискорення маси знаходять, приймаючи похідні від часу положення\(x(t)\):\[\begin{aligned} x(t)&= A \cos(\omega t + \phi)\\ v(t)&=\frac{d}{dt}x(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ a(t)&= \frac{d^2}{dt^2}x(t) =\frac{d}{dt}\left( -A\omega\sin(\omega t + \phi)\right)= -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] Загальна механічна енергія маси, в деякому положенні\(x\), дається:\[\begin{aligned} E =U+K=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2= \frac{1}{2}kA^2\end{aligned}\] і зберігається.

Будь-яка система, яка може бути описана рівнянням руху:\[\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2}= -\omega^2 x\end{aligned}\] вважається простим гармонічним осцилятором, і її положення буде описано:\[\begin{aligned} x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\] Простий гармонічний генератор завжди коливається про положення рівноваги, де чиста сила на осциляторі дорівнює нулю. Чиста сила на простому гармонічному осциляторі завжди спрямована до положення рівноваги, і має величину, пропорційну відстані осцилятора від його положення рівноваги. Сила називається відновлює силою. Вертикальна пружинно-масова система та маса, прикріплена до двох пружин, будуть зазнавати простого гармонійного руху щодо їх відповідного положення рівноваги.

Простий маятник буде піддаватися простим гармонічним коливанням, якщо амплітуда коливань невелика. Кутова частота коливань простого маятника залежить лише від довжини маятника:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\end{aligned}\] Це справедливо в малому кутовому наближенні, де:\[\begin{aligned} \sin\theta \approx \theta\end{aligned}\] Фізичний маятник маси,\(m\) який коливається навколо осі через об'єкт, також зазнає простий гармонічні коливання в малому кутовому наближенні. Кутова частота коливань для фізичного маятника задається:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}\end{aligned}\] де\(h\) - відстань між центром мас і віссю обертання, і\(I\) - момент інерції об'єкта навколо осі обертання.

Важливі рівняння

Положення, швидкість і прискорення для SHM:

\[\begin{aligned} x(t)&= A \cos(\omega t + \phi)\\ v(t)&=\frac{d}{dt}x(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ a(t)&= \frac{d^2}{dt^2}x(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\]

Період і періодичність:

\[\begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}}\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ f&=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\end{aligned}\]

Механічна енергія:

\[\begin{aligned} E =U+K=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2= \frac{1}{2}kA^2\end{aligned}\]

Простий маятник (невеликі кути):

\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\end{aligned}\]

Фізичний маятник (малі кути):

\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}\end{aligned}\]

Важливі визначення

Визначення

Кутова частота: пов'язана зі звичайною частотою в рази\(2\pi\). Для об'єкта, що обертається по колу з постійною швидкістю, кутова частота обертання така ж, як і кутова швидкість (швидкість зміни кута положення). Одиниці СІ:\([\text{rad/s}]\). Загальні змінні:\(\omega\).