13.4: Рух маятника

У цьому розділі ми покажемо, як і коли рух маятника можна охарактеризувати як простий гармонійний рух. Розглянемо простий маятник, який побудований з безмасової струни довжини\(L\), прикріпленої до нерухомої точки на одному кінці і до точкової маси\(m\) на іншому, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Простий маятник, який коливається у вертикальній площині.

Маятник може гойдатися у вертикальній площині, і ми показали свій вибір системи координат (\(z\)вісь, не показана, знаходиться поза сторінкою). Єдині дві сили на масу - це натяг від струни і її вага. Ми можемо описати положення маси за кутом\(\theta(t)\), який струна робить з вертикаллю. Ми можемо змоделювати динаміку простого маятника, враховуючи чистий крутний момент і кутове прискорення навколо осі обертання, яка перпендикулярна площині сторінки і яка проходить через точку на струні, яка фіксується.

Сила натягу не може створити крутний момент на масу навколо осі обертання, оскільки вона антипаралельна вектору від точки обертання до маси. Чистий крутний момент - це, таким чином, крутний момент від сили тяжіння:\[\begin{aligned} \vec\tau^{net} &=\vec \tau_g \\ &=\vec r \times \vec F_g = (L\sin\theta \hat x - L\cos\theta \hat y) \times (-mg\hat y)\\ &=-mgL\sin\theta \hat z\end{aligned}\] де\(L\) величина вектора\(\vec r\), від осі обертання до місця, де діє сила тяжіння. Чистий крутний момент дорівнює кутовому прискоренню\(\alpha\), помноженому на момент інерції\(I\), маси:\[\begin{aligned} \vec\tau^{net} &= I\vec\alpha\\ -mgL\sin\theta \hat z&= mL^2 \vec\alpha\\ -g\sin\theta \hat z&= L \vec\alpha\end{aligned}\] де\(I=ML^2\) - момент інерції для точкової маси на відстань\(L\) від осі обертання. Для положення, проілюстрованого на малюнку\(\PageIndex{1}\), кутове прискорення маятника знаходиться в\(z\) негативному напрямку (в сторінку) і відповідає руху за годинниковою стрілкою для маятника, як ми очікували. Кутове прискорення - це друга похідна кута часу,\(\theta\): Таким чином,\[\begin{aligned} \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}\end{aligned}\] ми можемо переписати рівняння, яке ми отримали з версії динаміки обертання Другого закону Ньютона як:\[\begin{aligned} -g\sin\theta \hat z&= L \vec\alpha\\ \frac{d^2\theta}{dt^2} &= -\frac{g}{L}\sin\theta\end{aligned}\] де ми використовували лише величини у другому рівнянні, оскільки всі кутові величини знаходяться в\(z\) напрямку. Це рівняння руху\(\theta(t)\) майже схоже на рівняння для простого гармонічного коливання для кута\(\theta\) (крім того, що ми маємо\(\sin\theta\) замість\(\theta\)). Однак розглянемо «наближення малого кута» ¹ для синусоїдальної функції:\[\begin{aligned} \sin\theta \approx \theta \end{aligned}\] Якщо коливання маятника «малі», такі, що наближення малого кута є дійсним, то рівняння руху для маятника дорівнює:\[\begin{aligned} \frac{d^2\theta}{dt^2} &= -\frac{g}{L}\sin\theta \approx -\frac{g}{L}\theta \\ \therefore \frac{d^2\theta}{dt^2} &=-\frac{g}{L}\theta \quad (\text{for small }\theta)\end{aligned}\] і кут, який маятник робить з вертикаллю описується рівнянням для простих гармонічних коливань з кутовою частотою:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\end{aligned}\] Кут\(\theta\), як функція часу, таким чином описується функцією:\[\begin{aligned} \theta(t) = \theta_{max}\cos(\omega t +\phi)\end{aligned}\] де\(\theta_{max}\) максимальна амплітуда коливань і \(\phi\)це фаза, яка залежить від того, коли ми вирішимо визначити\(t=0\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Кайден побудував дідівський годинник, використовуючи простий маятник, але він виявив, що період був вдвічі більше, ніж він хотів. Для того щоб скоротити вдвічі період маятника, він може

1. змінити масу.
2. скоротити вдвічі довжину струни.
3. чверть довжини струни.
4. подвоїти довжину струни.
5. чотириразове значення довжини струни.

Відповідь

Фізичний маятник

Фізичний маятник визначається як будь-який об'єкт, якому дозволено обертатися у вертикальній площині навколо якоїсь осі, яка проходить через об'єкт, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Фізичний маятник, який коливається у вертикальній площині навколо осі через об'єкт.

Єдині сили, що чиниться на маятник, - це його вага (що чиниться в його центрі маси) і контактна сила, що чиниться на осі обертання. Фізичний маятник можна змоделювати точно так само, як і простий маятник, за винятком того, що ми використовуємо момент інерції об'єкта навколо осі обертання. Тільки вага призводить до крутного моменту навколо осі обертання, оскільки контактна сила чиниться на осі обертання:\[\begin{aligned} \tau^{net} = \tau_g &= I\alpha\\ -mgh\sin\theta &= I\alpha = I \frac{d^2\theta}{dt^2}\end{aligned}\] де\(h\) відстань від осі обертання до центру маси. У малому кутовому наближенні це стає:\[\begin{aligned} \frac{d^2\theta}{dt^2} &=-\frac{mgh}{I}\theta \quad (\text{for small }\theta)\end{aligned}\] і ми виявляємо, що фізичний маятник коливається з кутовою частотою:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{mgh}{I}}\end{aligned}\]

Виноски

1. Подивіться серію Maclaurin/Taylor для функції синуса!