13.3: Простий гармонійний рух

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75836

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У попередніх розділах ми змоделювали рух маси, прикріпленої до пружини, і виявили\(x(t)\), що її положення було описано наступним диференціальним рівнянням:

\[\frac{d^{2}x}{dt}=-\omega ^{2}x\]

Можливе рішення цього рівняння було дано:

\[x(t)=Acos(\omega t+\phi)\]

Потім ми побачили, що рух вертикальної пружинно-масової системи, а також маси, прикріпленої до двох пружин, також можна описати рівнянням 13.3.1. Будь-яка фізична система, яка може описана рівнянням 13.3.1, як кажуть, проходить «простий гармонічний рух», або бути «простим гармонічним осцилятором». Якщо ми виявимо, що фізична модель системи призводить до рівняння 13.3.1, то ми відразу знаємо, що положення системи можна описати рівнянням 13.3.2.

Ключова фізична характеристика простого гармонічного осцилятора полягає в тому, що існує «відновлююча сила», величина якої пропорційна зміщенню з положення рівноваги. Відновлювальна сила - це сила, яка діє, щоб повернути систему в рівновагу, і, таким чином, завжди знаходиться в напрямку, протилежному зміщенню щодо положення рівноваги. У трьох системах, які ми розглядали до цих пір, чиста сила на масу завжди була такою, що відновлювала б масу назад в положення рівноваги, де чиста сила на масу дорівнює нулю.

Багато систем в природі добре моделюються як прості гармонічні осцилятори. Деякі приклади: рух маятника, коли він коливається, рух буя, що б'ється вгору і вниз в морі, рух електронів у закороченому конденсаторі та коливання атомів у молекулі.