13.2: Вертикальна пружинно-масова система

Розглянемо вертикальну пружинно-масову систему, проілюстровану на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Вертикальна пружинно-масова система.

Коли до пружини не прикріплена маса, пружина знаходиться в стані спокою (припускаємо, що пружина не має маси). Вибираємо початок одновимірної вертикальної системи координат (\(y\)осі), яка буде розташована на решті довжини пружини (ліва панель рисунка\(\PageIndex{1}\)). Коли маса\(m\) прикріплена до пружини, пружина витягнеться і кінець пружини перейде в нове положення рівноваги\(y_0\), задане умовою, що чиста сила на масу\(m\) дорівнює нулю. Єдині сили, що чиниться на масу, - це сила від пружини і її вага. Умова рівноваги таким чином:\[\begin{aligned} \sum F_y = F_g - F(y_0) &=0\\ mg - ky_0 &= 0 \\ \therefore mg &= ky_0\end{aligned}\] Тепер розглянемо сили на масу в деякому положенні,\(y\) коли пружина витягнута вниз щодо положення рівноваги (права панель малюнка\(\PageIndex{1}\)). Другий закон Ньютона в цій позиції можна записати так:\[\begin{aligned} \sum F_y = mg - ky &= ma\\ \therefore m \frac{d^2y}{dt^2}& = mg - ky \end{aligned}\] Зверніть увагу, що чиста сила на масу завжди буде в напрямку, щоб «відновити» положення маси назад до положення рівноваги,\(y_0\). Якби маса була переміщена вгору відносно\(y_0\), чиста сила була б вниз.

Ми можемо підставити умову рівноваги в рівняння\(mg = ky_0\), яке ми отримали з другого закону Ньютона:\[\begin{aligned} m \frac{d^2y}{dt^2}& = mg - ky \\ m \frac{d^2y}{dt^2}&= ky_0 - ky\\ m \frac{d^2y}{dt^2}&=-k(y-y_0) \\ \therefore \frac{d^2y}{dt^2} &= -\frac{k}{m}(y-y_0)\end{aligned}\] Розглянемо нову змінну,\(y'=y-y_0\). Це те саме, що визначення нової\(y'\) осі, яка зміщується вниз\(y_0\); іншими словами, це те саме, що і визначення нової\(y'\) осі, початок якої знаходиться в\(y_0\) (положення рівноваги), а не в положенні, де пружина знаходиться в стані спокою. Відзначивши, що похідна другого часу\(y'(t)\) така ж, як і для\(y(t)\):\[\begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2} &= \frac{d^2}{dt^2} (y' + y_0) = \frac{d^2y'}{dt^2}\\\end{aligned}\] ми можемо записати рівняння руху для маси, але використовуючи\(y'(t)\) для опису її положення:\[\begin{aligned} \frac{d^2y'}{dt^2} &= \frac{k}{m}y'\end{aligned}\] Це те саме рівняння, що і для простої гармоніки руху горизонтальної пружинно-масової системи (Рівняння 13.1.2), але з початком, розташованим в положенні рівноваги, а не на решті довжині пружини. Іншими словами, вертикальна пружинно-масова система буде зазнавати простий гармонійний рух у вертикальному напрямку щодо положення рівноваги. Взагалі, пружинно-масова система буде піддаватися простому гармонійному руху, якщо на масу (в даному випадку - гравітація) чиниться постійна сила, співлінійна з силою пружини. Цей рух буде зосереджений навколо точки рівноваги, де чиста сила на масу дорівнює нулю, а не там, де пружина знаходиться в положенні спокою.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Як період руху вертикальної пружинно-масової системи порівнюється з періодом горизонтальної системи (якщо припустити, що маса і постійна пружини однакові)?

1. Період вертикальної системи буде більше.
2. Період вертикальної системи буде менше.
3. Період буде таким же.

Відповідь

Система з двома пружинами

Розглянемо горизонтальну пружинно-масову систему, складену з однієї маси\(m\), прикріплену до двох різних пружин з пружинними постійними\(k_1\) і\(k_2\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Маса, прикріплена до двох різних пружин.

Ми вводимо горизонтальну систему координат, таку, що кінець пружини з постійною пружини\(k_1\) знаходиться в положенні,\(x_1\) коли вона знаходиться в стані спокою, а кінець\(k_2\) пружини знаходиться в тому місці,\(x_2\) коли він знаходиться як спокій, як показано на верхній панелі. Потім маса\(m\) приєднується до двох пружин і\(x_0\) відповідає рівноважному положенню маси, коли чиста сила від двох пружин дорівнює нулю. Будемо вважати, що довжина маси мізерно мала, так що кінці обох пружин також знаходяться в положенні\(x_0\) при рівновазі. На середній панелі малюнка видно\(\PageIndex{2}\), що обидві пружини знаходяться в розширенні, коли знаходяться в положенні рівноваги. Можна мати рівновагу, коли обидві пружини знаходяться в стисненні, якщо обидві пружини досить довгі, щоб простягнутися повз,\(x_0\) коли вони знаходяться в стані спокою.

Якщо припустити, що обидві пружини знаходяться в розширенні при рівновазі, як показано на малюнку, то умова рівноваги задається вимагаючи, щоб сума сил на масу дорівнювала нулю при розташуванні маси\(x_0\). Розширення пружини зліва є\(x_0 - x_1\), а розширення пружини праворуч\(x_2-x_0\):\[\begin{aligned} \sum F_x = -k_1(x_0-x_1) + k_2 (x_2 - x_0) &= 0\\ -k_1x_0+k_1x_1+k_2x_2-k_2x_0 &=0\\ -(k_1+k_2)x_0 +k_1x_1+k_2x_2 &=0\\ \therefore k_1x_1+k_2x_2 &=(k_1+k_2)x_0\end{aligned}\] Зверніть увагу, що якщо маса зміщується\(x_0\) в будь-якому напрямку, чиста сила на масу буде у напрямку положення рівноваги, і буде діяти, щоб «відновити» положення маси назад в\(x_0\).

Коли маса знаходиться в деякому положенні\(x\), як показано на нижній панелі (для\(k_1\) пружини в стисненні і\(k_2\) пружини в розширенні), Другий закон Ньютона для маси такий:\[\begin{aligned} -k_1(x-x_1) + k_2 (x_2 - x) &= m a \\ -k_1x +k_1x_1 + k_2 x_2 - k_2 x &= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -(k_1+k_2)x + k_1x_1 + k_2 x_2&= m \frac{d^2x}{dt^2}\end{aligned}\] Зверніть увагу, що математично це рівняння має вигляд \(-kx + C =ma\), що є тією ж формою рівняння, що ми мали для вертикальної пружинно-масової системи (з\(C=mg\)), тому ми очікуємо, що це також призведе до простого гармонійного руху. Ми можемо використовувати умову рівноваги (\(k_1x_1+k_2x_2 =(k_1+k_2)x_0\)) для перезапису цього рівняння:\[\begin{aligned} -(k_1+k_2)x + k_1x_1 + k_2 x_2&= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -(k_1+k_2)x + (k_1+k_2)x_0&= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ \therefore -(k_1+k_2) (x-x_0) &= m \frac{d^2x}{dt^2}\end{aligned}\] Давайте визначимо\(k=k_1+k_2\) як «ефективну» постійну пружини з двох пружин, об'єднаних. Ми також можемо визначити нову координату\(x' = x-x_0\), яка просто відповідає новій\(x\) осі, початок якої знаходиться в положенні рівноваги (таким чином, що точно аналогічно тому, що ми зробили у вертикальній системі пружинних мас). Таким чином, ми можемо записати Другий закон Ньютона як:\[\begin{aligned} -(k_1+k_2) (x-x_0) &= m \frac{d^2x}{dt^2}\\ -kx' &= m \frac{d^2x'}{dt^2}\\ \therefore \frac{d^2x'}{dt^2} &= -\frac{k}{m}x'\end{aligned}\] і ми виявляємо, що рух маси, прикріпленої до двох пружин, описується тим самим рівнянням руху для простого гармонічного руху, що і маса, прикріплена до однієї пружини. У цьому випадку маса буде коливатися навколо положення рівноваги\(x_0\), з ефективною постійною пружини\(k=k_1+k_2\). Таким чином, поєднання двох пружин еквівалентно наявності однієї пружини, але з постійною пружини\(k=k_1+k_2\). Кутова частота коливань задається:\[\begin{aligned} \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}\end{aligned}\]