13.1: Рух пружинно-масової системи

Як приклад простого гармонійного руху спочатку розглянемо рух блоку маси,\(m\) який може ковзати без тертя по горизонтальній поверхні. Маса прикріплена до пружини з постійною пружиною,\(k\) яка прикріплена до стіни на іншому кінці. Введемо одновимірну систему координат для опису положення маси, таку, щоб\(x\) вісь була співлінійною з рухом, початок знаходиться там, де пружина знаходиться в стані спокою, а позитивний напрямок відповідає висувається пружині. Ця «пружинно-масова система» проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Горизонтальна пружинно-масова система, що коливається навколо початку з амплітудою\(A\).

Припустимо, що сила, що чиниться пружиною на масу, дається Законом Гука:\[\begin{aligned} \vec F = -kx \hat x\end{aligned}\] де\(x\) положення маси. Єдині інші сили, що чиниться на масу, - це її вага і нормальна сила від горизонтальної поверхні, які рівні за величиною і протилежні в напрямку. Тому чиста сила на масу - це сила від пружини.

Як ми бачили в розділі 8.4, якщо пружина стискається (або подовжена) на відстань\(A\) щодо положення спокою, а маса потім звільняється, маса буде коливатися взад-вперед між\(x=\pm A\)¹, що показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). \(A\)Називаємо «амплітуду руху». Коли маса знаходиться на рівні\(x=\pm A\), її швидкість дорівнює нулю, так як ці точки відповідають тому місцю, де маса «обертається».

Опис використання енергії

Ми можемо описати рух маси за допомогою енергії, так як механічна енергія маси зберігається. У будь-якому положенні механічна енергія маси матиме термін від потенційної енергії, пов'язаної з силою пружини\(U\), і кінетичної енергії\(K\):\[\begin{aligned} E = U + K =\frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Ми можемо знайти механічну енергію,\(x\)\(E\) \(E\), Оцінюючи енергію в одному з поворотних моментів. У цих точках кінетична енергія маси дорівнює нулю, так\(E=U(x=A)=1/2kA^2\). Потім ми можемо написати вираз для механічної енергії як:

\[\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\]

Таким чином,\(v\) ми завжди можемо знати швидкість маси в будь-якому положенні\(x\), якщо ми знаємо амплітуду\(A\):

\[\begin{aligned} v(x) = \sqrt{\frac{k(A^{2}-x^{2})}{m}}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Якщо подвоїти амплітуду руху маси, прикріпленої до пружини, її максимальна швидкість складе:

1. подвійний.
2. \(\sqrt 2\)разів більше.
3. те ж саме.
4. вдвічі.

Відповідь

Кінематика простого гармонічного руху

Ми можемо використовувати Другий закон Ньютона для отримання положення\(x(t)\)\(v(t)\), швидкості та прискорення маси як функції часу.\(a(t)\) \(x\)Компонент Другого закону Ньютона для маси, прикріпленої до пружини, можна записати:\[\begin{aligned} \sum F_x = -kx = ma\end{aligned}\] Ми можемо записати прискорення у другому законі Ньютона більш явно як другу похідну позиції\(x(t)\), щодо часу. Якщо ми це зробимо, то побачимо, що Другий закон Ньютона для маси, прикріпленої до пружини, є диференціальним рівнянням для функції\(x(t)\) (ми називаємо його «рівнянням руху»):

\[\begin{aligned} ma&=-kx \\ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}&=-kx \end{aligned}\]

\[\therefore \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{k}{m}x\]

Ми хочемо, щоб знайти функцію позиції,\(x(t)\). Рівняння 13.1.2 говорить нам, що друга похідна по відношенню до часу повинна дорівнювати негативу\(x(t)\) функції, помноженої на постійну,\(k/m\).\(x(t)\) Не взявши курс на диференціальні рівняння, може бути неочевидним, якою\(x(t)\) може бути функція. Декілька еквівалентних функцій можуть задовольнити це рівняння. Один з можливих варіантів, який ми представляємо тут як припущення, - це ²:

\[x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\]

де\(A\)\(\omega\), і\(\phi\) є константами, які нам потрібно визначити. Ми можемо взяти похідну другого порядку щодо часу функції вище, щоб переконатися, що вона дійсно «вирішує» диференціальне рівняння:\[\begin{aligned} x(t) &= A \cos(\omega t + \phi)\\ \frac{d}{dt}x(t) &= -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ \frac{d^2}{dt^2}x(t) &=\frac{d}{dt}\left( -A\omega\sin(\omega t + \phi)\right)= -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\\ \therefore \frac{d^2}{dt^2}x(t) &= - \omega^2 x(t)\end{aligned}\] Останнє рівняння має точно таку ж форму, як і рівняння 13.1.2, яке ми отримали з Другого закону Ньютона, якщо ми визначимо \(\omega\)як:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

\(\omega\)Називаємо «кутову частоту» пружинно-масової системи. Ми виявили, що наша здогадка для\(x(t)\) задовольняє диференціальному рівнянню.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Що таке одиниця СІ для кутової частоти?

1. \(\text{Hz}\)
2. \(\text{rad/s}\)
3. \(\text{N}^{1/2}\text{m}^{-1/2}\text{kg}^{-1/2}\)
4. Все вищесказане

Відповідь

Все вищесказане

Думки Олівії

У розділі 3 ми знайшли, з функції\(x(t)\),\(a(t\)), за допомогою простої інтеграції. Можливо, вам буде цікаво, чому ми не можемо зробити те ж саме, щоб знайти\(x(t)\) систему масової пружини. Різниця полягає в тому, що раніше прискорення було функцією часу. Тут прискорення є функцією\(x\). Це означає, що ми повинні використовувати інший метод для вирішення\(x(t)\), саме тому ми робимо ці «здогадки» для вирішення диференціального рівняння.

Нам ще потрібно визначити, що константи\(A\) і\(\phi\) мають відношення до руху маси. Константа\(A\) - це максимальне значення, яке\(x(t)\) може приймати (коли косинус дорівнює 1). Це відповідає амплітуді руху маси, яку ми вже позначили,\(A\). Константа\(\phi\), називається «фазою» і залежить від того, коли ми\(t=0\) виберемо бути. Припустимо, що ми визначаємо час\(t=0\), коли маса знаходиться в\(x=A\); у цьому випадку:\[\begin{aligned} x(t=0) &= A\\ A \cos(\omega t + \phi) &= A\\ A \cos(\omega (0) + \phi) &= A\\ \cos(\phi) &= 1\\ \therefore \phi = 0\end{aligned}\] Якщо ми\(t=0\) визначаємо бути, коли маса в\(x=A\), то фаза\(\phi\), дорівнює нулю. Загалом, значення\(\phi\) може приймати будь-яке значення між\(-\pi\) і\(+\pi\)³ і, фізично, відповідає нашому вибору коли\(t=0\) (тобто положення маси, коли ми вибираємо\(t=0\)).

Оскільки ми визначили положення як функцію часу для маси, її швидкість і прискорення як функція часу легко знайти, взявши відповідні похідні часу:\[\begin{aligned} x(t) &= A \cos(\omega t + \phi)\\ v(t) &= \frac{d}{dt}x(t) = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\\ a(t)&= \frac{d}{dt}v(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

У чому цінність\(\phi\) if we choose \(t=0\) to be when the mass is at \(x=0\) and moving in the positive \(x\) direction?

1. \(\pi\)
2. \(-\pi\)
3. \(\pi/2\)
4. \(-\pi/2\)

Відповідь

Положення маси описується синусоїдальної функцією часу; ми називаємо цей тип руху «простим гармонійним рухом». Положення і швидкість як функція часу для пружинно-масової системи з\(m=1\text{kg}\),\(k=4\text{N/m}\),\(A=10\text{m}\) показані\(\PageIndex{2}\) на малюнку для двох різних варіантів фази,\(\phi=0\) і\(\phi=\pi/2\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Положення і швидкість як функція часу для масо-пружинної системи для двох різних значень фази,\(φ\).

Ми можемо зробити кілька спостережень щодо положення та швидкості, проілюстрованих на малюнку\(\PageIndex{2}\):

• Зміна фази\(\phi\), призводить до горизонтального зсуву функцій. Позитивна фаза призводить до зрушення функцій вліво.
• Найбільша швидкість відповідає позиції,\(x=0\) а найбільша позиція\(x=\pm A\), відповідає швидкості нулю.
• \(\phi = 0\)відповідає «початковій умові» при\(t=0\), де положення маси\(x=A\) і її швидкість\(v=0\).
• \(\phi = \pi/2\)відповідає «початковій умові» при\(t=0\), де положення маси\(x=0\) і швидкість її знаходиться в негативному напрямку, причому з максимальною амплітудою.
• Положення завжди між ними\(x=\pm A\), а швидкість завжди між ними\(v=\pm A\omega\).

Рух пружини явно періодичне. Якщо період руху є\(T\), то положення маси на час\(t\) буде таким же, як і її положення при\(t+T\). Період руху\(T\), легко знайти:

\[T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

А відповідну частоту задають:

\[f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Тепер повинно бути зрозуміло, чому\(\omega\) називається кутова частота, так як вона пов'язана з частотою руху.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Для того щоб подвоїти період коливань пружинно-масової системи, можна

1. подвійне співвідношення маси над постійною пружини.
2. маса в чотири рази.
3. вдвічі зменшити постійну пружину.
4. Все вищесказане.

Відповідь

Аналогія з рівномірним круговим рухом

Ми можемо провести аналогію між математичним описом руху пружинно-масової системи та рівномірним круговим рухом. Розглянемо частинку, яка рухається по колу радіуса\(A\), з постійною кутовою швидкістю\(\omega\), як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Рівномірний круговий рух частинки по колу радіуса\(A\) з постійною кутовою швидкістю\(\omega\).

Кутове положення частинки задається:\[\begin{aligned} \theta(t) = \theta_0 + \omega t\end{aligned}\] якщо частка була розташована в\(\theta_0=0\) кутовому положенні\(\theta_0\) при\(t=0\) (на рис.\(\PageIndex{3}\)).\(\theta(t)\) \(x\)Координата частинки задається:\[\begin{aligned} x(t) = A\cos(\theta(t)) = A\cos(\theta_0 + \omega t)\end{aligned}\]

Ми бачимо, що\(x\) координата частинки має таку ж функціональну форму, як і положення для простого гармонійного руху. Те ж саме стосується швидкості частинки. Величина швидкості частинки задається за допомогою:\[\begin{aligned} v = \omega r = \omega A\end{aligned}\] де\(r=A\) - радіус кола. \(x\)Складова швидкості частинки легко знайти з малюнка і задається:\[\begin{aligned} v_x(t) = -v\sin(\theta(t)) = -\omega A\sin(\theta_0 + \omega t)\end{aligned}\] Ми можемо візуалізувати простий гармонічний рух так, ніби це проекція на\(x\) вісь рівномірного кругового руху з кутовою швидкістю\(\omega\) близько коло з радіусом\(A\). Фаза\(\phi\) відповідає кутовому положенню частинки по колу\(\theta_0\), в той час\(t=0\). Коли частка перетинає\(y\) вісь (\(x=0\)), її швидкість знаходиться в\(x\) напрямку, тому\(x\) складова швидкості максимальна. Коли частка перетинає\(x\) вісь (\(x=\pm A\)),\(x\) складова швидкості дорівнює нулю.

Думки Олівії

Ось візуалізація рівномірного кругового руху, що проектується на\(x\) вісь:

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Проектування руху кулі навколо кола на\(x\) вісь.

\(\PageIndex{4}\)На малюнку зображений куля, що рухається з постійною швидкістю по колу радіусу\(A\). На цій діаграмі я зробив знімки руху м'яча через рівні проміжки часу, коли м'яч рухається з позиції 1 до позиції 5. Так як швидкість постійна, кульки рівномірно розставлені по колу. Внизу малюнка можна побачити, як це виглядало б, якби ми розглядали лише рух у\(x\) напрямку (це проекція руху на\(x\) вісь). Ви також можете думати про це як те, як виглядатиме рух, якби ви подивилися на коло знизу. Як бачите, ця проекція дуже схожа на рух маси на пружині. Рух м'яча обмежений між\(-A\) і\(+A\) (поворотними точками), і швидкість кулі, в\(x\) напрямку, буде найвищою, коли\(x=0\). Є безліч відео в Інтернеті, які показують анімацію цієї концепції, просто подивіться на «SHM як проекцію кругового руху», і ви отримаєте багато різних способів візуалізувати це.

Виноски

1. До тих пір, поки немає тертя для зменшення механічної енергії маси.

2. Інші можливі припущення, які працюють\(A \sin(\omega t + \phi)\), і\(x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\).

3. Аргумент функції косинуса знаходиться в радіанах, так як кутова частота зазвичай визначається в радіанах в секунду. Значення\(\phi\) обмежено перебувати в межах цього діапазону, оскільки функція косинуса є періодичною з крапкою\(2\pi\).