12.6: Приклади проблем та їх вирішення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75643

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Йо-йо може бути змодельований як два рівномірних диска радіусу\(R_{2}\), прикріплені до обох сторін меншого рівномірного диска радіуса\(R_{1}\), як на рис\(\PageIndex{1}\). Можна вважати, що всі три диска мають масу\(m\). Струна без маси обертається навколо меншого диска, а потім йо-йо звільняється. Що таке прискорення центру маси йо-йо при падінні і розмотування струни?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зліва: Вид збоку йо-йо. Праворуч: вид спереду йо-йо, змодельований у вигляді двох дисків радіусу,\(R_{2}\) прикріплених до обох боків диска радіусу\(R_{1}\).

Відповідь

Сили, що діють на йо-йо, є

\(\vec F_{g}\), Його вага, з величиною\(3mg\).
\(\vec T\), Сила натягу від струни

Сили, де вони чиниться, і наш вибір системи координат показані на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Вільна схема кузова для йо-йо.

Йо-йо можна змоделювати як прокатку без ковзання, ніби він котився уздовж струни, яка розмотується. Крутний момент навколо центру мас забезпечується натягом в струні. Кутове прискорення йо-йо\(α\), буде пов'язано з лінійним прискоренням центру мас\(\vec a_{CM}\), так як це кочення без ковзання:

\[\begin{aligned} a_{CM}=\alpha R_{1} \end{aligned}\]

де\(R_{1}\) - радіус, аналогічний руху кочення. Оскільки крутний момент від сили тяжіння дорівнює нулю, ми можемо записати Другий закон Ньютона для обертальних величин як:

\[\begin{aligned} \vec\tau ^{ext}&=I\vec\alpha \\ TR_{1}=I\alpha \end{aligned}\]

де\(TR_{1}\) - величина крутного моменту від сили натягу, так як натяг перпендикулярно вектору\(\vec r\) між центром мас і точкою, де здійснюється натяг. Моментом інерції йо-йо про його центр мас є сумою моментів інерції трьох дисків навколо їх осі симетрії:

\[\begin{aligned} I = \frac{1}{2}MR_{2}^{2} +\frac{1}{2}MR_{2}^{2} +\frac{1}{2}MR_{1}^{2} =\frac{1}{2}M(2R_{2}^{2}+R_{1}^{2} \end{aligned}\]

Ми також можемо написати Другий закон Ньютона у вертикальному напрямку для йо-йо (маси\(3M\)):

\[\begin{aligned} \sum F_{y} &=-F_{g}+T=-3Ma_{CM} \\ -3MG +T &=-3Ma_{CM} \end{aligned}\]

де ми\(a_{CM}\) - величина прискорення центру мас (так як ми включили знак в перше рівняння).

Ми можемо усунути невідому силу натягу з рівнянь шляхом підстановки. Використовуючи рівняння з другого закону Ньютона:

\[\begin{aligned} T=3M(g-a_{CM}) \end{aligned}\]

і підставляючи це в рівняння обертання:

\[\begin{aligned} TR_{1}&=I\alpha \\ 3M(g-a_{CM})R_{1}&=I\alpha \end{aligned}\]

Ми можемо вирішити за\(a_{CM}\) допомогою умови прокатки без ковзання\((αR_{1} = a_{CM})\):

\[\begin{aligned} 3M(g-a_{CM})R_{1}&=I\frac{a_{CM}}{R_{1}} \\ \frac{I}{R_{1}}a_{CM}+3MR_{1}a_{CM} &=3MgR_{1} \\ a_{CM}\left( \frac{I}{R_{1}}+3MR_{1} \right) &=3MgR_{1} \\ a_{CM}&=\frac{3MgR_{1}}{\frac{I}{R_{1}}+3MR_{1}} \\ &=\frac{3MgR_{1}}{\frac{\frac{1}{2} M(2R_{2}^{2}+R_{1}^{2})}{R_{1}} + 3MR_{1}} \\ &= \left(\frac{3R_{1}^{2}}{\frac{1}{2}(2R_{2}^{2}+R_{1}^{2})+3R_{1}^{2}} \right) g \\ \therefore a_{CM} &= \left(\frac{3R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}+\frac{7}{2}R_{1}^{2}} \right) g \end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Снаряд маси\(m\) ось-ось зіткнеться з диском, який може обертатися навколо своєї осі симетрії. Вид зверху.

Снаряд маси\(m\) вистрілюють в сторону нерухомого диска радіусу\(R\) і маси\(M\), який лежить на горизонтальному столі, як зображено зверху на рис\(\PageIndex{3}\). Диск знаходиться в горизонтальній площині і може обертатися навколо вертикальної осі через свій центр. Вісь, навколо якої обертається диск, прикріплена до столу і не може рухатися. Швидкість снаряда,\(\vec v\), горизонтальна і така, що снаряд вбудовується в край диска. Яка кутова швидкість диска, про його центрі, після того, як снаряд впровадився в диск? Чи було зіткнення еластичним? Чи зберігався лінійний імпульс під час зіткнення?

Відповідь

Розглядаємо снаряд і диск як систему, і вісь обертання, яка проходить через центр диска. Зовнішні крутні моменти, що діють на систему навколо осі обертання, тому кутовий імпульс системи повинен бути збережений через зіткнення. До зіткнення тільки снаряд має кутовий момент навколо осі обертання, тому величина кутового моменту перед зіткненням дорівнює:

\[\begin{aligned} L=rp\sin\phi \end{aligned}\]

де\(φ\) - кут між імпульсом частинки\(\vec p = m\vec v\), і вектором\(\vec r\), від осі обертання до частинки. Ми можемо обчислити кутовий момент частинки безпосередньо перед зіткненням, так що\(\vec r\) це вектор від центру кола до точки, де частинка стикається (з величиною\(R\) і перпендикулярно\(\vec v\)). Початковий кутовий імпульс системи, таким чином:

\[\begin{aligned} L=rp=Rmv \end{aligned}\]

Після зіткнення снаряд вбудовується в диск. Отриманий об'єкт має момент інерції, заданий:

\[\begin{aligned} I = I_{disk}+I_{particle}=\frac{1}{2}MR^{2}+mR^{2} \end{aligned}\]

Після зіткнення кутовий момент диска з закладеним снарядом задається:

\[\begin{aligned} L' = I\omega = \left(\frac{1}{2}M+m \right) R^{2}\omega \end{aligned}\]

Використовуючи збереження моменту моменту, кутова швидкість диска після зіткнення становить:

\[\begin{aligned} L&=L' \\ Rmv&=\left(\frac{1}{2}M+m \right)R^{2}\omega \\ \therefore\omega &=\frac{mv}{\left(\frac{1}{2}M+m \right)R} \end{aligned}\]

Ми не очікуємо, що механічна енергія збережеться під час зіткнення, так як снаряд вбудовується сам, що повинно коштувати енергії. Механічна енергія перед зіткненням дається кінетичною енергією снаряда:

\[\begin{aligned} E=\frac{1}{2}mv^{2} \end{aligned}\]

Після зіткнення кінетична енергія - це обертальна кінетична енергія диска з вбудованим снарядом навколо осі обертання:

\[\begin{aligned} E'&=\frac{1}{2}I\omega ^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}M+m \right) R^{2}\left( \frac{mv}{(\frac{1}{2}M+m)R} \right)^{2} \\ &=\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{(\frac{1}{2}M+m)}v^{2} \end{aligned}\]

Ми можемо побачити,\(E'\) що менше\(E\), взявши їх співвідношення:

\[\begin{aligned} \frac{E'}{E}&=\frac{\frac{1}{2}\frac{m^{2}}{(\frac{1}{2}M+m)}v^{2}}{\frac{1}{2}mv^{2}} \\ &=\frac{m}{(\frac{1}{2}M+m)}<1 \end{aligned}\]

і ми підтверджуємо, що механічна енергія не зберігається при зіткненні (і ця енергія була втрачена, оскільки потрібно було деформувати снаряд і диск).

Лінійний імпульс явно не зберігається, оскільки кінцевий лінійний імпульс дорівнює нулю, тоді як перед зіткненням він є\(\vec p = m\vec v\). Центр маси диска+система снарядів рухається до зіткнення, а не після. Таким чином, повинна бути чиста зовнішня сила, яка чиниться на систему. Ця сила чиниться столом на вісь диска, оскільки диск інакше віддасться при ударі снарядом.

Обговорення:

У цьому прикладі ми використовували збереження кутового моменту для моделювання зіткнення. Зіткнення нееластичне, тому що снаряд вбудовується в диск. Лінійний імпульс не зберігається через зіткнення, оскільки вісь, навколо якої обертається диск, повинна надавати зусилля на диск, щоб запобігти його відкату.