9.7: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Геосинхронні супутники - це супутники, які розміщені на круговій орбіті навколо Землі таким чином, що їх орбітальний період синхронізується з періодом\(24\text{ h}\) обертання Землі. Перевага геосинхронних супутників полягає в тому, що вони завжди знаходяться вище однієї точки на Землі, що робить їх корисними для створення мереж зв'язку. На якій висоті повинні розміщуватися геосинхронні супутники?

Відповідь

Коли супутник обертається навколо Землі, єдиною силою на супутнику є сила тяжіння від Землі. Оскільки супутник знаходиться на круговій орбіті, ця сила тяжіння повинна спрямовувати до центру Землі таким чином, щоб супутник мав правильне радіальне прискорення\(a_{R}\), щоб залишатися в рівномірному круговому русі:

\(a_{r}=\frac{v^{2}}{R}\)

де\(v\) - швидкість супутника, і\(R\) - відстань між супутником і центром Землі (тобто центром кругової орбіти). Величина сили тяжіння на супутнику маси\(m\) задається:

\(F=G\frac{Mm}{R^{2}}\)

де\(M\) знаходиться маса Землі. Другий закон Ньютона, застосований до супутника, це:

\(\begin{aligned}\sum F_{r}&=F=ma_{r} \\ \therefore G\frac{Mm}{R^{2}}&=m\frac{v^{2}}{R} \end{aligned}\)

Швидкість роботи супутника можна дізнатися з того, що він повинен пройти відстань\(2πR\) (окружність орбіти) в період\(T = 24\text{ h}\):

\(v=\frac{2\pi R}{T}\)

який ми можемо підставити в рівняння з другого закону Ньютона, щоб знайти відстань\(R\) (тобто радіус кругової орбіти):

\(\begin{aligned} G\frac{Mm}{R^{2}}&=m\frac{v^{2}}{R} \\ G\frac{M}{R^{2}}&=\frac{(2\pi R)^{2}}{T^{2}R} \\ G\frac{M}{R^{2}}&=\frac{4\pi ^{2}R}{T^{2}} \\ \therefore R&=\sqrt[3]{G\frac{MT^{2}}{4\pi ^{2}}} \\ &=\sqrt[3]{(6.67\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}/\text{kg}^{2}) \frac{(5.97\times 10^{24}\text{kg})(86400\text{s})^{2}}{4\pi ^{2}}} \\ &=42.2\times 10^{6}\text{m} \end{aligned}\)

що відповідає відстані між супутником і центром Землі. Для отримання «висоти»\(h\), а саме відстані від поверхні Землі до супутника, треба відняти радіус Землі,\(R_{⊕} = 6.371 × 10^{6}\text{ m}\) з цієї відстані:

\(h = R − R_{⊕} = 35.9 × 10^{6}\text{ m}\)

Таким чином, геосинхронні супутники розташовуються на висоті приблизно\(36000\text{ km}\).

Обговорення:

Зауважте, що ми могли б також легко використовувати Третій закон Кеплера для визначення радіуса орбіти, оскільки ми вже знаємо період (\(24\text{ h}\)), і ми знаємо значення константи для Третього закону Кеплера з Прикладу 9.2.2.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Скільки енергії потрібно витратити, щоб розмістити супутник маси\(m = 1000\text{ kg}\) на геосинхронну кругову орбіту навколо Землі, якщо супутник запущений з Північного полюса Землі? Скільки енергії це на кілограм супутника, розміщеного на орбіті?

Відповідь

Нам потрібно обчислити, скільки роботи потрібно зробити, щоб супутник перейшов від спокою на поверхні Землі до перебування на геосинхронній орбіті. Ця робота буде виконана неконсервативною силою (ракетним двигуном). Робота, виконана неконсервативною силою\(W\), дорівнює зміні супутника механічної енергії:

\(W = ∆E = E_{B} − E_{A}\)

Початкова механічна енергія супутника\(E_{A}\), задана його гравітаційною потенційною енергією (вона не має кінетичної енергії на поверхні Землі, коли на Північному полюсі - на екваторі, вона мала б кінетичну енергію за рахунок обертання Землі):

\(E_{A}=K+U=0-G\frac{Mm}{R_{⊕}}\)

де\(M = 5.97 × 10^{24}\text{ kg}\) - маса Землі, і\(R_{⊕} = 6.731 × 10^{6}\text{ m}\) - радіус Землі.

На орбіті енергія ракети\(E_{B}\), задається:

\(E_{B}=K+U=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{R}\)

де\(R = 42.2 × 10^{6}\text{ m}\) - радіус геосинхронної орбіти (Задача 9.2.1) і\(v\) швидкість руху супутника на орбіті. Швидкість задається:

\(v=\frac{2\pi R}{T}\)

де\(T = 24\text{ h}\) - орбітальний період. Таким чином, чиста робота, яку необхідно виконати для розміщення супутника на орбіту, дається:

\(\begin{aligned} W&=E_{B}-E_{A}=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{R}-\left(-G\frac{Mm}{R_{⊕}} \right) \\ &=\frac{1}{2}m\frac{4\pi ^{2}R^{2}}{T^{2}}+GMm\left(\frac{1}{R_{⊕}}-\frac{1}{R} \right) \\ &=\frac{1}{2}(1000\text{kg})\frac{4\pi ^{2}(42.2\times 10^{6}\text{m})^{2}}{(86400\text{s})^{2}} \\ &+(6.67\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}/\text{kg}^{2})(5.97\times 10^{24}\text{kg})(1000\text{kg})\left(\frac{1}{(6.731\times 10^{6}\text{m})}-\frac{1}{(42.2\times 10^{6}\text{m})} \right) \\ &=5.78\times 10^{10}\text{kg} \end{aligned}\)

Це відповідає енергії, яку потрібно передати супутнику 1000 кг, щоб він опинився на геосинхронній орбіті. Це відповідає\(5.78 × 10^{7}\text{ J/kg}\) як енергії, необхідної на кілограм корисного навантаження, розміщеного на геосинхронній орбіті. Хоча ми розраховували роботу так, ніби це робота, виконана силою, ми можемо думати про цю роботу, що надходить від накопиченої хімічної потенційної енергії в паливі ракети, що несе супутник.

Обговорення:

Енергія, яку ми знайшли вище, - це мінімальна енергія, яку потрібно забезпечити супутнику. На практиці для того, щоб розмістити супутник на орбіту, потрібно також забезпечити достатню кількість енергії для прискорення ракети, яка несе супутник на орбіту, яка, як правило, набагато важче супутника. Якби супутник замість цього був запущений з екватора Землі, супутник вже мав би деяку початкову кінетичну енергію через обертання Землі, і потрібно було б забезпечити менше енергії, щоб розмістити його на орбіті. Це є причиною того, що більшість ракет запускаються з поблизу екватора (думаю, французька Гайана, Флорида, Казахстан) в напрямку, приблизно паралельному обертанню Землі.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Знайти вираз для гравітаційного поля за рахунок тонкого рівномірного стрижня маси\(M\) в точці\(P\), яка є відстанню\(h\) над міделлю стрижня (рис.\(\PageIndex{1}\)).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Тонкий стрижень маси\(M\) і довжини\(L\) виробляє гравітаційне поле в точці,\(P\) розташованої над міделлю стрижня.

Відповідь

Ми не можемо використовувати закон Гаусса для визначення величини поля, оскільки гравітаційному полю бракує симетрії (тобто поле буде відрізнятися на кінцях стрижня, ніж по довжині стрижня). Гравітаційне поле, обумовлене тілом маси\(M\), задається:

\(\vec g(\vec r)=-\frac{GM}{r^{2}}\hat r\)

Наша стратегія буде полягати в тому, щоб розбити стрижень на дуже маленькі відрізки довжини\(dx\). Кожен сегмент маси\(dM\) зробить невеликий внесок\(d\vec g\), в гравітаційне поле, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Потім ми візьмемо суму всіх цих внесків, щоб знайти чисте поле.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Тонкий стрижень маси\(M\) і довжини\(L\) виробляє гравітаційне поле в точці,\(P\) розташованої над міделлю стрижня. Кожен сегмент стрижня\(dx\) буде сприяти гравітаційному полю.

Гравітаційне поле, обумовлене кожним сегментом, задається:

\(d\vec g=-\frac{GdM}{r^{2}}\hat r\)

Елемент поля буде\(d\vec g\) вказувати в різному напрямку для кожного сегмента\(dx\). Можна зробити висновок з малюнка,\(\PageIndex{2}\) що завдяки симетрії\(x\) складові поля з кожного відрізка будуть скасовуватися (для відрізка,\(dx\) показаного на схемі, буде ідентичний відрізок з іншого боку стрижня). Чисте поле буде вказувати в\(−\hat y\) напрямку, тому нас цікавить тільки вертикальна складова\(d\vec g\). Використовуючи нашу діаграму, це означає, що ми хочемо знайти величину\(dg\ cos θ\):

\(dg\cos\theta = \frac{GdM}{r^{2}}\cos\theta\)

Величина гравітаційного поля в точці, таким чином,\(P\) задається:

\(g=\int dg\cos\theta = \int \frac{GdM}{r^{2}}\cos\theta\)

Інтеграл записується над\(dM\), де обидва\(r\), і\(θ\) різні для кожного різного елемента маси,\(dM\). Нам потрібно висловити будь-яку змінну, яка змінюється для різних масових елементів з точки зору однієї змінної інтеграції. Ми виберемо в\(θ\) якості змінної інтеграції, і, таким чином, потрібно висловити\(r\) і з\(dM\) точки зору\(θ, dθ\), і інші константи.

Відстань\(r\), між\(P\) і масовим елементом,\(dM\) розташованим під\(θ\) кутом, легко знайти, щоб бути:

\(\begin{aligned} r&=\frac{h}{\cos\theta} \\ \therefore\frac{1}{r^{2}}&=\frac{\cos^{2}\theta}{h^{2}} \end{aligned}\)

\(dM\)легко може бути виражений в терміні\(dx\) (довжина масового елемента в\(x\) напрямку) і\(λ\), маса на одиницю довжини стрижня:

\(dM = λdx = \frac{M}{L}dx\)

Нам тепер потрібно висловитися\(dx\) в терміні\(dθ\). Це можна знайти наступним чином, спочатку висловивши\(x\) в терміні\(θ\), а потім\(x\) приймаючи похідне щодо\(θ\)

\(\begin{aligned} x&=h\tan\theta \\ \therefore \frac{dx}{d\theta} &=\frac{h}{\cos^{2}\theta} \\ \therefore dx&=\frac{h}{\cos^{2}\theta}d\theta \end{aligned}\)

Тепер, коли ми знайшли невелику зміну в х, що виникає в результаті невеликої зміни в\(θ\), ми можемо записати масовий елемент\(dM\), з точки зору\(dθ\):

\(dM=\frac{M}{L}dx=\frac{M}{L}\frac{h}{\cos^{2}\theta}d\theta\)

Тепер ми можемо написати інтеграл з точки зору\(θ\):

\(\begin{aligned} g=\int\frac{GdM}{r^{2}}\cos\theta &=G\int\frac{1}{r^{2}}\cos\theta dM \\ &=G\int \left(\frac{\cos^{2}\theta}{h^{2}} \right)\cos\theta\left( \frac{M}{L}\frac{h}{\cos^{2}\theta} \right) \\ &=\frac{GM}{Lh}\int\cos\theta d\theta \end{aligned}\)

Тепер, коли у нас є інтеграл закінчено\(θ\), нам потрібно встановити межі, щоб відповідати значенням\(θ\) на кожному кінці стрижня. Кут матиме однакову величину для кожного кінця стрижня\(θ_{0}\), задається:

\(\sin\theta _{0}=\frac{L}{2\sqrt{h^{2}+\frac{L^{2}}{4}}}\)

Величина поля, таким чином, задається:

\(\begin{aligned} g&=\frac{GM}{Lh}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\cos\theta d\theta = \frac{GM}{Lh}[\sin\theta]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}} \\ &=\frac{2GM}{Lh}\sin\theta _{0}=\frac{2GM}{Lh}\frac{L}{2\sqrt{h^{2}+\frac{L^{2}}{4}}} \end{aligned}\)

Гравітаційне поле в точці, таким чином,\(P\) задається:

\(\vec g=-\frac{2GM}{Lh}\frac{L}{2\sqrt{h^{2}+\frac{L^{2}}{4}}}\hat y\)