9.5: Резюме

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75978

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ключові виноси

Кеплер був першим, хто синтезував велику кількість даних для кількісного опису гравітації з його трьома законами:

Шляху планети навколо Сонця описує еліпс з Сонцем відразу його вогнища.
Планети рухаються таким чином, що область, охоплена лінією, що з'єднує планету і Сонце в заданий проміжок часу, є постійною, незалежною від розташування планети.
Співвідношення між орбітальними періодами\(T\), в квадраті двох планет дорівнює співвідношенню напіввеликих осей\(s\), їх орбіт кубових:

\(\left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}=\left(\frac{s_{1}}{s_{2}} \right)^{3}\)

Ньютон описав привабливу силу тяжіння, що діє між двома тілами маси\(M_{1}\) і\(M_{2}\) (яка повинна бути точковими масами) як:

\(\vec F_{12}=-G\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}\hat r_{21}\)

де\(\vec F_{12}\) сила на тіло\(1\) від тіла\(2\),\(r\) це відстань між двома тілами, і\(\vec r_{21}\) є вектором від тіла\(2\) до тіла\(1\). Рух тіла під впливом тільки цієї сили задовольнить всі Закони Кеплера, якщо тіло гравітаційно пов'язане.

Гравітаційне поле\(\vec g(\vec r)\), з тіла маси\(M\), визначається як гравітаційна сила, яку відчувало б інше тіло на одиницю маси:

\(\vec g(\vec r)=\frac{\vec F(\vec r)}{m}=-G\frac{M}{r^{2}}\hat r\)

Поле може бути використано для визначення відповідної сили тяжіння\(\vec F_{g}\), що тіло маси\(m\) відчувало б, якщо воно розташоване в положенні\(\vec r\) щодо тіла маси\(M\):

\(F_{g}=m\vec g(\vec r)\)

При описі руху об'єктів поблизу поверхні Землі, таким чином, точніше називати\(g = 9.8\text{N/kg}\) величиною гравітаційного поля Землі на поверхні Землі, а потім називати\(g = 9.8 \text{m/s}^{2}\) прискорення, обумовлене гравітацією Землі. Ці два рівні лише в тому випадку, якщо гравітаційна маса (m у наведеному вище рівнянні) та інерційна маса (m у другому законі Ньютона) однакові.

Закон Гауса, який застосовується до всіх законів сили зворотного квадрата, може бути використаний для визначення величини гравітаційного поля з тіла маси M, навіть якщо це не точкова маса:

\(\oint \vec g(\vec r)\cdot d\vec A=4\pi GM^{enc} \)

Оскільки сила, описана теорією Ньютона, консервативна, ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію. Гравітаційна потенційна енергія маси,\(m\) розташованої на\(r\) відстані від маси,\(M\) становить:

\(U(r)=-G\frac{Mm}{r}+C\)

Зручним вибором константи є\(C = 0\), оскільки це відповідає рівній нулю гравітаційної потенційної енергії, коли m знаходиться нескінченно далеко\(M\).

Механічна енергія об'єкта маси\(E\),\(m\) який знаходиться на відстані\(r\) від об'єкта маси\(M\), якщо гравітація є єдиною консервативною силою, що чиниться\(m\), задається:

\(E=K+u=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}\)

де ми явно вибрали\(C = 0\), і\(v\) є швидкість\(m\) відносної\(M\) (вважається в стані спокою). Крім того, якщо ніякі неконсервативні сили не працюють на тілі маси\(m\), механічна енергія\(E\), є постійною.

Якщо механічна енергія негативна, вона гравітаційно пов'язана з\(M\).\(m\) Залежно від механічної енергії\(m\) і її швидкості в точці найближчого наближення до\(M\), орбіта\(m\) буде описуватися одним з чотирьох конічних ділянок (коло, еліпс, парабола, гіпербола).

Теорія загальної відносності Ейнштейна описує гравітацію як вигин простору і часу, викликаний наявністю маси і енергії. У теорії Ейнштейна об'єкти йдуть прямими (інерційними) шляхами і не відчувають сили тяжіння. Кривизна простору - це те, що призводить до того, що їх видимий рух не є прямою лінією. Теорія Ейнштейна заснована на принципі еквівалентності (інерційна та гравітаційна маса точно рівні) та властивостях того, як світло поширюється відповідно до Теорії спеціальної відносності.

Важливі рівняння

Третій закон Кеплера:

\(\left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}=\left(\frac{s_{1}}{s_{2}} \right)^{3}\)

Гравітаційна сила і гравітаційне поле:

\(\begin{aligned} \vec F_{12}&=-G\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}\vec r_{21} \\ \vec g(\vec r)&=-G\frac{M}{r^{2}}\hat r \\ F_{g}&=m\vec (\vec r) \end{aligned}\)

Закон Гаусса:

\(\oint \vec g(\vec r)\cdot d\vec A=4\pi GM^{enc}\)

Гравітаційна потенційна енергія та механічна енергія:

\(\begin{aligned} U(r)&=-G\frac{Mm}{r}+C \\ E=K+U&=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}\end{aligned}\)