9.3: Гравітаційна потенційна енергія

Розглянемо велике сферичне тіло маси\(M\) з системою координат, походження якої збігається з центром сферичного тіла (наприклад, великим тілом могла бути Земля). Сила,\(\vec F(\vec r)\) на тілі маси\(m\) (наприклад, супутник), що знаходиться в положенні, потім\(\vec r\) задається:\[\begin{aligned} \vec F(\vec r) = - G\frac{Mm}{r^2}\hat r=- G\frac{Mm}{r^3}\vec r\end{aligned}\] де в другій рівності ми використовуємо той факт, що одиничний вектор у напрямку\(\vec r\) - це просто вектор \(\vec r\)ділиться на його величину. Ми можемо записати силу в декартових координатах:

\[\begin{aligned} \vec r &= x\hat x + y \hat y + z\hat z\\ r &= \sqrt{x^2+y^2+z^2} =(x^2+y^2+z^2)^\frac{1}{2} \\ \therefore \vec F(x,y,z) &= - G\frac{Mm}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2} }(x\hat x + y \hat y + z\hat z)\end{aligned}\]

Математично це еквівалентно силі, яку ми розглядали в прикладі 8.1.2 глави 8, яка, як ми показали, була консервативною силою. Сила гравітації в теорії Ньютона, таким чином, є консервативною силою, для якої ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію.

Для того щоб визначити гравітаційну потенційну енергетичну функцію для маси\(m\) при наявності маси\(M\), обчислюємо роботу, виконану силою тяжіння на масі\(m\) по шляху, де інтеграл для роботи буде «легко» оцінювати, а саме пряма лінія. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показана така траєкторія в радіальному напрямку\(r\), по якій буде легко розрахувати роботу, виконану силою тяжіння від маси,\(M\) коли маса\(m\) рухається з відстані\(r_A\) на відстань \(r_B\)від центру маси\(M\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Розрахунок роботи, виконаної на масі m силою тяжіння, що чиниться\(m\) масою\(M\) при русі маси\(r_{B}\) з відстані на відстань від центру мас\(M\).\(r_{A}\)

Робота, виконана силою тяжіння\(m\) при переході від\(r_A\) до,\(r_B\) дається:\[\begin{aligned} W &= \int_{r_A}^{r_B}\vec F(r) \cdot d\vec r = \int_{r_A}^{r_B} \left(- G\frac{Mm}{r^2}\hat r \right)\cdot d\vec r =\int_{r_A}^{r_B} - G\frac{Mm}{r^2}dr\\ &=\left[G\frac{Mm}{r} \right]_{r_A}^{r_B} =G\frac{Mm}{r_B} - G\frac{Mm}{r_A}\end{aligned}\] Різниця в потенційній енергії при переході з положення\(A\) в положення\(B\) задається негативом роботи зроблено силою:\[\begin{aligned} \Delta U = U(r_B) - U(r_A) = -W = G\frac{Mm}{r_A} - G\frac{Mm}{r_B}\end{aligned}\] За допомогою огляду ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію для гравітації:

\[U(r)=-G\frac{Mm}{r}+C\]

який визначається тільки до константи,\(C\).

Особливо корисним вибором констант є\(C=0\). Це відповідає вибору потенційної енергії бути нульовою лише тоді, коли\(r\) йде до нескінченності. Тобто потенційна енергія маси\(m\) дорівнює нулю тільки тоді, коли вона знаходиться нескінченно далеко від маси\(M\). Вибір константи\(C\) відповідає (довільному) значенню потенційної енергії, коли маса\(m\) нескінченно далека від маси\(M\). Коли маса\(m\) знаходиться не нескінченно далеко, вона має негативну потенційну енергію (якщо\(C=0\)). Це не проблема! Пам'ятайте, єдине, що має сенс, - це різниця в потенційній енергії, тому конкретне значення потенційної енергії не має сенсу. Кінетична енергія об'єкта, з іншого боку, повинна бути позитивною.

Нагадаємо, що якщо на об'єкт не буде інших сил, що діють, цей об'єкт буде рухатися таким чином, щоб зменшити його потенційну енергію. Якщо об'єкт маси\(m\) розташований на деякій відстані\(r\) від об'єкта маси\(M\), сила тяжіння буде притягуватися\(m\) так, що\(r\) зменшиться. Зі\(r\) зменшенням величини потенційна енергія стає більш негативною (більшою за величиною, але далі від нуля), а потенційна енергія\(m\) волі дійсно зменшується в міру її прискорення за рахунок сили тяжіння.

Механічна енергія з гравітацією

Якщо не зазначено інше, ми продовжимо обговорення гравітаційної потенційної енергії з особливим вибором константи\(C=0\):

\[U(r)=-G\frac{Mm}{r}\]

Крім того, ми припустимо, що\(M\) це велике тіло, наприклад, Земля, яке ми можемо вважати фіксованим, і зосередимо нашу дискусію на описі руху маси\(m\) (наприклад, супутника). Якщо\(M\) це набагато більше\(m\), вони обидва відчують силу тяжіння один від одного однакової величини (Третій закон Ньютона), але оскільки він\(M\) набагато більший, його прискорення буде набагато меншим (Другий закон Ньютона). Таким чином, це гарне наближення припустити, що\(M\) є нерухомим і що\(m\) рухається лише тоді, коли\(M>>m\).

Ми можемо визначити загальну механічну енергію маси,\(m\) коли вона має швидкість\(v\) (щодо\(M\)) і розташована на відстані\(r\) від центру мас\(M\):\[\begin{aligned} E = U + K = -G\frac{Mm}{r}+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] де термін кінетичної енергії завжди позитивний. Якщо гравітація - єдина сила, що чиниться на масу\(m\), то механічна енергія\(E\), як визначено вище, буде постійною. Механічна енергія об'єкта може дати нам уявлення про можливий рух об'єкта.

Уявіть собі запуск ракети прямо вгору з поверхні Землі; як тільки все паливо згоріло, механічна енергія ракети стає постійною, оскільки ракетний двигун перестає виконувати роботу над ракетою. Як тільки двигун перестане надавати тягу, ракета почне сповільнюватися, оскільки сила тяжіння притягує ракету назад на Землю. Якщо ракета рухається досить швидко, вона зможе повністю уникнути гравітаційного тяги Землі і подорожувати до нескінченності (ми припускаємо, що інших планет або Сонця немає, просто Земля існує!). Якщо, з іншого боку, швидкість ракети буде занадто низькою, вона врешті-решт зупиниться і впаде назад на Землю. Це те ж саме, що відбувається з вами при спробі стрибати вертикально. Якби ви могли стрибати досить важко, ви б змогли уникнути гравітаційного потягу Землі!

Що стосується механічної енергії, ми можемо запитати себе, чи достатньо механічна енергія ракети, щоб уникнути гравітаційного тяги Землі. Зокрема, ми можемо запитати себе, яким буде значення кінетичної енергії ракети, коли вона досягне нескінченності. Кінетична енергія ракети задається:\[\begin{aligned} K = E - U\end{aligned}\] Якщо ракета знаходиться нескінченно далеко від Землі, то її потенційна енергія дорівнює нулю, а кінетична енергія дорівнює\(E\).

Якщо механічна енергія негативна, ракета не може коли-небудь досягти нескінченності, оскільки її кінетична енергія повинна бути негативною.\(E\) Іншими словами, якщо механічна енергія негативна, то об'єкт маси ніколи не\(m\) зможе уникнути гравітаційної тяги об'єкта\(M\). Ми говоримо, що\(m\) це «гравітаційно прив'язане» до\(M\).

Якщо механічна енергія\(E\), дорівнює рівно нулю, то кінетична енергія об'єкта стане нульовою так само, як вона досягне нескінченності. Іншими словами, він просто ледве зможе уникнути гравітаційного тяги від маси\(M\). Умовою цього є:\[\begin{aligned} E &= 0\\ K & = -U\\ \frac{1}{2}mv^2 &= G\frac{Mm}{r}\\ \therefore v_{esc} &= \sqrt{\frac{2GM}{r}}\end{aligned}\] що ми можемо інтерпретувати як умову швидкості ракети. Якщо на деякій відстані\(r\) від\(M\), ракета має швидкість, задану умовою вище, то їй буде достатньо кінетичної енергії, щоб уникнути гравітаційного тяги\(M\). Ми називаємо цю швидкість «швидкість втечі».

Нарешті, якщо механічна енергія більше нуля, то ракета матиме достатньо енергії, щоб уникнути гравітаційного тяги\(M\) і мати ненульову швидкість, коли вона досягне нескінченності.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Яка швидкість втечі з поверхні Землі?

1. \(4.29\times 10^{6}\text{km/s}\)
2. \(1.25\times 10^{5}\text{km/s}\)
3. \(11.2\times{km/s}\)
4. \(9.81\times{km/s}\)

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Показати, що об'єкт маси\(m\) in a circular orbit of radius \(r\) around a body of mass \(M\) has half of the kinetic energy required to escape the gravitational pull of \(M\).

Рішення:

Єдиною силою, що діє на об'єкт, є гравітація, тому вона має механічну енергію, яку дає: Для\[\begin{aligned} E&=U+K\\ E&=-G\frac{Mm}{r}+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] того, щоб об'єкт просто уникнути гравітаційного тяги\(M\), його механічна енергія повинна дорівнювати нулю:\[\begin{aligned} E&=0\\ \therefore K_{esc}&=-U\end{aligned}\] Оскільки об'єкт знаходиться на круговій орбіті, ми можемо використовувати Ньютона Другий закон знайти вираз для\(v^2\):\[\begin{aligned} F_{net}&=\frac{mv^2}{r}\\ \frac{GMm}{r^2}&=\frac{mv^2}{r}\\ \frac{GM}{r}&=v^2\end{aligned}\] де у другому рядку ми використовували той факт, що\(F_{net}\) дорівнює силі тяжіння, що чиниться\(M\) на об'єкт. Кінетична енергія об'єкта така:\[\begin{aligned} K&=\frac{1}{2}mv^2\\ K&=\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}\end{aligned}\] Ви помітите, що це дуже схоже на наш вираз для\(U\). По суті, у нас є:\[\begin{aligned} K&=-\frac{1}{2}U\\ \therefore K&=\frac{1}{2}K_{esc}\end{aligned}\]

Примітка:

Ми також бачимо, що швидкість об'єкта на круговій орбіті дорівнює\(\sqrt{GM/r}\), що становить половину швидкості втечі,\(v_{esc}=\sqrt{2GM/r}\)

види орбіт

Механічна енергія тіла маси\(m\) визначає, чи є воно гравітаційно пов'язаним (тобто не може вийти) тілом маси\(M\). Шляхи (орбіти), які\(m\) займуть, залежить від його швидкості щодо\(M\). Зрозуміло, що якщо швидкість буде\(m\) спрямована в центр\(M\), то\(m\) буде просто зіткнутися с\(M\). У всіх інших випадках орбіта, яку\(m\) займе, залежить від механічної енергії, а\(m\) також швидкості руху\(m\) в точці найближчого наближення до\(M\) (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)). Швидкість\(m\) в точці найближчого наближення завжди буде перпендикулярна лінії, що з'єднує центри\(m\) і\(M\). Різні можливі орбіти:

1. Кругова орбіта радіуса\(R\) (де\(R\) відстань найближчого наближення), якщо механічна енергія негативна (тобто пов'язана) і швидкість точно дорівнює величині, необхідній для того, щоб сила гравітації забезпечувала необхідну доцентрове прискорення для рівномірного кругового руху:\[\begin{aligned} \sum F = G\frac{Mm}{R^2} &= m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v_{circ}=\sqrt{\frac{GM}{R}}\end{aligned}\]
2. Еліптична орбіта, якщо механічна енергія негативна, а швидкість в точці найближчого наближення відрізняється від тієї, яка необхідна для кругової орбіти.
3. Параболічна орбіта, якщо механічна енергія рівно дорівнює нулю.
4. Гіперболічна орбіта, якщо механічна енергія більше нуля.

Можливі орбіти проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{2}\), і є кривими в сімействі «конічних перерізів», оскільки їх можна знайти по перетину площини і конуса. Всі конічні перерізи мають принаймні одну точку «фокусування» (еліпси мають дві), що відповідає розташуванню\(M\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Різні можливі орбіти,\(m\) обумовлені гравітаційною силою\(M\) залежать від механічної енергії\(E\), з\(m\). Орбіти малюються в системі відліку, де\(M\) знаходиться в стані спокою.