9.2: Універсальна теорія гравітації Ньютона

Ньютон нібито отримав уявлення про гравітаційну силу, спостерігаючи за тим, як яблуко падає з дерева, і зробивши висновок, що якщо це та сама сила, яка змушує яблука падати на рівні моря і на вершині гори, можливо, ця сила може бути застосована аж до Місяця. Досить примітно, що Ньютон зміг встановити зв'язок між падаючими яблуками і рухом Місяця навколо Землі, щоб знайти єдину теорію для опису обох ситуацій.

Нам повинно бути зрозуміло, що теорія гравітації - це інша теорія, ніж «Закони руху» Ньютона (Три закони Ньютона). Закони руху вводять поняття сили та інерційної маси та наказують, як використовувати ці поняття для моделювання руху за допомогою кінематики. Універсальна теорія гравітації Ньютона - це теорія, яка описує силу тяжіння, яку два тіла з (гравітаційною) масою чинять один на одного.

Універсальна теорія гравітації Ньютона стверджує, що якщо два тіла\(M_2\), з масами\(M_1\)\(\vec r_1\) і\(\vec r_2\), розташовані в положеннях і, відповідно, розділені відстанню\(r\), то\(M_2\) будуть надавати сила притягання на\(M_1\)\(\vec F_{12}\), задана:\[\begin{aligned} \vec F_{12}=-G\frac{M_1M_2}{r^2}\hat r_{21}\end{aligned}\] де\(\hat r_{21}\) - одиничний вектор від\(M_2\) до\(M_1\):\[\begin{aligned} \vec r_{21} &= \vec r_2 - \vec r_1\\ \hat r_{21} &= \frac{1}{r} \vec r_{21}\end{aligned}\] як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). \(\vec F_{12}\)слід читати як «сила на тіло 1 від тіла 2». \(G=6.67\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}/\text{kg}^{2}\)є універсальною постійною гравітації Ньютона. Слід зазначити, що теорія Ньютона про силу тяжіння, написана в такому вигляді, застосовується тільки до точкових мас (розділених відстанню\(r\)) або до сферичних тіл, центри яких розділені відстанню\(r\), більшою за радіус будь-якої сфери.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація векторів, задіяних у універсальній теорії гравітації Ньютона.

Спочатку Ньютон стверджував, що сила тяжіння буде пропорційна масам тіл, і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:\[\begin{aligned} F_{12}\propto \frac{M_1M_2}{r^2}\end{aligned}\] і\(G\) є просто константою пропорційності.

Через Третій закон Ньютона тіло 1 надає силу на тіло 2, рівну за величиною, але протилежну в напрямку:\[\begin{aligned} \vec F_{12} = -\vec F_{21}\end{aligned}\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Обчисліть величину сили тяжіння між собою і людиною, що стоїть\(50\text{cm}\) from you and compare that to your weight at the surface of the Earth (the force of gravity exerted by the Earth on you).

Рішення:

Якщо припустити, що дві людини мають масу\(50\text{kg}\), сила тяжіння, що чиниться одна на іншу, якщо вони розділені\(50\text{cm}\), дається:

\[\begin{aligned} F=G\frac{M_1M_2}{r^2}=(6.67\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}/\text{kg}^{2})\frac{(50\text{kg})(50\text{kg})}{(0.5\text{m})^2}=6.67\times 10^{-7}\text{N}\end{aligned}\]

Це дуже мала сила, в порівнянні з їх вагою,\(F_g\):

\[\begin{aligned} F_g=M_1g=(50\text{kg})(9.8\text{N/kg})=490\text{N}\end{aligned}\]

що приблизно в 700 мільйонів разів більше.

Обговорення:

Сила тяжіння є дуже слабкою силою в порівнянні з іншими силами в природі, такими як електрична сила між двома зарядами. Універсальна постійна гравітації Ньютона дуже мала, тому сила тяжіння між двома об'єктами дуже мала, якщо будь-яка з задіяних мас не дуже велика, або відстань між ними дуже мала. Взагалі, при моделюванні руху об'єктів на Землі взагалі безпечно ігнорувати сили тяжіння між об'єктами і включати тільки їх вагу (силу тяжіння від Землі).

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Радіус Землі дорівнює\(6371\) km. What is the order of magnitude of the Earth’s mass?

1. \(10^{24}\text{kg}\)
2. \(10^{18}\text{kg}\)
3. \(10^{19}\text{kg}\)
4. \(10^{21}\text{kg}\)

Бракує інформації.

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте константу в Третьому Законі Кеплера для планет, що обертаються навколо Сонця, а саме значення співвідношення:\[\begin{aligned} \frac{s^3}{T^2}\end{aligned}\] де\(s\) знаходиться напіввелика вісь і\(T\) орбітальний період.

Рішення:

Оскільки Третій закон Кеплера діє для будь-якого тіла, що обертається навколо Сонця, ми можемо легко визначити співвідношення, розглядаючи планету маси\(m\) в круговій орбіті радіуса,\(R\) центрованої навколо Сонця. Напіввелика вісь орбіти дорівнює радіусу орбіти для кругової орбіти (\(s=R\)).

Якщо планета знаходиться на круговій орбіті навколо Сонця, її швидкість\(v\), буде постійною, за другим законом Кеплера, і, таким чином, вона буде виконувати рівномірний круговий рух. Єдина сила, що чиниться на планеті, - це сила тяжіння, що чиниться Сонцем. При цьому сила тяжіння повинна дорівнювати масі планети раз її радіальному (доцентровому) прискоренню\(a_R\), яке дається: Другим законом\[\begin{aligned} a_R=\frac{v^2}{R}\end{aligned}\] Ньютона для планети можна записати так:\[\begin{aligned} \sum F = F_g &= ma_R\\ G\frac{Mm}{R^2}&=m\frac{v^2}{R}\\ G\frac{M}{R}&=v^2\end{aligned}\] де\(M\) маса Сонця. Швидкість планети задається окружністю орбіти, поділеною на орбітальний період\(T\), оскільки вона постійна:\[\begin{aligned} v=\frac{2\pi R}{T}\end{aligned}\] Перестановка рівняння з Другого закону Ньютона:\[\begin{aligned} G\frac{M}{R}&=v^2\\ G\frac{M}{R}&=\frac{4\pi^2 R^2}{T^2}\\ \therefore \frac{R^3}{T^2}&=G\frac{M}{4\pi^2}\end{aligned}\] Таким чином, ми знаходимо, що відношення куба орбітального радіуса до періоду в квадраті є константа, яка залежить тільки від маси Сонця, яка потім буде однаковою для всіх планет (так як не залежить, скажімо, від маси тієї планети, яку ми розглядали).

Обговорення:

Наприклад, наведене вище співвідношення може бути використано для визначення маси Сонця, оскільки ми можемо використовувати геометрію для визначення напіввеликої осі для орбіти планети, як це зробив Кеплер з даними Тихо Браге.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Прискорення, обумовлене гравітацією Землі, залежить від сили, яку Земля чинить на об'єкт. Використовуючи масу і радіус Землі, визначають прискорення падаючих об'єктів за рахунок гравітації Землі біля поверхні Землі. Крім того, визначте висоту, де прискорення через гравітацію Землі становить половину від того, що на поверхні Землі.

Рішення:

Ми можемо знайти прискорення завдяки гравітації Землі, визначивши прискорення маси\(m\), на якій сила тяжіння є єдиною діючою силою. Іншими словами, ми моделюємо об'єкт, який знаходиться у вільному падінні на\(R\) відстані від центру Землі. Другий закон Ньютона можна використовувати в одному вимірі (відповідному напрямку, що з'єднує падаючу масу з центром Землі):\[\begin{aligned} \sum F &= G\frac{Mm}{R^2}=ma\\ \therefore a&=G\frac{M}{R^2}\end{aligned}\] де\(M=5.97\times 10^{24}\text{kg}\) знаходиться маса Землі. На поверхні Землі\(R=R_\oplus=6.371\times 10^{6}\text{m}\):\[\begin{aligned} a&=G\frac{M}{R_\oplus^2}=(6.67\times 10^{-11}\text{Nm}^{2}/\text{kg}^{2})\frac{(5.97\times 10^{24}\text{kg})}{(6.371\times 10^{6}\text{m})^2}\\ &=9.81\text{m/s}^{2}\end{aligned}\] що, звичайно, є значенням\(g\) того, що ми використовували досі для прискорення за рахунок гравітації біля поверхні Землі. Щоб знайти висоту, на якій це зменшується вдвічі, ми спочатку знаходимо значення\(R\), яке відповідає цьому прискоренню:\[\begin{aligned} \frac{1}{2}G\frac{M}{R_\oplus^2}&=G\frac{M}{R^2}\\ \therefore R &=\sqrt{2}R_\oplus = 9.0\times 10^{6}\text{m}\end{aligned}\] яке відповідає висоті\(h=R-R_\oplus=2640\text{km}\), значно вище атмосфери Землі.

Обговорення:

Прискорення падаючих предметів зменшується в міру просування далі від центру Землі. Таким чином, наближення припустити, що\(g\) це константа, хоча в більшості випадків це дуже гарне наближення. На практиці значення\(g\) буде залежати як від відстані від центру Землі, так і від складу (щільності) матеріалу в земній корі нижче, де\(g\) вимірюється. Точні виміри\(g\) бджоли використовуються для визначення складу земної кори і пошуку родовищ корисних копалин і нафти.

Вага і видима вага

Ви, напевно, бачили зображення космонавтів, що плавають навколо Міжнародної космічної станції (МКС) або інших орбітальних суден, і чули про термін «невагомість», щоб описати їх рух. МКС знаходиться на орбіті на висоті приблизно\(400\text{km}\), де сила тяжіння Землі далеко не незначна (в прикладі 9.2.3 ми показали, що потрібно піти\(2640\text{km}\) на висоту, щоб сила була зменшена наполовину від тієї, що на поверхні Землі). Протиріччя між невагомим і тим, що вага не дорівнює нулю, вирішується розумінням того, що популярний термін «невагомий» є неточним з точки зору фізики.

Правильний термін, який слід використовувати з точки зору фізики, - це сказати, що видима вага космонавтів дорівнює нулю, коли вони плавають навколо. Вага - це величина сили тяжіння, що чиниться Землею. Очевидна вага - це, наприклад, сила, яку вимірюють при стоянні на весняній шкалі, яка дорівнює нормальній силі, що чиниться весняною шкалою на людину. Виявну вагу можна було визначити і по натягу в струні, від якої людина підвішена. Уявна вага - це сума зусиль, що чинилися на людину за вирахуванням сили тяжіння. Якщо гравітація є єдиною силою, що чиниться на людину (або об'єкт), видима вага цієї людини дорівнює нулю, що в народі називають невагомою.

Один із способів відчути себе невагомим - це коли ви перебуваєте у вільному падінні (наприклад, перші кілька секунд стрибка з парашутом з літака). Можна думати, що перебування на орбіті безперервно падає до центру Землі, але з початковою швидкістю в такому напрямку, що ви ніколи не стикаєтеся з Землею. Відчуття невагомості виникне в будь-який момент, коли єдина сила, що чиниться на вас, - це сила тяжіння. Якщо ви перебуваєте в космічному апараті на будь-якій орбіті і єдина сила на космічний корабель - від сили тяжіння (тобто ніякі ракети або крила не надають ніяких сил), то все в космічному кораблі буде мати однакове прискорення, так як гравітація - єдина сила, що діє на що-небудь в космічному апараті, і буде здаватися, що все просто плаває. Сторонньому спостерігачеві було б зрозуміло, що космічний корабель і його вміст все прискорюється.

Ефекти обертання Землі

Обертання Землі впливає на видиму вагу об'єктів поблизу поверхні Землі. Розглянемо людину, яка стоїть на весняній шкалі на Північному полюсі (верхня діаграма вільного тіла на малюнку\(\PageIndex{2}\)). Єдині дві сили, що чинилися на людину, - це їх вага\(\vec F_g\), і нормальна сила\(\vec N\), що чиниться весняною шкалою. Так як людина не прискорюється, нормальна сила і вага мають однакову величину і протилежні напрямки. Таким чином, шкала буде зчитувати фактичну вагу людини ¹.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Очевидна вага, задана нормальною силою, різна на екваторі Землі, оскільки прискорення людини ненульове, коли вони обертаються разом із Землею.

Розглянемо замість цього людини, що стоїть на весняній шкалі на екваторі (рис.\(\PageIndex{2}\)). Ця людина прискорюється, тому що вона зазнає рівномірного кругового руху, коли вони обертаються разом із Землею. Знову ж таки, єдиними силами, що діють на людину, є їх вага і нормальна сила, що чиниться шкалою. Сума сил тепер повинна дорівнювати масі людини,\(m\) помноженому на радіальне прискорення\(a_r\), що необхідно для того, щоб вони слідували за поверхнею Землі, коли Земля обертається навколо своєї осі. Другий закон Ньютона дозволяє знайти величину нормальної сили,\(M\) що діє на людину:\[\begin{aligned} \sum F &= F_g-N=ma_r=m\frac{v^2}{R}\\ \therefore N &= F_g - m\frac{v^2}{R}\\ &=G\frac{Mm}{R^2} - m\frac{v^2}{R}\\ &=m\left(G\frac{M}{R^2} - \frac{v^2}{R} \right)\\ &=m\left(g - \frac{v^2}{R} \right)\end{aligned}\] де маса Землі,\(R\) - радіус Землі, і\(v\) - швидкість на поверхні Землі за рахунок обертання Землі. В останньому рядку ми використовували результат з Прикладу 9.2.3, де ми визначили значення через масу і радіус Землі.\(g\)

Ми бачимо, що нормальна сила зменшується порівняно з тим, що було б, якби Земля не\(v=0\) оберталася () або якщо хтось стоїть на одному з полюсів. Ваша видима вага, яку ви можете виміряти, стоячи на весняній шкалі, таким чином, менша на екваторі, ніж на полюсах. Кількість в дужках може розглядатися як змінене або «ефективне» значення\(g\) на екваторі.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Яке ефективне значення\(g\) at the equator?

1. \(9.80 \text{m/s}^2\)
2. \(9.78 \text{m/s}^2\)
3. \(9.70 \text{m/s}^2\)
4. \(9.51 \text{m/s}^2\)

Відповідь

Якщо ви кружляєте Землю на відстані\(R\) від центру Землі з постійною швидкістю\(v\), можливо, ваша видима вага дорівнюватиме нулю. Уявіть собі, що стоїть на шкалі в літаку, який кружляє Землю і вимірює вашу видиму вагу за допомогою весняної шкали. Зі збільшенням швидкості літака ваша видима вага зменшується відповідно до формули\(N\), яку ми щойно знайшли:\[\begin{aligned} N=m\left(G\frac{M}{R^2} - \frac{v^2}{R} \right)\end{aligned}\] при певній швидкості ваша видима вага дорівнює нулю\(v\), і ви відчуваєте себе невагомою:\[\begin{aligned} G\frac{M}{R^2} &= \frac{v^2}{R}\\ \therefore v&= \sqrt{G\frac{M}{R} }\end{aligned}\] Ця швидкість відповідає доцентровій прискорення, яке точно дорівнює такому за рахунок сили тяжіння. Це має сенс, оскільки гравітація - єдина сила, яка діє на вас (нормальна сила зараз дорівнює нулю), що саме так ми називаємо перебування на орбіті.

Обертання Землі має деякі цікаві наслідки для стаціонарних об'єктів. У будь-якому положенні на Землі, яке не знаходиться на екваторі або полюсах, сума сил на будь-якому нерухомому об'єкті (мається на увазі нерухомий відносно поверхні Землі) не може бути нульовою. Це пов'язано з тим, що об'єкт повинен обертатися разом із Землею, тому чиста сила на об'єкті повинна вказувати до центру кола, навколо якого обертається це місце на Землі.

Візьмемо, наприклад, схил, який складається з маси, що звисає з мотузки. Дві сили, що діють на масу, - це гравітація і напруга. Сила тяжіння повинна вказувати в бік центру Землі. Ми очікували, що сила напруги, а отже і струна, вказуватиме безпосередньо від центру Землі. Однак ми виявимо, що якщо схил розташований під деяким кутом\(\theta\) від екватора (але не біля екватора або полюсів), як на малюнку\(\PageIndex{3}\), то струна буде спрямована трохи в сторону від центру Землі. Для того щоб маса залишалася нерухомою щодо землі, вона повинна обертатися разом з Землею (радіусом\(R\)) по колу радіусу\(R\cos\theta\). Таким чином, напруга від струни не може вказувати подалі від центру Землі, оскільки чиста сила повинна вказувати до центру кола радіуса\(R\cos\theta\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Далеко від екватора і полюсів схил (праворуч) не вказує на центр Землі, тому що чиста сила на масу повинна забезпечувати прискорення до центру кола (радіуса\(Rcos θ\)), навколо якого обертається схил за рахунок обертання Землі. Зверніть увагу, що прогин схилу сильно перебільшений.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Ви обрізаєте нитку схилу. Де знаходиться маса землі щодо її початкової широти (кут\(\theta\) in Figure \(\PageIndex{3}\))?

1. На тій же широті.
2. Ближче до найближчого полюса.
3. Ближче до екватора.

Відповідь

Гравітаційне поле

Гравітаційну силу, що чиниться\(m\) на масу масою,\(M\) можна записати так:\[\begin{aligned} \vec F(\vec r) = -G\frac{Mm}{r^2}\hat r\end{aligned}\] якщо ми визначимо систему координат з початком, розташованим у центрі маси,\(M\) так що\(\vec r\) це положення\(m\) по відношенню до\(M\). Ми можемо визначити «гравітаційне поле»\(\vec g(\vec r)\), у положенні\(\vec r\), завдяки наявності маси\(M\) як сили тяжіння на одиницю маси, що чиниться\(M\):

\[\vec g(\vec r)=\frac{\vec F(\vec r)}{m}=-G\frac{Mm}{r^{2}}\hat r\]

Слово «поле» - це всього лише математичний термін для функції, яка залежить від положення. Оскільки\(\vec g(\vec r)\) це вектор, ми б називали його «векторним полем».

Визначення гравітаційного поля дозволяє легко обчислити силу тяжіння\(M\) від будь-якої маси\(m\):\[\begin{aligned} \vec F_g = m\vec g(\vec r)\end{aligned}\]

На поверхні Землі величина гравітаційного поля задається:\[\begin{aligned} g(R_\oplus)=\frac{GM}{R_\oplus^2}=9.81\text{N/kg}\end{aligned}\] де\(R_\oplus\) - радіус Землі. Звичайно, це також відповідає прискоренню об'єктів у вільному падінні поблизу поверхні Землі, що ми можемо знайти з Другого закону Ньютона:\[\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec F_g = m\vec a\\ m\vec g(R_\oplus)&= m\vec a\\ \therefore \vec a &= \vec g(R_\oplus)\end{aligned}\] але ми бачимо тут, чому точніше\(g\) називати «величиною гравітаційного поля на поверхні Землі» а не «прискорення через гравітацію Землі». Також варто відзначити, що два рівні тільки в тому випадку, якщо гравітаційна маса (зліва від рівняння в другому рядку) збігається з інерційною масою (праворуч від рівняння). Гравітаційна маса - це маса, яка з'являється в гравітаційній силі, визначеній Ньютоном, тоді як інерційна маса - це маса, яка з'являється з прискоренням у другому законі Ньютона.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Два невеликих предмета з різною масою,\(m_1\) and \(m_2\), are located a distance \(r\) from a nearby star. What can you say about the magnitude of the gravitational field and the magnitude of the gravitational force on \(m_1\) and \(m_2\)?

1. Поле різне і сили різні.
2. Поле інше, але сили однакові.
3. Поле таке ж, але сили різні.
4. Поле те ж саме, а сили однакові.

Відповідь

Припустимо, що є два великих масових тіла\(M_2\),\(M_1\) причому, і тіло меншої маси,\(m\). Ми можемо обчислити чисту гравітаційну силу,\(m\) підсумовуючи вектори гравітаційної сили від\(M_1\) та\(M_2\) окремо. Якщо гравітаційні поля від\(M_1\) і\(M_2\) задаються\(\vec g_1(\vec r)\) і\(\vec g_2(\vec r)\), відповідно, то сумарна гравітаційна сила на\(m\) задається:\[\begin{aligned} \vec F &= m\vec g_1(\vec r) + m\vec g_2(\vec r)=m(\vec g_1(\vec r)+\vec g_2(\vec r))\\ &=m \vec g(\vec r)\end{aligned}\] куди ми ввели сумарну гравітаційну поле:\[\begin{aligned} \vec g(\vec r) = \vec g_1(\vec r)+\vec g_2(\vec r)\end{aligned}\] Іншими словами, якщо є кілька тіл, які призводять до незначної сили тяжіння, ми можемо самостійно обчислити їх гравітаційні поля і підсумувати їх разом, щоб визначити чисте гравітаційне поле\(\vec g(\vec r)\), що моделює чисту силу тяжіння з усіх органів. Чиста гравітаційна сила на новому тілі маси потім просто\(m'\) задається\(m'\vec g(\vec r)\), і нам не потрібно складати більше векторів разом. Наприклад, при розрахунку руху супутників, на які може впливати сила тяжіння як від Землі, так і від Місяця, нам просто потрібно обчислити чисте гравітаційне поле від Землі і Місяця, і рух будь-якого супутника потім можна змоделювати за допомогою цього чистого гравітаційного поля.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Т тут розташовані дві планети з однаковою масою, розташовані на відстані.\(d\) apart. Position \(A\) is located midway between the two planets. Position \(B\) is located a distance \(d/2\) from one of the planets, in the position shown in Figure \(\PageIndex{4}\). How does the field at \(A\) compare to the field at \(B\)?

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Дві планети знаходяться на відстані\(d\) один від одного. Ми розглядаємо гравітаційне поле в двох положеннях,\(A\) причому\(B\), розташованих поблизу планет.

1. Величина поля однакова при\(A\) і\(B\).
2. Величина поля більше при\(A\), ніж при\(B\).
3. Величина поля більше при\(B\), ніж при\(A\).

Відповідь

Закон Гауса

Універсальна теорія тяжіння Ньютона постулює, що сила тяжіння між двома тілами зменшується у квадраті відстані між цими двома тілами. Використовуючи термінологію поля, ми б сказали, що сила гравітаційного поля від об'єкта зменшується у міру зворотного квадрата відстані до цього об'єкта. Це приклад того, що ми зазвичай називаємо «законом зворотного квадрата». Електрична сила між двома зарядами також дається законом зворотного квадрата, і ми тепер розуміємо, що ці сили поводяться так, ніби вони «передаються» хвилями або частинками.

Якщо сила задається законом зворотного квадрата, то Закон Гауса дає можливість визначити напруженість поля, яке пов'язане з цією силою. У випадку гравітації Закон Гаусса стверджує, що:\[\begin{aligned} \oint \vec g(\vec r) \cdot d\vec A = 4\pi G M^{enc}\end{aligned}\] де інтеграл зліва є інтегралом над «замкнутою поверхнею», який повністю оточує масу, для якої ми хочемо визначити гравітаційне поле. Щоб оцінити інтеграл, уявіть, приймаючи замкнуту поверхню\(S\), яка оточує масу. Вектор\(d\vec A\) визначається як вектор, який йде з невеликим елементом цієї поверхні і вказує назовні від замкнутої поверхні. Величина вектора дорівнює площі цієї маленької поверхні (\(dA\)), як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Потім ви можете взяти скалярний добуток\(d\vec A\) з гравітаційним полем\(\vec g(\vec r)\), в цій точці на поверхні. Якщо підсумувати всі ці скалярні добутки, ви отримаєте значення інтеграла зліва. Закон Гаусса стверджує, що значення цього інтеграла дорівнює\(4 \pi G\) загальній масі, яка укладена поверхнею.

Думки Олівії

Якщо ви хочете знати, чи закрита поверхня, запитайте себе, чи можете ви покласти воду всередину поверхні, і не турбуйтеся про те, що вона виллється назовні. Наприклад, якщо ви поставите воду в сферу або куб, вода не виллється назовні, навіть якщо ви струшуєте її навколо, тому вони є закритими поверхнями. Плоский квадрат - це відкрита поверхня, оскільки немає «всередині», щоб навіть покласти воду. Чаша - це відкрита поверхня, тому що, хоча ви можете покласти воду в неї, вода може вилитися назовні.

Ми зупинимося більш детально про Закон Гауса, коли ми висвітлюємо електромагнетизм, але варто побачити, як його використовувати за простим сценарієм. \(\PageIndex{5}\)На малюнку показано сферичне тіло маси\(M\) і радіуса,\(R\) для якого ми хотіли б визначити значення гравітаційного поля на відстані\(r\) від центру тіла.

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Приклад сферичної гаусової поверхні\(S\), радіуса з\(r\) центром навколо тіла маси\(M\) та радіуса\(R\). Елемент поверхні,\(d\vec A\) також показаний разом з гравітаційним полем\(\vec g(\vec r)\), у цій точці.

Для цього ми малюємо «гаусову поверхню»\(S\), тобто сферу з радіусом\(r\), і по центру навколо тіла. У будь-якій точці поверхні вектор елемента області\(d\vec A\) вказує далеко від центру сферичної поверхні. Вектор гравітаційного поля завжди\(\vec g(\vec r)\) буде вказувати на центр сферичної поверхні, як показано на ілюстрації. Крім того, за симетрією\(\vec g(\vec r)\) величина постійна уздовж всієї гаусової поверхні. Таким чином, скалярний добуток\(\vec g(\vec r) \cdot d\vec A=-g(r)dA\) всюди вздовж поверхні (він негативний, оскільки два вектори є антипаралельними). Інтеграл, таким чином, дається:

\[\begin{aligned} \oint \vec g(\vec r) \cdot d\vec A = -g(r)\oint dA \end{aligned}\]

де ми\(g(r)\) врахували з інтеграла, оскільки\(\vec g(\vec r)\) величина постійна для всіх елементів площі\(dA\) на сфері. Пам'ятайте, що інтеграл - це сума. \(\oint dA\)Таким чином, інтеграл означає «підсумувати всі елементи площі\(dA\) по всій поверхні\(S\)». Таким чином, інтеграл - це загальна площа сферичної поверхні\(S\)²:

\ [\ begin {вирівняний}\ точка\ vec g (\ vec r)\

d\ vec A = -g (r)\ точка dA =-г (r) (4\ pi r^2)\ кінець {вирівняний}\]

Вставивши це в Закон Гауса, знаходимо:\[\begin{aligned} \oint \vec g(\vec r) \cdot d\vec A &= 4\pi G M^{enc}\\ -g(r)(4\pi r^2) &= 4\pi G M^{enc}\\ \therefore g(r) &= - \frac{GM}{r^2}\end{aligned}\] де\(M^{enc}=M\) загальна маса, укладена гауссовой поверхнею (в даному випадку\(M\) укладається вся маса). Це, звичайно, результат, який ми очікували і отримали раніше від формулювання Ньютона. Зауважте, що Закон Гаусса простий у використанні лише в тому випадку, якщо система є високосиметричною (наприклад, сферично симетричною), і що вона не дає напрямку вектора поля, який повинен бути отриманий з аргументів симетрії.

Думки Олівії

Ось аналогія для опису закону Гаусса про гравітацію: відома знаменитість робить подію, і вони привертають певну кількість шанувальників, які хочуть максимально наблизитися до знаменитості. Ви ставите барикаду навколо знаменитості. Гравітаційне поле представлено тим, наскільки багатолюдно воно десь вздовж барикади. Якщо на заході буде друга знаменитість, вони привернуть власних шанувальників, тому навколо барикади буде більше людей. Кількість знаменитостей ніби схоже на вкладену масу\(M^{enc}\).

Фотограф приходить на захід, і ви сказали йому стояти в якомусь місці, яке знаходиться на відстані\(r\) від знаменитостей. Фотограф хоче знати, наскільки багатолюдно буде, коли він стоїть за барикадою в цьому місці. Закон Гаусса дає нам спосіб розібратися в цьому. Якщо ви знаєте, які знаменитості є на заході (\(M^{enc}\)), ви можете визначити, скільки людей буде там (це як знайти\(4\pi GM^{enc}\)). Тоді, якщо ви зможете побудувати барикаду таку, щоб вентилятори рівномірно розподілялися навколо неї, і ви знаєте, скільки часу ця барикада (\(\oint dA\)), то легко підрахуйте, наскільки багатолюдно буде в якийсь момент вздовж барикади (можна просто розділити кількість людей на довжину барикади). Барикада представляє нашу гаусову поверхню і, як гаусова поверхня, вона може бути будь-якої форми, яку ми хочемо, доки вона охоплює знаменитостей і проходить через точку, в якій нас цікавить. Якщо ми хочемо переконатися, що люди розподілені рівномірно, форма барикади буде залежати від конкретного випадку. Візьмемо приклад нашого єдиного сферичного тіла. Це аналогічно наявності однієї знаменитості на заході.

Малюнок\(\PageIndex{6}\) показує дві можливі барикади, які ми могли б побудувати. Хоча ми можемо технічно побудувати барикаду зліва, це нам не допомагає, оскільки райони, ближче до знаменитості, будуть більш переповненими. Замість цього ми хочемо побудувати барикаду праворуч, яка являє собою коло радіусу\(r\), тому що вентилятори рівномірно розподілені. Ось чому ми використовуємо сферичну гаусову поверхню, коли розглядаємо поле через сферичне тіло - у будь-якій точці на відстані\(r\) від тіла поле буде однаковим. (Примітка: Пам'ятайте, що, на відміну від барикади, гаусова поверхня не є фізичною річчю, тому вона не вплине на гравітаційне поле. Це просто математичний інструмент, який дозволяє нам скористатися тим, як вже виглядає поле.)

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Знаменитість (чорна крапка) приваблює шанувальників (сірі крапки). Фотограф (точка з написом «\(P\)») стоїть за барикадою на\(r\) відстані. Це показує дві можливі барикади, які ми могли б побудувати навколо знаменитості. Щільність вентиляторів не є рівномірною для барикади зліва, тому ми б не вибрали цю форму для оцінки гауссового інтеграла.

Ми також можемо використовувати Закон Гауса для визначення гравітаційного поля всередині тіла маси\(M\) та радіуса\(R\). Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{7}\), на якому зображена сферична гаусова поверхня радіуса\(r\), яка знаходиться всередині тіла маси\(M\).

Рисунок\(\PageIndex{7}\): Приклад сферичної гаусової поверхні\(S\), радіуса,\(r\) центрованого всередині тіла маси\(M\) та радіуса\(R\).

Гравітаційне поле всередині тіла маси\(M\) також симетричне і постійне за величиною по всій поверхні, так що інтеграл такий же, як і раніше:\[\begin{aligned} \oint \vec g(\vec r) \cdot d\vec A=-g(r)(4\pi r^2)\end{aligned}\] Однак, щоб використовувати Закон Гауса, нам потрібно визначити масу тіла, яке укладено в межах сферичної поверхні, яка буде менше\(M\). Якщо припустити, що щільність маси\(\rho\), об'єкта постійна (тіло виготовлено з однорідного матеріалу), то щільність - це просто маса предмета над його об'ємом:\[\begin{aligned} \rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\end{aligned}\] Величина маси, укладеної сферичною поверхнею радіуса,\(r\) - це щільність помножений на об'єм сфери радіуса\(r\):\[\begin{aligned} M^{enc} = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 = M\frac{r^3}{R^3}\end{aligned}\] Застосовуючи закон Гаусса, ми можемо знайти величину гравітаційного поля всередині сферичного тіла на відстані\(r\) від центру:\[\begin{aligned} \oint \vec g(\vec r) \cdot d\vec A &= 4\pi G M^{enc}\\ -g(r)(4\pi r^2) &= 4\pi G M\frac{r^3}{R^3}\\ \therefore g(r) &= - \frac{G M}{R^3}r\end{aligned}\] І ми знаходимо, що всередині рівномірного сферичного тіла маси\(M\), гравітаційне поле збільшується лінійно з радіусом, коли один рухається від центру. У центрі тіла гравітаційне поле дорівнює нулю.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Що можна сказати про величину гравітаційного поля всередині сферичної оболонки маси\(M\)?

1. Він збільшується, коли ви виходите з центру сферичної оболонки.
2. Він зменшується, коли ви виходите з центру сферичної оболонки.
3. Вона дорівнює нулю.
4. Вона ненульова і постійна за величиною.

Відповідь

Виноски

1. Вага, який відображається на шкалі, дорівнює за величиною нормальної сили, що чиниться шкалою на людину. Це сила реакції на цю нормальну силу.

2. Площа поверхні сфери радіуса\(r\) дорівнює\(4πr^{2}\).