9.1: Закони Кеплера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75952

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Хоча люди вже давно захоплені рухом предметів на небі, саме Йоганнес Кеплер на початку сімнадцятого століття першим записав кількісні правила, які описували рух планет навколо Сонця. Його теорія базувалася на великих і детальних спостереженнях, записаних Тихо Браге в кінці шістнадцятого століття.

Кеплер запропонував три закони, які описують всі дані, які Тихо Браге зібрав про рух планет:

Шляху планети навколо Сонця описує еліпс з Сонцем відразу його вогнища.
Всі планети рухаються таким чином, що область, охоплена лінією, що з'єднує планету і Сонце в даний проміжок часу, постійна.
Співвідношення між орбітальними періодами двох планет в квадраті дорівнює співвідношенню напіввеликих осей\(s\), їх орбіт в кубі:\(T\)\[\begin{aligned} \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^3\end{aligned}\]

Розглянемо ці три закони більш детально в наступних розділах. Слід також зазначити, що, хоча Закони Кеплера були виведені для планет, що обертаються навколо Сонця, вони поширюються на будь-яке тіло, яке обертається навколо будь-якого іншого тіла під впливом сили тяжіння ¹.

Перший закон Кеплера

Кеплер зауважив, що рух всіх планет йде по шляху еліпса з Сонцем, розташованим в одному з його осередків. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показана діаграма еліпса, разом з двома його осередками, його напівосновною віссю\(s\), напівмалою віссю та її ексцентриситетом\(e\).\(b\) Ексцентриситет - це міра того, наскільки далеко фокус знаходиться від центру еліпса. Більший ексцентриситет, таким чином, відповідає «більш плоскому» еліпсу. Зверніть увагу, що коло - це всього лише окремий випадок еліпса, причому обидва осередки розташовані в центрі кола.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Еліпс, що показує два його вогнища,\(s\) його напіввелику вісь\(b\), напівмалу вісь та ексцентриситет\(e\).

Сонце розташовується в одному з вогнищ. Точка найближчого наближення до Сонця називається «перигелієм» орбіти (або «перигеєм», якщо орбіта не навколо Сонця), а найбільш віддалена від Сонця точка називається «афелієм» орбіти (або «апогеєм», якщо орбіта не навколо Сонця), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Орбіта Землі навколо Сонця, що показує перигелій і афелій, і орбіта Місяця навколо Землі, що показує перигей і апогей. (Не масштабувати.)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Впорядкуйте еліпси від найменшого ексцентриситету до найбільшого ексцентриситету.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Три еліпса, кожен з різним ексцентриситетом.

Відповідь: \(A<C<B\)

Другий закон Кеплера

Другий закон Кеплера - це дійсно твердження про швидкість планети на еліптичній орбіті. У ньому зазначено, що площа, пронесена лінією, що з'єднує планету і Сонце в заданий проміжок часу, фіксована. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{4}\), на якому показана еліптична орбіта планети навколо Сонця, розташованої в одному з вогнищ, і область, зміталася, коли планета йде від\(A\) до\(B\) і від\(C\) до\(D\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Ілюстрація другого закону Кеплера, що показує площу, яка «охоплена» планетою за певний проміжок часу.

Другий закон Кеплера стверджує, що дві області, які показані сірими розділами на малюнку, однакові, якщо планеті знадобилося стільки ж часу, щоб подорожувати між точками,\(A\) і\(B\) як це було для подорожі між точками\(C\) та \(D\). Оскільки точки\(C\) і\(D\) знаходяться далі від Сонця, ніж точки\(A\) і\(B\), відстань між точками\(C\) і\(D\) повинна бути меншою, ніж відстань між точками \(A\)і\(B\) щоб дві області були однаковими. Це, в свою чергу, означає, що планета повинна рухатися повільніше між точками\(C\) і\(D\), ніж між точками\(A\) і\(B\). Швидкість планети, таким чином, найбільша на перигелії і найменша в афелії. Як ми побачимо в наступному розділі, Другий закон Кеплера еквівалентний твердженню про те, що кутовий імпульс планети про Сонце зберігається.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Виходячи з другого закону Кеплера, що ви можете сказати про швидкість планети на круговій орбіті?

Відповідь: Швидкість планети постійна.

Третій закон Кеплера

Третій закон Кеплера є кількісним і пов'язує орбітальні періоди (\(T\)) та напіввеликі осі (\(s\)) між будь-якими двома планетами на орбіті навколо Сонця:

\[\begin{aligned} \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{s_1}{s_2}\right)^3\end{aligned}\]

Ми можемо переставити це співвідношення так, щоб всі величини, пов'язані з однією планетою, знаходилися на одній стороні знака рівності:

\[\begin{aligned} \frac{T_1^2}{s_1^3}=\frac{T_2^2}{s_2^3}=\text{constant}\end{aligned}\]

Іншими словами, співвідношення між орбітальним періодом в квадраті і напіввеликою віссю в кубі є постійною, незалежною від конкретної планети. У прикладі 9.2.2 ми будемо використовувати універсальну теорію гравітації Ньютона для оцінки константи.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Об'єкт знаходиться на круговій орбіті з радіусом\(r\) and has an orbital speed \(v\). If you double the radius of the circular orbit, what will be the value of the orbital speed?

\(2v\)
\(8v\)
\(\sqrt{8}v\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}v\)

Відповідь

1. Насправді вони застосовуються для будь-яких двох тіл, що обертаються навколо один одного, якщо сила між ними є законом «зворотно-квадратного», наприклад, гравітаційної та електричної сил.