8.8: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Куля маси\(m\) is dropped onto a vertical spring with spring constant \(k\). The spring will compress until the ball comes to rest. How much will it compress if the ball is dropped from a height \(h\) above the spring?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Куля опускається з опори на вертикальну пружину.

Відповідь

Дві сили, що діють на кулю, - це сила тяжіння та сила пружини. Обидва вони консервативні, тому ми можемо використовувати збереження механічної енергії. Ми знайдемо енергію кулі, коли він знаходиться на висоті\(h\) над пружиною, і енергію кулі, коли пружина повністю стискається. Потім ми будемо використовувати збереження механічної енергії для визначення стиснення пружини.

Пам'ятайте, що загальна механічна енергія - це сума загальної потенційної енергії і кінетичної енергії,\(E=U+K\). Назвемо початкове положення м'яча\(A\) і кінцеве положення м'яча\(B\). Ви помітите, що ми встановили нашу систему координат так, щоб\(y\) вона була позитивною вгору, з\(y=0\) точкою, де куля стикається з пружиною. Ми вирішили визначити як гравітаційну потенційну енергію, так і потенційну енергію пружини так, щоб вони були нульовими при\(y=0\).

Оскільки м'яч починається з спокою, його кінетична енергія дорівнює нулю в положенні\(A\). У цей момент кулька не торкається пружини, тому потенційна енергія від сили пружини дорівнює нулю. Механічна енергія кулі в положенні просто\(A\) дорівнює його гравітаційної потенційної енергії:\[\begin{aligned} E_A&=U_A+K_A\\ E_A&=mgh\end{aligned}\] У положенні\(B\) куля знову знаходиться в стані спокою, тому кінетична енергія кулі дорівнює нулю. Тепер, коли куля контактує з пружиною, він буде відчувати силу від пружини, яку можна змоделювати за допомогою потенційної енергії\(U(y)=\frac{1}{2}ky_1^2\), де\(y_1\) відстань між іншим положенням пружини та її стиснутою довжиною. У точці\(B\) (\(y=-y_1\)) куля матиме як пружинну, так і гравітаційну потенційну енергію, тому його механічна енергія в положенні\(B\) задається:\[\begin{aligned} E_B&=U_B+K_B=U_B\\ U_B&=mg(-y_1)+\frac{1}{2}ky_1^2\\ E_B&=-mgy_1+\frac{1}{2}ky_1^2\end{aligned}\] Оскільки механічна енергія зберігається в цій системі (жодні неконсервативні сили не роблять роботи ), тепер ми можемо встановити\(E_A=E_B\) і вирішити для\(y_1\):\[\begin{aligned} E_A&=E_B\\ mgh&=-mgy_1+\frac{1}{2}ky_1^2\\ 0&=\frac{1}{2}ky_1^2-mgy_1-mgh\\\end{aligned}\] де в останньому рядку ми переписали вираз як квадратне рівняння. Ми можемо вирішити для за\(y_1\) допомогою квадратичної формули:\[\begin{aligned} y_1=\frac{mg\pm\sqrt{(mg)^2-4(1/2k)(-mgh)}}{k}\\ y_1=\frac{mg\pm\sqrt{mg(mg+2kh)}}{k}\end{aligned}\] Тепер у нас є вираз для суми стиснення пружини\(y_1\), з точки зору наших відомих значень.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Простий маятник складається з маси\(m\) connected to a string of length \(L\). The pendulum is released from an angle \(\theta_0\) from the vertical. Use conservation of energy to find an expression for the velocity of the mass as a function of the angle.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Маятник звільняється від упокоєння під кутом\(\theta_{0}\) від вертикалі.

Відповідь

Ми знайдемо загальний вираз для енергії системи, а потім скористаємося цим виразом, щоб знайти швидкість в будь-якій точці. На масу діють дві сили:

Сила натягу (від струни). Ця сила перпендикулярна напрямку руху в будь-якій точці, тому вона не діє на масу.

Сила тяжіння, яка має потенційну енергетичну функцію, задану\(U(y)=mgy\). Вибираємо гравітаційну потенційну енергію рівною нулю, коли маятник звисає вертикально (коли\(\theta=0\) і\(y=0\)).

Механічна енергія маси зберігається, і в будь-якій точці задається сумою її кінетичної та її гравітаційної потенційної енергій:\[\begin{aligned} E=mgy+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Ми хочемо знайти швидкість як функцію\(\theta\), тому нам потрібно писати\(y\) в терміні\(\theta\). Як ви пам'ятаєте з завдання 7.6.2, ми побачили, що з геометрії задачі ми можемо висловити висоту маси як\(y=L-L\cos\theta\)\(L(1-\cos\theta)\), або, де\(y\) висота, виміряна від нижньої точки руху. Ви можете звернутися до рис. 7.6.4, щоб оновити пам'ять. Енергія в будь-якій точці є тоді:\[\begin{aligned} E=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Збереження енергії говорить нам, що загальна енергія в будь-якій точці повинна бути такою ж, як початкова енергія. Отже, ми можемо використовувати наші початкові умови, щоб знайти загальну енергію системи. Маса починається з спокою (початкова кінетична енергія дорівнює нулю) кут\(\theta_0\) вище вертикалі:\[\begin{aligned} E&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ E_{initial}&=mgL(1-\cos\theta_0)\end{aligned}\] Тепер, коли ми знайшли загальну енергію системи, ми можемо написати наше загальне вираз для енергії системи в будь-якій точці:\[\begin{aligned} E&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ mgL(1-\cos\theta_0)&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\end{aligned}\] Все, що залишилося зробити, це спростити вираз і перевпорядкування для\(v\):\[\begin{aligned} mgL(1-\cos\theta_0)&=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}mv^2\\ gL(1-\cos\theta_0)-gL(1-\cos\theta)&=\frac{1}{2}v^2\\ gL-gL\cos\theta_0-gL+gL\cos\theta&=\frac{1}{2}v^2\\ gL(\cos\theta-\cos\theta_0)&=\frac{1}{2}v^2\\ \therefore v&=\sqrt{2gl(\cos\theta-\cos\theta_0)}\end{aligned}\]

Обговорення:

З цього виразу ми бачимо, що швидкість буде максимізована, коли\(\cos\theta\) буде максимізована, що відбудеться, коли\(\theta=0\) (коли маятник вертикальний). Це так, як ми очікували. Ми також можемо побачити, що ми отримаємо уявне число, якщо\(\theta\) величина більше\(\theta_0\), ніж, показуючи, що рух обмежений між\(-\theta_0\) і\(\theta_0\). Нарешті, ми показали, що швидкість руху маятника не залежить від маси!

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Блок маси\(m\) sits on a frictionless horizontal surface. It is attached to a wall by a spring with a spring constant \(k\). The mass is pushed so as to compress the spring and then it is released (Figure \(\PageIndex{3}\)). Use the Lagrangian formalism to find an equation of motion for the mass/spring system (i.e. use the Lagrangian to determine the acceleration of the mass).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Маса, прикріплена до пружини, коливається навколо решти положення пружини.

Відповідь

Ми знайдемо рівняння руху системи за допомогою методу Лагранжа. Ми вирішили використовувати одновимірну систему координат, з\(x\) віссю, визначеною як співлінійна з пружиною, позитивна в напрямку, де пружина подовжена, і встановлюємо початок, який повинен бути розташований в іншому положенні пружини. Кінетична енергія та потенційна енергія маси задаються\[\begin{aligned} K&=\frac{1}{2}mv_x^2\\ U&=\frac{1}{2}kx^2\end{aligned}\] тим, що єдина сила, що чиниться на масу, яка може виконувати роботу, - це сила від пружини. Ми вибрали потенційну енергію рівною нулю при\(x=0\). Лагранж для цієї системи - це:\[\begin{aligned} L&=K-U\\ L&=\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\end{aligned}\]

Рівняння Ейлера-Лагранжа в одному вимірі:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

Ми можемо обчислити терміни рівняння Ейлера-Лагранжа:

\[\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial v_{x}}&=\frac{\partial}{\partial v_{x}}\left(\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\right)\\ &=mv_x\\ \therefore \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)&=\frac{d}{dt}(mv_x)\\ &=ma_x\\ \textrm{and}\qquad \frac{\partial L}{\partial x}&=\left(\frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}kx^2\right)\\ &=-kx\end{aligned}\]

а потім складіть їх разом, щоб отримати:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} &= 0\\ \therefore ma_x&=-kx\\\end{aligned}\]

Ми бачимо, що це рівняння руху еквівалентно Другому закону Ньютона.