8.6: Резюме

Ключові виноси

Сила консервативна, якщо робота, виконана цією силою на замкнутому шляху, дорівнює нулю:

\[\begin{aligned} \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = 0\end{aligned}\]

Рівнозначно, сила консервативна, якщо робота, виконана силою над об'єктом, що рухається з положення\(A\) в положення,\(B\) не залежить від конкретного шляху між двома точками. Умови для того, щоб сила була консервативною, задаються:

\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= 0 \nonumber\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= 0\nonumber\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0\end{aligned}\]

Зокрема, сила, яка є постійною за величиною і напрямком, буде консервативною. Сила, яка залежить від величин, відмінних від положення (наприклад, швидкості, часу), не буде консервативною. Сила, що чиниться гравітацією, і сила, що чиниться пружиною, консервативні.

Для будь-якої консервативної сили\(\vec F(\vec r)\), ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію\(U(\vec r)\), яка може бути використана для обчислення роботи, виконаної силою по будь-якому шляху між положенням\(A\) і положенням\(B\):\[\begin{aligned} -W = - \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = U(\vec r_B) - U(\vec r_A) = \Delta U\end{aligned}\] де зміна потенціалу енергетична функція в переході від\(A\) до\(B\) дорівнює негативу роботи, виконаної в переході від точки\(A\) до точки\(B\). Ми можемо визначити функцію,\(U(\vec r)\) обчисливши робочий інтеграл по «легкому» шляху (наприклад, пряма лінія, яка співлінійна з напрямком сили).

Важливо відзначити, що до потенційної енергетичної функції може бути додана довільна константа, оскільки осмислені лише відмінності в потенційній енергії. Іншими словами, ми вільні вибирати місце в просторі, де потенційна енергетична функція визначена рівною нулю.

Ми можемо розбити чисту роботу, виконану над об'єктом, як суму роботи, виконаної консервативними (\(W^C\)) і неконсервативними силами (\(W^{NC}\)):\[\begin{aligned} W^{net}&=W^{NC}+W^{C}=W^{NC}-\Delta U\end{aligned}\] де\(\Delta U\) різниця в загальній потенційній енергії об'єкта (сума потенційних енергій для кожна консервативна сила, що діє на об'єкт).

Теорема робота-енергія стверджує, що чиста робота, виконана над об'єктом, що переходить з положення\(A\) в положення,\(B\) дорівнює зміні об'єкта кінетичної енергії: Таким чином,\[\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=\Delta K\end{aligned}\] ми можемо написати, що загальна робота, виконана неконсервативними силами, дорівнює зміні в потенційні та кінетичні енергії:\[\begin{aligned} W^{NC}=\Delta K+\Delta U\end{aligned}\] Зокрема, якщо жодні неконсервативні сили не працюють над об'єктом, то зміна загальної потенційної енергії дорівнює негативній зміні кінетичної енергії об'єкта:\[\begin{aligned} -\Delta U=\Delta K\end{aligned}\] Ми можемо ввести механічну енергію об'єкта\(E\) як:\[\begin{aligned} E = U+K\end{aligned}\] Чиста робота, виконана неконсервативними силами, тоді дорівнює зміні механічної енергії об'єкта:\[\begin{aligned} W^{NC}=\Delta E\end{aligned}\] Зокрема, якщо на об'єкті неконсервативними силами не проводиться чиста робота, то механічна енергія об'єкта не змінюється (\(\Delta E=0\)). В даному випадку ми говоримо, що механічна енергія об'єкта зберігається.

Лагранжевий опис класичної механіки базується на Лагранже,\(L\)\[\begin{aligned} L = K - U\end{aligned}\] який є різницею між кінетичною енергією та потенційною енергією об'єкта.\(K\)\(U\) Рівняння руху задаються принципом найменшої дії, що призводить до рівняння Ейлера-Лагранжа (записано тут для випадку частинки, що рухається в одному вимірі):\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

Важливі рівняння

Умови для того, щоб сила була консервативною:

\[\begin{aligned} \oint \vec F(\vec r) \cdot d\vec l = 0\end{aligned}\]\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= 0 \nonumber\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= 0\nonumber\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0\end{aligned}\]

Потенційна енергія для консервативної сили:

\[\begin{aligned} \Delta U&=-W\\ U(\vec r_B) - U(\vec r_A)&= - \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\end{aligned}\]

Теорема «Робота-енергія»:

\[\begin{aligned} W^{net}&=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2=\Delta K\end{aligned}\]

Робота:

\[\begin{aligned} W^{net}&=W^{NC}+W^{C}=W^{NC}-\Delta U\\ W^{NC}&=\Delta K+\Delta U\end{aligned}\]

Енергія:

\[\begin{aligned} E&=U+K\\ W^{NC}&=\Delta E\end{aligned}\]

Лагранж:

\[\begin{aligned} L = K - U\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

Важливі визначення

Визначення

Консервативна сила: Сила, яка не працює в мережі при впливі на замкнутий шлях.

Визначення

Потенційна енергія: форма енергії, яку має об'єкт в силу свого положення в просторі. Потенційна енергія пов'язана з консервативною силою, яка чиниться в напрямку, що знижує потенційну енергію об'єкта. Одиниці СІ:\([\text{J}]\). Загальні змінні:\(U\).