8.5: Формулювання Лагранжа класичної фізики

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75911

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поки що ми бачили, що на основі Законів Ньютона можна сформулювати опис руху, яке базується виключно на понятті енергії. У вісімнадцятому столітті було проведено багато досліджень, щоб переформулювати теорію механіки, яка була б еквівалентна теорії Ньютона, але відправною точкою якої є поняття енергії замість поняття сили. Цей «сучасний» підхід до класичної механіки грунтується насамперед на дослідженнях Лагранжа і Гамільтона.

Хоча вдаватися в подробиці цієї формулювання виходить за рамки цього тексту, варто швидко поглянути, щоб краще зрозуміти, як фізики прагнуть узагальнити теорії. Також варто відзначити, що формулювання Лагранжа - це метод, за допомогою якого розробляються теорії для квантової механіки і сучасної фізики.

Лагранжевий опис «системи» базується на кількості\(L\), яка називається «Лагранж», яка визначається як:

\[L=K-U\]

де\(K\) - кінетична енергія системи, а\(U\) - її потенційна енергія. «Система» може бути досить складною сукупністю об'єктів, хоча ми проілюструємо, як реалізується формулювання Лагранжа для одного об'єкта маси, що\(m\) рухається в одному вимірі під впливом сили тяжіння. \(x\)Дозволяти напрямок руху (яке є вертикальним) таким, що потенційна і кінетична енергії об'єкта задаються:

\[\begin{aligned} U(x) &= mgx\\ K(v_x) &= \frac{1}{2}mv_x^2\\ \therefore L(x,v_x) &= \frac{1}{2}mv_x^2 - mgx\end{aligned}\]

де ми вибрали потенційну енергію, яка дорівнює нулю при\(x=0\), і\(v_x\) це швидкість об'єкта.

У сучасній постановці класичної механіки рух системи буде таким, що зводиться до мінімуму наступний інтеграл:

\[\begin{aligned} S = \int Ldt\end{aligned}\]

де\(L\) може залежати від часу явно або неявно (через те, що положення і швидкість, від якої залежить Лагранж, самі по собі залежать від часу). Вимога мінімізувати вищезгаданий інтеграл називається «Принцип найменшої дії» ¹, і вважається основним принципом, який описує всі закони фізики. Умова мінімізації дії задається рівнянням Ейлера-Лагранжа:

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x}=0\]

Таким чином, у формулюванні Лагранжа спочатку записують Лагранжа для системи, а потім використовує рівняння Ейлера-Лагранжа для отримання «рівнянь руху» для системи (тобто рівняння, що дають кінематичні величини, такі як прискорення, для системи).

З огляду на Лагранжа, який ми знайшли вище для частинки, що рухається в одному вимірі під впливом сили тяжіння, ми можемо визначити кожен член у рівнянні Ейлера-Лагранжа:

\[\begin{aligned}\frac{\partial L}{\partial v_{x}} &= \frac{\partial}{\partial v_{x}}\left(\frac{1}{2}mv_x^2 - mgx \right)=mv_x\\ \therefore\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right) &= \frac{d}{dt} (mv_x) = ma_x\\ \frac{\partial L}{\partial x}&= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2}mv_x^2 - mgx\right) = -mg\\\end{aligned}\]

Введення їх у рівняння Ейлера-Лагранжа:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} &= 0\\ (ma_x) - (-mg) &=0\\ ma_x&=-mg\\ \therefore a_x &= -g\end{aligned}\]

що точно еквівалентно використанню Другого закону Ньютона (другий останній крок еквівалентний\(F=ma\)). У формулюванні Лагранжа нам не потрібно поняття сили. Натомість ми описуємо можливі «взаємодії» потенційною енергетичною функцією. Ось чому іноді можна почути, як фізики говорять про «слабку взаємодію» замість «слабкої сили», коли вони говорять про одну з чотирьох фундаментальних взаємодій (сил) Природи. Це пояснюється тим, що в сучасній формулюванні фізики не використовується поняття сили, а натомість думає про потенційні енергетичні функції для моделювання того, що ми б назвали силою в ньютонівському підході.

Еммі Нетер, математик на початку ХХ століття, довів теорему, яка робить формулювання Лагранжа особливо естетичним. Теорема Нетера стверджує, що для будь-якої симетрії в Лагранжа існує величина, яка зберігається. Наприклад, якщо Лагранж не залежить явно від часу, то зберігається величина, яку ми називаємо енергією ².

Лагранж, який ми мали вище для частинки, що рухається під впливом сили тяжіння, явно не залежав від часу, і, таким чином, енергія зберігається (гравітаційна потенційна енергія перетворюється в кінетичну енергію і немає неконсервативних сил). Якби Лагранж не залежав від позиції, то величина, яку ми називаємо «імпульсом» ³, була б збережена. При цьому імпульс у\(x\) напрямку не був збережений, оскільки Лагранж залежав\(x\) від потенційної енергії.

Думки Олівії

Ми побачили в цьому розділі, що описати системи з точки зору енергії часто простіше, ніж описувати їх з точки зору сил. Лагранж дає нам спосіб отримати ту саму інформацію, яку ми отримали б із законів Ньютона (наприклад, прискорення тощо), але використовуючи енергію як вихідну точку. Метод Лагранжа дійсно корисний, коли ми дивимося на рух у декількох вимірах або коли ми описуємо складні системи. Використання Лагранжа насправді дуже просто, і так само, як і з силами, ви можете в значній мірі підійти до кожної проблеми так само. Ось основні кроки, які слід виконати:

1. Знайдіть два вирази для вашої системи: один для потенційної енергії (\(U\)) і один для кінетичної енергії (\(K\)). Це часто закінчується найважчим кроком.

2. Запишіть лагранжа\(L=K-U\), використовуючи тільки що знайдені вирази.

3. Виберіть координату. (В одному вимірі це тривіально, але це буде важливо, як тільки ви почнете працювати в декількох вимірах). Рівняння Ейлера-Лагранжа було дано вам як:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x} = 0\end{aligned}\]

тому що ми працюємо в одному вимірі. Ви можете вибрати будь-яку координату, яка вас цікавить. Наприклад, якби вас зацікавив рух вашого об'єкта в\(y\) напрямку, ви б обрали\(y\) координату і написали:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial y} = 0\end{aligned}\]

4. Тепер вам просто потрібно зробити те, що рівняння вище говорить вам зробити, тобто почати з вашого Лагранжа (вашого\(L=K-U\) рівняння) і взяти купу похідних. Якщо ви спробуєте просто\(L\) підключитися до рівняння Ейлера-Лагранжа і зробити всі похідні відразу, це може заплутатися. Рекомендую знайти комплектуючі окремо. Мені подобається починати з взяття часткової похідної щодо швидкості\(\frac{\partial L}{\partial y}\), а потім взяття її похідної щодо часу. Далі я знаходжу,\(\frac{\partial L}{\partial y}\) а потім складаю все разом.

5. Ось і все! Коли ви взяли похідні (і трохи спростили), у вас буде «рівняння руху», яке дає вам інформацію про рух об'єкта. Потім ви можете використовувати це рівняння, як ви хочете!

Виноски

1. Інтеграл\(S\), називається «дією» системи.

2. Якщо Лагранж не залежить від часу, то ми можемо зрушити систему в часі, і рівняння руху не вплинули б. Ми говоримо, що Лагранж симетричний, або не впливає на зміни в часі.

3. Див. розділ 10