8.4: Енергетичні діаграми та рівноваги

Ми можемо записати механічну енергію об'єкта так:\[\begin{aligned} E = K + U\end{aligned}\] яка буде постійною, якщо немає неконсервативних сил, які виконують роботу над об'єктом. Це означає, що якщо потенційна енергія об'єкта збільшується, то його кінетична енергія повинна зменшитися на таку ж величину, і навпаки.

Розглянемо блок, який може ковзати по горизонтальній поверхні без тертя і який кріпиться до пружини, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) (ліва сторона), де\(x=0\) вибирається як положення, відповідне решті довжині пружини. Якщо натиснути на блок так, щоб стиснути пружину на відстань,\(D\) а потім відпустити її, блок спочатку прискорюється через силу пружини в позитивному\(x\) напрямку, поки блок не досягне положення спокою пружини (\(x=0\)на діаграма). Коли вона пройде цю точку, пружина буде чинити силу в зворотному напрямку. Блок буде тривати в тому ж напрямку і сповільнюватися, поки не зупиниться і не обернеться. Потім він знову прискориться до положення спокою пружини, а потім сповільниться, як тільки пружина знову почне стискуватися, поки блок не зупиниться і рух не повториться. Говоримо, що блок «коливається» вперед-назад про інше положення пружини.

Ми можемо описати рух блоку з точки зору його сумарної механічної енергії,\(E\). Його потенційна енергія задається:\[\begin{aligned} U(x)=\frac{1}{2}kx^2\end{aligned}\] Праворуч від малюнка\(\PageIndex{1}\) є «Енергетична діаграма» для блоку, яка дозволяє нам вивчити\(E\), як загальна енергія блоку ділиться між кінетичною та потенційною енергією залежно від положення блоку. Вертикальна вісь відповідає енергії, а горизонтальна вісь відповідає положенню блоку.

Загальна механічна енергія,\(E=\SI{25}{J}\), показана горизонтальною червоною лінією. Також проілюстровані потенційна енергетична функція (\(U(x)\)синім кольором) та кінетична енергія (\(K=E-U(x)\)пунктирним чорним кольором).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зліва: Блок коливається навколо решти положення пружини, між\(x = −D\) і\(x = D\). Праворуч: Енергетична діаграма для блоку. Ця схема для пружини з постійною пружини\(k = 1 \text{N/m}\).

Енергетична діаграма дозволяє описати рух об'єкта, прикріпленого до пружини, з точки зору енергії. Кілька речей, які слід зазначити:

1. При\(x=\pm D\), потенційна енергія дорівнює\(E\), тому кінетична енергія дорівнює нулю. Таким чином, блок миттєво знаходиться в стані спокою на цих позиціях.
2. При\(x=0\), потенційна енергія дорівнює нулю, а кінетична - максимальна. Це відповідає тому, де блок має найбільшу швидкість.
3. Кінетична енергія блоку ніколи не може бути негативною ¹, таким чином, блок не може бути розташований поза діапазоном\([-D,+D]\), і ми б сказали, що рух блоку «пов'язане». Точки, між якими пов'язаний рух, називаються «поворотними точками».

Аналіз енергетичної діаграми говорить нам, що блок пов'язаний між двома поворотними точками, які самі по собі рівновіддалені від початку. Коли ми спочатку стискаємо пружину, ми «віддаємо» блок «потенційної енергії пружини». Коли блок починає рухатися, потенційна енергія блоку перетворюється в кінетичну енергію, коли вона прискорюється, а потім повертається в потенційну енергію, коли вона сповільнюється.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розрахуйте положення поворотних точок для ситуації, наведеної на малюнку\(\PageIndex{1}\). Загальна енергія є\(25\text{ J}\) і постійна пружини є\(k=\SI{1}{N/m}\).

Відповідь

\(7.1\text{ m}\)

Дивлячись лише на потенційну енергетичну функцію, не знаючи, що вона пов'язана з пружиною, ми можемо прийти до тих самих висновків; а саме, що рух пов'язаний до тих пір, поки загальна механічна енергія не нескінченна. Ми називаємо точку «\(x=0\)стійкою рівновагою», оскільки вона є локальним мінімумом потенційної енергетичної функції. Якщо об'єкт зміщений з точки рівноваги, він захоче рухатися назад до цієї точки. Це можна зрозуміти і з точки зору сили, пов'язаної з потенційною енергетичною функцією:

\[\begin{aligned} F = -\frac{d}{dx}U(x)\end{aligned}\]

Локальний мінімум виникає там, де похідна потенційної функції дорівнює нулю. Таким чином, точка рівноваги задається умовою, що сила, пов'язана з потенціалом, дорівнює нулю (\(x=0\)в разі потенційної енергії від пружини). Рівновага - це стабільна рівновага, оскільки сила, пов'язана з функцією потенційної енергії (\(F(x)=-kx\)для пружини), вказує на точку рівноваги.

Потенційну енергетичну функцію для об'єкта із загальною механічною енергією\(E\), можна розглядати як маленькі «американські гірки», на які ви розміщуєте мармур і спостерігаєте, як він «скочується» потенційна енергетична функція. Ви можете подумати про розміщення мармуру там, де\(U(x)=E\) і звільнити його. Потім мармур скочується потенційна енергетична функція, так само, як фактичний мармур скочується вниз по реальному схилу, імітуючи рух об'єкта вздовж\(x\) осі. Це проілюстровано на малюнку,\(\PageIndex{2}\) який показує довільну потенційну енергетичну функцію та мармур, розміщений у місці, де потенційна енергія дорівнює\(E\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Довільна потенційна енергетична функція та ілюстрація візуалізації мармурової кочення функції шляхом розміщення мармуру на функції потенційної енергії в точці, де\(U(x) = E\).

Рух мармуру буде пов'язаний між двома точками, де функція потенційної енергії дорівнює\(E\). Коли мармур розміщений, як показано, він буде котитися вліво, так само, як якщо б це був справжній мармур на доріжці. Оскільки потенційна енергія збільшується як функція\(x\) в точці, де ми розмістили мармур, сила знаходиться в негативному\(x\) напрямку (пам'ятайте, сила є негативною від похідної потенційної енергетичної функції). З даною енергією мармур ніколи не зможе зробити його точковим\(D\), оскільки йому не вистачає енергії, щоб «піднятися на пагорб». Він буде котитися вниз, через точку\(C\), вгору до точки\(B\), вниз до точки\(A\), а потім повернути навколо, де\(U(x)=E\) і повернутися туди, де вона почалася.

Місця\(A\) та\(C\) на діаграмі є стабільними рівновагами, тому що якщо мармур розміщений в одному з цих місць і трохи підштовхне, він повернеться до точки рівноваги (або коливається навколо цієї точки). Точки\(B\) і\(D\) є «нестійкими рівновагами», тому що якщо мармур поміщений туди і підштовхне, він не відразу повернеться до цих точок. Зверніть увагу, що якби мармур був розміщений у точці\(D\) і підштовхнув праворуч, рух мармуру буде незв'язаним праворуч, і він продовжував би рухатися в цьому напрямку.

Тепер, скажімо, потенційна енергія об'єкта описується функцією на малюнку\(\PageIndex{2}\), і об'єкт має загальну енергію\(E\). Рух об'єкта вздовж\(x\) осі буде точно таким же, як і проекція руху мармуру на\(x\) вісь.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

А сила,\(F(x)\), acts on an object. The potential energy function, \(U(x)\), associated with the force is given by \(U(x)=a(x-6)^2(x-1)(x-3)+\SI{20}{J}\), where \(a\) is a positive constant. \(U(x)\) is plotted in Figure \(\PageIndex{3}\). Use the “marble” method to determine the direction of the force at \(x=5\). Confirm your answer by finding the value of the force , \(F(x)\), at \(x=5\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Функція потенційної енергії\(U(x)\). \(x\)-вісь представляє\(x\) положення, а\(y\) -вісь представляє енергію.

1. \(F(x=5)=-10a\)
2. \(F(x=5)=10a\)
3. \(F(x=5)=20a\)
4. \(F(x=5)=-20a\)

Відповідь

Виноски

1. Пам'ятайте, кінетична енергія дається\(K = \frac{1}{2}mv^{2}\). Оскільки ні маса, ні величина не\(v^{2}\) можуть бути негативними, кінетична енергія об'єкта ніколи не може бути негативною.