8.2: Потенційна енергія

У цьому розділі ми введемо поняття «потенційна енергія». Потенційна енергія - це скалярна функція положення, яка може бути визначена для будь-якої консервативної сили таким чином, щоб полегшити обчислення роботи, виконаної цією силою на будь-якому шляху. Оскільки робота, виконана консервативною силою при переході з позиції\(A\) на позицію, залежить\(B\) не від конкретного пройденого шляху, а лише від кінцевих точок, ми можемо написати роботу, виконану консервативною силою в плані «потенційної енергетичної функції», \(U(\vec r)\), які можуть бути оцінені в кінцевих точках:

\[-W=-\int_{A}^{B} \vec F (\vec r )\cdot d\vec l =U(\vec r_{B} )-U(\vec r_{A})=\Delta U\]

де ми вирішили визначити функцію\(U(\vec r)\) так, щоб вона стосувалася негативу виконаної роботи з причин, які будуть очевидні в наступному розділі. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показаний приклад довільного шляху між двома точками\(A\) і\(B\) в двох вимірах, для якого можна було б обчислити роботу, виконану консервативною силою, використовуючи потенційну енергетичну функцію.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація розрахунку роботи, виконаної консервативною функцією по довільному шляху шляхом прийняття різниці потенційної енергії, оціненої в двох кінцевих точках,\(−W = U(\vec r_{B}) − U(\vec r_{A})\).

Як тільки ми дізнаємося функцію потенційної енергії\(U(\vec r)\), ми можемо обчислити роботу, виконану пов'язаною силою по будь-якому шляху. Для того щоб визначити функцію\(U(\vec r)\), ми можемо обчислити роботу, яка виконується по шляху, по якому інтеграл для роботи легко (як правило, пряма лінія).

Наприклад, біля поверхні Землі сила тяжіння на об'єкт маси\(m\), задається:

\[\begin{aligned} \vec F_g = -mg \hat z\end{aligned}\]

де ми визначили\(z\) вісь, щоб бути вертикальною і позитивною вгору. Ми вже показали в прикладі 8.1.1, що ця сила є консервативною і що таким чином ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію. Для цього ми можемо обчислити роботу, виконану силою тяжіння по прямому вертикальному шляху, від положення\(A\) до положення\(B\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Вертикальний шлях для обчислення слова, зробленого гравітацією.

Робота, виконана гравітацією з положення\(A\) в положення\(B\), це:

\[\begin{aligned} W &= \int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &= \int_{z_A}^{z_B} ( -mg \hat z) \cdot (dz \hat z) \\ &= -mg \int_{z_A}^{z_B} dz\\ &= -mg(z_B-z_A) \end{aligned}\]

За допомогою огляду ми тепер можемо визначити функціональну форму потенційної енергетичної функції,\(U(\vec r)\).

Ми вимагаємо, щоб:

\[\begin{aligned} -W &= U(\vec r_B) - U(\vec r_A) = U(z_B) - U(z_A)\end{aligned}\]

де ми замінили вектор положення\(\vec r\), з\(z\) координатою, так як це одновимірна ситуація. Тому:

\[\begin{aligned} -W=mg(z_B-z_A)&= U(z_B) - U(z_A)\\ \therefore U(z) &= mgz + C\end{aligned}\]

і ми з'ясували, що для сили тяжіння біля поверхні Землі можна визначити потенційну енергетичну функцію (шляхом огляду),\(U(z) = mgz +C\).

Важливо відзначити, що, оскільки при розрахунку виконаної роботи має значення лише різниця в потенційній енергії, функція потенційної енергії може мати довільну константу\(C\), що додається до неї. Таким чином, значення потенційної енергетичної функції безглуздо, і тільки відмінності в потенційній енергії мають сенс і пов'язані з роботою, виконаною над об'єктом. Іншими словами, не має значення, де потенційна енергія дорівнює нулю, і вибираючи\(C\), тому ми можемо вибрати зручне місце, де потенційна енергія дорівнює нулю.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Коли ми знайшли роботу, виконану гравітацією, ми визначили позитивний\(z\) to be upwards. If we instead chose positive \(z\) to be downwards, how would the potential energy function be defined?

1. Потенційна енергетична функція була б такою ж,\(U(z)=mgz+C\).
2. Потенційна енергетична функція була б такою ж, але негативною,\(U(z)=-mgz+C\)

Відповідь

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Чи може об'єкт мати негативну потенційну енергію?

1. Так
2. Ні

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Розрахуйте роботу, виконану силою тяжіння, коли коробка маси,\(m\), is moved from the ground up onto a table that is a distance \(L\) away horizontally and \(H\) vertically, as illustrated in Figure \(\PageIndex{3}\). How much work must be done by a person moving the box?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Коробка переміщена з групи вгору на стіл.

Рішення:

Оскільки сила тяжіння консервативна, ми можемо використовувати потенційну енергетичну функцію, задану:

\[\begin{aligned} U(z)=mgz+C\end{aligned}\]

розрахувати роботу, виконану силою тяжіння при переміщенні коробки. Робота, виконана гравітацією, буде залежати тільки від зміни висоти\(H\), оскільки потенційна енергетична функція залежить тільки від\(z\) координати об'єкта. Ми можемо вибрати походження нашої системи координат, щоб бути землею, і вибрати постійну\(C=0\), так що функція потенційної енергії в початковому положенні коробки:

\[\begin{aligned} U(z_A=0) = mg(0)= 0\end{aligned}\]

Функція потенційної енергії, коли коробка знаходиться на столі, з\(z=H\), задається:

\[\begin{aligned} U(z_B=H) = mgH\end{aligned}\]

Зміна потенційної енергії,\(\Delta U = U(z_B) - U(z_A)\) дорівнює негативу роботи, виконаної гравітацією. Робота, виконана самопливом\(W_g\), полягає таким чином:

\[\begin{aligned} -W_g &= U(z_B) - U(z_A) = mgH - 0\\ \therefore W_g &= -mgH\end{aligned}\]

що те саме, що ми знайшли в прикладі 7.1.3 глави 7. Робота, виконана гравітацією, негативна, як ми з'ясували раніше. Це має сенс, оскільки гравітація має компонент, протилежний напрямку руху.

Роботу, виконану людиною\(W_p\), для переміщення коробки можна легко знайти, розглянувши чисті роботи, виконані на коробці. Поки коробка рухається, тільки людина і гравітація чинять сили на коробку, тому це єдині дві сили, що виконують роботу. Оскільки коробка починається і закінчується в спокої, то чиста робота, виконана на коробці, повинна дорівнювати нулю (без зміни кінетичної енергії, нагадаємо теорему «Робота-енергія»):

\[\begin{aligned} W^{net} = 0 &= W_g + W_p\\ \therefore W_p &= -W_g = mgH\end{aligned}\]

Обговорення:

Ми виявляємо, що людині довелося робити позитивну роботу, що має сенс, оскільки їм довелося чинити силу з компонентом у напрямку руху (вгору). Також цікаво відзначити, що не має значення, чи надавала людина постійну силу, чи змінювала вона силу, яку вони надавали на коробку, коли рухала її: обсяг роботи, виконаної людиною, фіксується як негативний від роботи, виконаної гравітацією.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Сила, що чиниться пружиною, яка подовжується або стискається на відстань,\(x\), is given by Hookes’ Law:

\[\begin{aligned} \vec F(x) = -k x\hat x\end{aligned}\]

де\(x\) axis is defined to be co-linear with the spring and the origin is located at the rest position of the spring. Show that the force exerted by the spring onto an object is conservative and determine the corresponding potential energy function.

Рішення:

Оскільки сила залежить від положення, вона може бути консервативною, яку ми можемо перевірити за допомогою умов з Рівняння 8.1.3, 8.1.4, 8.1.5:

\[\begin{aligned} \frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z} &= 0 - 0 &= 0\\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial z}(-kx)) - 0&= 0\\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y} &= 0 - \frac{\partial}{\partial y}(-kx)) &=0\end{aligned}\]

і сила дійсно консервативна. Щоб визначити потенційну енергетичну функцію, розрахуємо роботу, виконану пружиною з положення\(x_A\) в положення\(x_B\):\[\begin{aligned} W &=\int_A^B \vec F(\vec r) \cdot d\vec l\\ &=\int_{x_A}^{x_B} (-kx\hat x) \cdot dx \hat x\\ &=\int_{x_A}^{x_B} (-kx)dx=\left[-\frac{1}{2}kx^2 \right]_{x_A}^{x_B}\\ &=-\left( \frac{1}{2}kx_B^2-\frac{1}{2}kx_A^2 \right)\end{aligned}\] Знову ж таки, порівнюючи з:\[\begin{aligned} -W &= U(\vec r_B) - U(\vec r_A) = U(x_B) - U(x_A)\end{aligned}\] Ми можемо визначити потенційну енергію для пружини:\[\begin{aligned} U(x) = \frac{1}{2}kx^2 + C\end{aligned}\] де, в загальному, постійна \(C\)може приймати будь-яке значення. Якщо вибирати\(C=0\), то потенційна енергія дорівнює нулю, коли пружина знаходиться в стані спокою, хоча не важливо, який вибір зроблений. Відзначимо, що в одному вимірі потенційна енергетична функція є негативом антипохідної функції, яка дає\(x\) складову сили.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Консервативна сила діє на об'єкт, який спочатку знаходиться в стані спокою. Ніякі інші сили не діють на об'єкт. Чи рухається об'єкт таким чином, що збільшує його потенційну енергію або зменшує його потенційну енергію?

1. Збільшується.
2. Зменшується.
3. Це залежить від вибору\(C\) відповідної потенційної енергії.

Відповідь

Відновлення сили від потенційної енергії

З огляду на (скалярну) потенційну енергетичну функцію\(U(\vec r)\), можна визначити (вектор) силу, яка з нею пов'язана. Візьмемо, наприклад, потенційну енергію від пружини (приклад 8.2.2):\[\begin{aligned} U(x) = \frac{1}{2}kx^2 + C\end{aligned}\] Як ви пам'ятаєте з прикладу 8.2.2, щоб знайти цю функцію (в одному вимірі), ми взяли\(x\) складову сили пружини і (ефективно) знайшли негатив її антипохідної , яку ми визначили як потенційну енергетичну функцію:\[\begin{aligned} F(x) &= -kx\\ U(x) &= -\int F(x) dx = \int (kx) dx = \frac{1}{2}kx^2+C\\ \therefore F(x) &= -\frac{d}{dx}U(x)\end{aligned}\] Таким чином, силу можна отримати з негативу потенційної енергетичної функції, взявши її похідну щодо положення.

У трьох вимірах ситуація схожа, хоча потенційна енергетична функція (і компоненти вектора сили), як правило, залежатимуть від усіх трьох координат положення,\(x\),\(y\), і\(z\). У трьох вимірах три складові вектора сили задаються шляхом прийняття градієнта негативної потенційної енергетичної функції ¹:

\(\vec F(\vec r )=-\vec\nabla U(\vec r)=-\vec\nabla U(x,y,z)\)

\[\therefore F_{x}(x,y,z) =-\frac{\partial}{\partial x} U(x,y,z)\]

\[\therefore F_{y}(x,y,z) =-\frac{\partial}{\partial y} U(x,y,z)\]

\[\therefore F_{z}(x,y,z) =-\frac{\partial}{\partial z} U(x,y,z)\]

Виноски

1. Як ви пам'ятаєте з Додатка В, градієнт - це вектор, який вказує на напрямок максимального збільшення багатоваріативної функції.