7.6: Вибіркові проблеми та рішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Лижний трамплін може моделюється як пандус висоти\(h=5\text{m}\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Місце посадки знаходиться на тій же висоті, що і дно пандуса. Лижник маси\(m=80\text{kg}\) рухається зі швидкістю,\(v_i=15\text{m/s}\) коли вони досягають дна пандуса. Коли лижник приземляється стрибок, їх швидкість вимірюється, щоб бути\(v_f=12\text{m/s}\). Ігноруйте опір повітря.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Людина маси\(m\) сходить з трампліна висоти\(h\).

1. Яка швидкість лижника в ту мить, коли вони залишають трамплін, на вершині рампи?
2. Використовуйте відповідь з частини (а), щоб знайти роботу, виконану тертям тертя між пандусом і лижником.

Відповідь

Почнемо з визначення системи координат. Ми вибираємо\(x\) вісь горизонтальною та позитивною у напрямку руху, і вибираємо\(y\) вісь вертикальною, а позитивний напрямок вгору.

Визначимо швидкість у верхній частині пандуса\(v_t\), використовуючи теорему «Робота-Енергія»:

\ begin {align*} W^ {net} =\ розриву {1} {2} mv_f^2-\ розриву {1} {2} mv_t^2\ end {align*}

де\(W^{net}\) проводиться чиста робота на лижника, як вони «літають» по повітрю. Поки лижник знаходиться в повітрі, єдиною силою, що діє на них, є гравітація,\(\vec F=-mg\hat y\). Шляхи лижника - парабола, так що вектор зміщення безперервно змінює напрямок.

Роботу, виконану самопливом, дають:

\ почати {вирівнювати*} W =\ int\ vec f_g\ cdot d\ vec l\ end {вирівнювати*}

де\(d\vec l\) - нескінченно мале зсув по траєкторії, як показано на рис\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Нескінченно мале зміщення по траєкторії стрибка.

Вектор зміщення матиме\(x\) і\(y\) складові:

\ begin {вирівнювати*} d\ vec l = dx\ капелюх х + ди\ hat y\ end {вирівнювати*}

Скалярний добуток з силою тяжіння таким чином:

\ почати {вирівнювати*}\ vec f_g\ cdot d\ vec l &= (-мг\ hat y)\ cdot (дх\ капелюх х + ди\ капелюх у) = -mgdy\ end {align*}

Таким чином, робота, виконана гравітацією, може бути перетворена в інтеграл над\(y\) (для якого ми знаємо початкові та кінцеві значення), і задається:

\ почати {вирівнювати*} W =\ int\ vec f_g\ cdot d\ vec l =\ int_h^0 -mgdy = [-mgy] _h^0 = mgh\ end {align*}

Робота, виконана гравітацією, є позитивною, що має сенс, оскільки сила тяжіння, як правило, знаходиться в тому ж напрямку, що і зміщення мережі (вниз). Нам не потрібно було враховувати конкретну форму траєкторії, тому що сила була постійною за величиною і напрямком (див. Приклад 7.1.4).

Тепер ми можемо знайти швидкість лижника, коли вони залишають стрибок, використовуючи теорему Робота-Енергія:

\ почати {вирівнювати*} W^ {net} &=\ розрив {1} {2} mv_f^2-\ розрив {1} {2} mv_t^2\\ mgh &=\ розрив {1} {2} mv_f^2-\ frac {1} {2} mv_t^2\\ тому v_t&=\ sqrt {v_f^2} 2-2gh} =\ sqrt {(12\ текст {м/с}) ^2 - 2 (9.8\ текст {м/с} ^ {2}) (5\ текст {m})} =6.8\ текст {м/с}\ кінець {вирівнювати*}

б Ми можемо знову використовувати теорему «Робота-Енергія» для визначення роботи, виконаної тертям, коли лижник ковзає вгору по рампі. Ми знаємо, що швидкість лижника внизу пандуса є\(v_i\), і ми просто виявили, що швидкість лижника у верхній частині пандуса є\(v_t=\sqrt{v_f^2-2gh}\). Чиста робота, виконана на лижника, що йде вгору по рампі, дорівнює:

\ почати {вирівнювати*} W^ {net} &=\ розрив {1} {2} mv_t^2-\ розрив {1} {2} mv_i ^ 2\ &=\ розрив {1} {2} м (v_t^2-v_i^2) =\ розрив {1} {2} м (v_f^2-2gh -v_i^2)\\ &=\ гідророзриву {1} {2} м (v_f^2-v_i^2) -mgh\ end {align*}

Чиста робота, виконана також сума роботи, виконаної кожною з сил, що діють на лижника, коли вони ковзають вгору по рампі. Сили на лижника - це сила тяжіння, сила тертя і нормальна сила. Нормальна сила не працює, так як завжди перпендикулярна зміщенню. Чиста робота - це, таким чином, сума роботи, виконаної силою тяжіння\(W_g\), і роботи, виконаної силою тертя\(W_f\), над зміщенням, відповідним довжині пандуса:

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} =W_G+W_F\ end {вирівнювати*}

Робота, виконана самопливом, це:

\ begin {align*} W_G =\ vec F_g\ cdot\ vec d = (-мг\ капелюх у)\ cdot (d_x\ капелюх х + ч\ капелюх у) = -mgh\ end {align*}

де\(\vec d\) - вектор переміщення вгору по пандусу (невідома горизонтальна відстань\(d_x\), і вертикальна відстань,\(h\)). Тепер ми можемо визначити виконану роботу по силі тертя:

\ begin {align*} W^ {net} &=W_G+W_F\\\ гідророзриву {1} {2} м (v_f^2-v_i^2) -мгх &= -мгх + W_F\\\ тому W_F &=\ розрив {1} {2} м (v_f^2-v_i^2) =\ frac {1} {2} (80\ текст {кг}) ((12\ текст {м/с}) ^2- (15\ текст {м/с}) ^2) ^2) =-3240\ текст {J}\ end {align*}

І ми виявляємо, що сила тертя зробила негативну роботу (вона зменшила кінетичну енергію лижника).

Обговорення:

Протягом стрибка лижник почав в нижній частині рампи з заданою кінетичною енергією, потім втратив частину цієї енергії, що йде вгору по рампі (у вигляді втрати на тертя і негативної роботи, виконаної гравітацією). Під час повітряної фази гравітація зробила позитивну роботу, і лижник повернув частину кінетичної енергії, яку вони втратили, піднімаючись по рампі. Таким чином, чиста робота, виконана силою тертя, - це різниця кінетичних енергій між кінцевою точкою посадки і початком рампи, оскільки тертя є єдиною силою, яка зробила чисту кількість (негативну) роботу по всій траєкторії (гравітація не робила чистої роботи по всій траєкторії). Цей приклад показує, як ми можемо почати думати про енергію як про щось «збережене», що ми розглянемо більш детально в наступному розділі.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Дитина маси\(m\) сидить на гойдалках довжини\(L\), як на рис\(\PageIndex{3}\). Ви штовхаєте дитину з горизонтальною силою\(\vec F\). Ви застосовуєте силу таким чином, щоб дитина рухалася з постійною швидкістю (врахуйте, що не\(\vec F\) матиме постійної величини).}

1. Скільки роботи ви робите, щоб перемістити дитину з\(\theta=0\) на\(\theta=\theta_1\)?
2. Використовуйте докладну схему, щоб показати, що виконана робота\(\vec F\) дорівнює\(h\) тому\(mgh\), де відбувається зміна зросту дитини.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Дитина на гойдалках штовхається від\(θ = 0\) до\(θ = θ_{1}\) з постійною швидкістю з горизонтальною силою,\(\vec F\).

Відповідь

а. ми хочемо знайти роботу, виконану прикладеною силою\(\vec F\). Спочатку потрібно знайти вираз для величини\(\vec F\), виходячи з того, що дитина не прискорюється. Сили на дитину складають:

• \(\vec F_g\), Їх вага, з величиною\(mg\).
• \(\vec F_T\), Натяг в мотузці, яке змінюється з кутом,\(\theta\).
• \(\vec F\), Змінюється прикладена сила, яка змінюється за величиною в міру кута.\(\theta\)

Сили проілюстровані на рис\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Діаграма вільного тіла сил, що чинилися на дитину.

Дитина рухається з постійною швидкістю, тому чиста сила дорівнює нулю. Сума\(x\) і\(y\) складових сил дорівнює нулю (Другий закон Ньютона):

\ begin {align*}\ сума F_x &= F-F_T\ sin\ тета = 0\\\ сума F_y &= F_T\ cos\ тета -мг = 0\ кінець {align*}

Перестановка цих рівнянь дає:

\ begin {align*} F & = F_T\ sin\ тета\\ mg&= F_t\ cos\ тета\ кінець {align*}

Ми хочемо, щоб вираз для\(F\) цього не залежить\(F_T\) (оскільки\(F_T\) невідомо), тому ми можемо розділити одне рівняння на інше:

\ begin {align*}\ frac {F} {mg} &=\ frac {F_T\ sin\ theta} {F_T\ cos\ theta} =\ тан\ тета\\ тому F (\ тета) &= мг\ тан\ тета\ кінець {align*}

де ми вказали, що сила\(\vec F(\theta)\) залежить від кута\(\theta\). Робота, виконана силою\(\vec F\), дається:

\ begin {align*} W_F=\ int_a^b\ vec F (\ тета)\ cdot d\ vec l\ end {align*}

\(d\vec l\)є «елементом шляху» уздовж частини дуги кола, по якій рухається дитина, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). У нас є вираз для того, як\(\vec F\) змінюється величина як функція кута\(\theta\), і таким чином було б зручно виконувати інтеграл над кутом\(\theta\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Елемент шляху по круговій траєкторії гойдалки.

Ми можемо використовувати полярну координату\((r,\theta)\), замість декартових координат для опису вектора переміщення,\(d\vec l\). Якщо вектор підтягує дугу на коло, яка робить нескінченно малий кут\(d\theta\), як показано на ілюстрації, то довжина вектора\(d\vec l\) задається:

\ begin {вирівнювати*} дл = L d\ тета\ кінець {align*}

де\(L\) - радіус кола. Вектор\(d\vec l\) робить кут\(\theta\) з горизонталлю, а отже і з вектором,\(\vec F\). Таким чином, крапковий добуток між\(\vec F\) і\(d\vec l\) може бути записаний як:

\ почати {вирівнювати*}\ vec F (\ тета)\ cdot d\ vec l = Fdl\ cos\ theta= (мг\ тан\ тета) (Ld\ тета)\ cos\ theta = mgL\ sin\ тета д\ тета\ кінець {align*}

Тепер ми можемо написати інтеграл для роботи, використовуючи обмеження, які засновані на куті\(\theta\), від\(\theta=0\) до\(\theta=\theta_1\):

\ begin {align*} W&=\ int_0^ {\ theta_1} mGL\ sin\ тета д\ тета\\ &=mGL [-\ cos\ тета] _0^ {\ theta_1} =mGL (1-\ cos\ theta_1)\ end {align*}

б. ми знаємо, що робота,\(\vec F\) виконана нами\(W=mgL(1-\cos\theta_1)\). Отже, ми хочемо довести, що\(L(1-\cos\theta_1)\) дорівнює\(h\). Розширення\(L(1-\cos\theta_1)\) дає:

\ begin {вирівнювати*} L (1-\ cos\ theta_1) &=L-L\ cos\ theta_1\ end {align*}

Це можна проілюструвати на схемі, як на малюнку\(\PageIndex{6}\), де показано, що\(h\) дорівнює\(L-L\cos\theta\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Діаграма, що показує геометрію задачі.

Обговорення:

Чиста сила, що діє на масу, дорівнює нулю, тому чиста робота повинна дорівнювати нулю. Дві сили, які працюють на масі, - це прикладена сила\(\vec F\), і сила тяжіння. Робота виконується прикладеною силою якщо\(mgh\), значить, робота, виконана самопливом, повинна бути\(-mgh\).