7.2: Кінетична енергія та теорема робочої енергії

У цей момент вам повинно бути зручно розраховувати чисту роботу, виконану над об'єктом, на який чиниться кілька сил. Як ми бачили в попередньому розділі, чиста робота, виконана над об'єктом, пов'язана з прискоренням об'єкта; якщо чиста сила на об'єкті дорівнює нулю, то виконана чиста робота і прискорення також дорівнюють нулю. У цьому розділі ми виведемо нову величину, кінетичну енергію, яка дозволяє зв'язати виконану роботу над об'єктом зі зміною його швидкості. Це дозволить описати рух, використовуючи тільки скалярні величини. Як і визначення роботи, наступне похідне, здається, «виходить з повітря». Однак пам'ятайте, що теоретики спробували всілякі математичні прийоми, щоб переформулювати теорію Ньютона, і це та, яка спрацювала.

Розглянемо найбільш загальний випадок об'єкта маси, на який\(m\) діє чиста сила\(\vec F^{net}(\vec r)\), яка може змінюватися за величиною і напрямком. Ми хочемо обчислити чисту роботу, виконану над об'єктом, коли він рухається по довільному шляху між двома точками,\(A\) і\(B\), в просторі, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Миттєве прискорення об'єкта\(\vec a\),, відображається разом з «елементом шляху»,\(d\vec l\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Об'єкт, що рухається по довільному шляху між точками\(A\) і на\(B\) який діє чиста сила\(\vec F^{net}\).

Чиста робота, виконана над об'єктом, може бути записана:

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} =\ int_a^b F^ {net} (\ vec r)\ cdot d\ vec l\ end {align*}

і взагалі є складним інтегралом для оцінки довільного шляху. Наша мета полягає в тому, щоб знайти спосіб оцінити цей інтеграл шляхом знаходження функції\(K\), з властивістю, яка:

\ begin {align*}\ int_a^b F^ {net} (\ vec r)\ cdot d\ vec l =K_B - K_A\ end {align*}

Тобто нам залишиться тільки оцінити\(K\) в кінцевих точках шляху, щоб визначити значення інтеграла. Таким чином, функція\(K\) схожа на антипохідну.

Для того щоб визначити форму для функції\(K\), почнемо з того, що, використовуючи Другий закон Ньютона, ми можемо написати інтеграл для роботи в плані прискорення об'єкта:

\ почати {вирівнювати*}\ сума\ vec F &=\ vec F^ {net} = м\ vec a\\ тому\ int_a^b F^ {net} (\ vec r)\ cdot d\ vec l &=\ int_a^b м\ vec a\ cdot d\ vec l = м\ int_a^b\ vec a\ cdot d\ кінець {align*}

де ми припустили, що маса об'єкта не змінюється вздовж шляху і, таким чином, може бути врахована з інтеграла. Розглянемо скалярний добуток прискорення\(\vec a\), і елемент шляху\(d\vec l=dx\hat x +dy\hat y + dz\hat z\), записаний через вектор швидкості:

\ begin {align*}\ vec a & =\ frac {d\ vec v} {dt}\\\ тому\ vec a\ cdot d\ vec l &=\ frac {d\ vec v} {dt}\ cdot d\ vec l\\ =\ лівий (\ frac {dv_x} {dt}\ hat x+\ frac {dv_y} {dt} +\ FRAC {dv_z} {dt}\ капелюх з\ право)\ cdot (дх\ капелюх х +ди\ капелюх у + дз\ капелюх z)\\ &=\ FRAC {dv_x} {dt} dx+\ frac {dv_y} {dt} dy+\ frac {dv_z} {dt} dz\ кінець {вирівнювати*}

Будь-який з членів суми може бути перебудований так, щоб похідна за часом діяла на елемент шляху (\(dx, dy\), або\(dz\)) замість швидкості, наприклад:

\ begin {align*}\ розриву {dv_x} {dt} dx =\ розриву {dx} {DT} dv_x\ end {align*}

де ми це визнаємо\(\frac{dx}{dt} = v_x\). Таким чином, ми можемо записати скалярний добуток між вектором прискорення та елементом шляху як:

\ почати {align*}\ vec a\ cdot d\ vec l&=\ frac {dv_x} {dt} dx+\ frac {dv_y} {dt} dy+\ frac {dt} {dt} {DT} дв_з\\ &=v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z\ end {align*}

Інтеграл для виконаної роботи мережі можна записати як:

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} &=\ int_a^b F^ {net} (\ vec r)\ cdot d\ vec l =м\ int_a^b (v_xdv_x+ v_ydv_y + v_zdv_y + v_zdv_z)\\ &= м\ int_a^b v_x_x+m\ int_a^b dv_y + м\ int_a^b v_zdv_z\ end {align*}

що відповідає сумі трьох інтегралів над трьома незалежними складовими вектора швидкості. Компонентами вектора швидкості є функції, які змінюються по шляху і мають фіксовані значення в будь-якому кінці шляху. Нехай вектор швидкості об'єкта в точці\(A\) бути\(\vec v_A=(v_{Ax}, v_{Ay}, v_{Az})\) і вектор швидкості в точці\(B\) бути\(\vec v_B=(v_{Bx}, v_{By}, v_{Bz})\). Інтеграл над, скажімо,\(x\) складовою швидкості є тоді:

\ почати {вирівнювати*} м\ int_a^b v_xdv_x &= м\ int_ {v_ {Ax}} ^ {v_ {Bx}} v_xdv_x= м\ лівий [\ frac {1} {2} v_x^2\ праворуч] _ {v_ {Ax}} ^ {v_ {Bx}}\\ &=\ frac 1} {2} м (v_ {Bx} ^2-v_ {Ax} ^2)\ end {вирівнювати*}

Таким чином, ми можемо написати інтеграл чистої роботи як:

\ begin {align*} W^ {net} &= м\ int_a^b v_xdv_x+м\ int_a^b v_ydv_y + м\ int_a^b v_zdv_z\\ &=\ frac {1} {2} м (v_ {Вх} ^2-v_ {Ax} ^2) +\ frac {1} {2}} м (v_ {By} ^2-v_ {Ай} ^2) +\ розриву {1} {2} м (v_ {Bz} ^2-v_ {Az} ^2)\\ &=\ розриву {1} {2} м (v_ {Bx} ^2+v_ {За} ^2+v_ {Bz} ^2) -\ frac {1} {2} м (v_ {Ax} ^2+v_ {Ай} ^2+v_ {Az} ^2)\\ &=\ гідророзриву {1} {2} mv_b^2 -\ гідророзриву {1} {2} mv_a^2\ end {align*}

де ми визнали, що величина (в квадраті) швидкості задається\(v_A^2 = v_{Ax}^2+v_{Ay}^2+v_{Az}^2\). Таким чином, ми досягли бажаного результату; а саме, ми знайшли функцію швидкості\(K(v)\), яка при оцінці в кінцевих точках шляху дозволяє нам обчислити чисту роботу, виконану над об'єктом над цим шляхом:

\[K(v)=\frac{1}{2}mv^{2}\]

Тобто, якщо ви знаєте швидкість на початку шляху\(v_A\), і швидкість в кінці шляху, то чиста робота\(v_B\), виконана над об'єктом по шляху між\(A\) і\(B\) задається:

\[W^{net}=\Delta K=K(v_{B})-K(v_{a})\]

\(K(v)\)Називаємо «кінетичну енергію» об'єкта. Можна сказати, що чиста робота, виконана над об'єктом, що йде від\(A\) до,\(B\) дорівнює його зміні кінетичної енергії (кінцева кінетична енергія мінус початкова кінетична енергія). Важливо зазначити, що ми визначили кінетичну енергію таким чином, щоб вона дорівнювала виконаній чистій роботі. Можливо, ви вже бачили кінетичну енергію з минулих вступів до фізики як величину, яка щойно задана; тут ми замість цього вивели функцію, яка має бажану властивість дорівнювати виконаній роботі мережі і назвали її «кінетичною енергією».

Зв'язок між виконаною чистою роботою та зміною кінетичної енергії називається «Теорема робота-енергія» (або Принцип роботи-енергії). Це зв'язок, який ми шукали між динамікою (силами, з яких ми розраховуємо роботу) і кінематикою (зміна кінетичної енергії). На відміну від Другого закону Ньютона, який пов'язує дві векторні величини (векторну суму сил і вектор прискорення), Теорема Робота-Енергія пов'язує дві скалярні величини один з одним (робоча і кінетична енергія). Хоча ми ввели кінетичну енергію як спосіб обчислення інтеграла для чистої роботи, якщо знати значення чистої роботи, виконаної над об'єктом, то теорема «Робота-Енергія» може бути використана для обчислення зміни швидкості об'єкта.

Найголовніше, теорема «Робота-Енергія» вводить поняття «енергія». Як ми побачимо в наступних розділах, крім роботи та кінетичної енергії існують інші форми енергії. Теорема Робота-Енергія є відправною точкою для ідеї про те, що ви можете перетворити одну форму енергії в іншу. Теорема робота-енергія розповідає нам, як сила, виконуючи роботу, може забезпечити кінетичну енергію об'єкту або видалити кінетичну енергію з об'єкта.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Чиста робота\(W\) була зроблена на об'єкті маси\(m\), який розпочався в стані спокою. Яка швидкість руху об'єкта після виконання робіт на об'єкті?

Рішення:

Використання теореми «Робота-енергія»:

\ begin {align*} W =\ розриву {1} {2} mv_f^2 -\ гідророзриву {1} {2} mv_i^2\ end {align*}

де\(v_i\) - початкова швидкість об'єкта і його\(v_f\) кінцева швидкість. Оскільки початкова швидкість дорівнює нулю, ми можемо легко знайти кінцеву швидкість:

\ почати {вирівнювати*} v_f =\ sqrt {\ frac {2W} {m}}\ end {align*}

Приклад\(\PageIndex{2}\)

До вільного кінця горизонтальної пружини притискається блок з постійною пружини\(k\), щоб стиснути пружину на відстань\(D\) щодо її довжини спокою, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Інший кінець пружини кріпиться до стіни.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Блок притискається до горизонтальної пружини так, щоб стиснути пружину на відстань\(D\) relative to its rest length.

Якщо блок звільнений від спокою і немає тертя між блоком і горизонтальною поверхнею, яка швидкість блоку при виході з пружини?

Рішення:

Це та сама проблема, яку ми представили в главі 6 у прикладі 6.2.2, де ми розв'язали диференціальне рівняння, щоб знайти швидкість.

Нашим першим кроком є обчислення чистої роботи, виконаної над об'єктом у переході від\(x=-D\) до\(x=0\) (що відповідає тому, коли об'єкт залишає пружину, як обговорюється в прикладі 6.2.2). Сили на об'єкт складають:

1. \(\vec F_g\), Його вага, з величиною\(mg\).
2. \(\vec N\), Нормальна сила, що чиниться землею.
3. \(\vec F(x)\), Сила від пружини, з величиною\(kx\).

І нормальна сила, і вага перпендикулярні зміщенню, тому вони не зроблять ніякої роботи. Таким чином, виконана чиста робота - це робота, виконана пружиною, яку ми розрахували в прикладі 7.1.1, щоб бути:

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} = W_F =\ гідророзриву {1} {2} kd^2\ end {align*}

За теоремою Робота-Енергія це дорівнює зміні кінетичної енергії. Відзначивши, що об'єкт розпочався в стані спокою (\(v_i=0\)),\(v_f\) кінцева швидкість виявляється такою:

\ begin {align*} W^ {net} &=\ розрив {1} {2} mv_f^2 -\ розрив {1} {2} mv_i^2 =\ гідророзриву {1} {2} mv_f^2 - 0\\ frac {1} {2} kd^2 &=\ гідророзриву {1} {2} mv_f^2\\ тому v_f &=\ sqrt {\ frac {kd^2} {м}}\ кінець {вирівнювати*}

Приклад\(\PageIndex{3}\)

До вільного кінця горизонтальної пружини притискається блок з постійною пружини\(k\), щоб стиснути пружину на відстань\(D\) щодо її довжини спокою, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\). Інший кінець пружини кріпиться до стіни.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Блок притискається до горизонтальної пружини так, щоб стиснути пружину на відстань\(D\) щодо її довжини спокою.

Якщо блок звільнений від спокою і коефіцієнт кінетичного тертя між блоком і горизонтальною поверхнею дорівнює\(\mu_k\), яка швидкість блоку при виході з пружини?

Рішення:

Це той же приклад, що і попередній, але з кінетичним тертям. Сили на блок складають:

1. \(\vec F_g\), Його вага, з величиною\(mg\).
2. \(\vec N\), Нормальна сила, що чиниться землею на блок.
3. \(\vec F(x)\), Сила від пружини, з величиною\(kx\).
4. \(\vec f_k\), Сила кінетичного тертя, з величиною\(\mu_kN\).

І нормальна сила, і вага перпендикулярні зміщенню, тому вони не зроблять ніякої роботи. Крім того, оскільки прискорення у вертикальному напрямку дорівнює нулю, нормальна сила матиме ту ж величину, що і вага (\(N=mg\)). Величина сили кінетичного тертя є таким чином\(f_k = \mu_k mg\). Чиста виконана робота буде сумою роботи, виконаної пружиною\(W_F\), а робота, виконана тертям,\(W_f\):

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} = W_F + W_f\ end {вирівнювати*}

Ми вже визначили роботу, виконану до весни:

\ begin {вирівнювати*} W_F =\ гідророзриву {1} {2} kd^2\ end {align*}

Робота, виконана силою кінетичного тертя, буде негативною (так як вона знаходиться в напрямку, протилежному руху) і дається:

\ почати {вирівнювати*} W_F =\ vec f_k\ cdot\ vec d = -F_KD = -\ mu_KMGD\ кінець {вирівнювати*}

Застосовуючи теорему про енергію роботи, і зауваживши, що блок розпочався в стані спокою (\(v_i=0\)),\(v_f\) кінцева швидкість виявляється такою:

\ begin {align*} W^ {net} =W_F + W_F&=\ розрив {1} {2} mv_f^2 -\ гідророзриву {1} {2} mv_i^2\\ frac {1} {2} КД^2-\ mu_KMGD &=\ розрив {1} {2} mv_f^2\\ тому v_f^2\\ f &=\ sqrt {\ frac {kd^2} {м} -2\ mu_kgD}\ кінець {вирівнювати*}

Обговорення:

Ми можемо думати про це з точки зору поняття енергії. Пружина робить позитивну роботу над блоком, і тому збільшує його кінетичну енергію. Тертя робить негативну роботу на блок, зменшуючи його кінетичну енергію. Тільки пружина «вводить» енергію в блок, оскільки тертя видаляє цю енергію, роблячи негативну роботу. Інший спосіб подумати про це полягає в тому, що пружина вводить енергію; частина цієї енергії йде на збільшення кінетичної енергії блоку, а частина її втрачається тертям. Енергію, яка втрачається на тертя, можна розглядати як «теплову енергію» (тепло), яка йде вгору на нагрівання блоку і поверхні. Дійсно, якщо ви потираєте руку об стіл, ви помітите, що стає тепліше; ви втрачаєте частину енергії, введеної в вашу руку роботою, виконаної вашою рукою в нагріванні столу і вашої руки! Це показує, що ми можемо думати про моделювання тертя, використовуючи теплову енергію, а не силу.