7.1: Робота

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75817

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Огляд вправ

Розділ А1.3 на скалярний добуток.
Розділ А2.3 про інтеграли.

Введено поняття роботи як відправної точки для побудови моделей з використанням енергії замість сил. Робота - це скалярна величина, яка призначена для представлення того, як сила, що діє на об'єкт на заданій відстані, призводить до зміни швидкості цього об'єкта. Ми спочатку представимо поняття роботи, виконаної силою над об'єктом, а потім розглянемо, як робота може змінити кінематику об'єкта. Це аналогічно тому, як ми спочатку визначили поняття сили, а потім розглянули, як сила впливає на рух (за допомогою Другого закону Ньютона, який пов'язував поняття сили з прискоренням об'єкта).

Робота, виконана силою$\vec F$, над об'єктом над зміщенням$\vec d$, визначається як:

\[W = \vec F \cdot \vec d = Fd\cos\theta = F_xd_x+F_yd_y+F_zd_z\]

де$\theta$ - кут між векторами при їх розміщенні хвіст до хвоста, як на малюнку 7.1.1. Розмірність роботи, час переміщення сили, ще називають «енергією». S.I. Одиниця енергії є Джоуль (скорочено$\text{J}$), що еквівалентно$\text{Nm}$ або$\text{kg m}^{2}/\text{s}^{2}$ в базових одиницях.

Малюнок$\PageIndex{1}$: При визначенні скалярного добутку$\vec F \cdot \vec d = F d\cos θ$,$θ$ це кут між векторами при їх розміщенні хвіст до хвоста.

Робота, «виконана» силою, є скалярним добутком вектора сили і вектора зміщення об'єкта. Ми говоримо, що сила «дійсно працює», якщо вона чиниться під час руху об'єкта (має вектор зміщення) і таким чином, що скалярний добуток векторів сили і зміщення ненульовий. Сила, яка перпендикулярна вектору зміщення об'єкта, не працює (так як скалярний твір двох перпендикулярних векторів дорівнює нулю). Сила, що чиниться в тому ж напрямку, що і зміщення, зробить$\cos\theta $ позитивну роботу (позитивну), а сила в протилежному напрямку зміщення зробить негативну роботу ($\cos\theta $негативну). Як ми побачимо, позитивна робота відповідає збільшенню швидкості об'єкта, тоді як негативна робота відповідає зменшенню його швидкості. Жодна робота не відповідає жодній зміні швидкості (але може відповідати зміні швидкості).

Вправа$\PageIndex{1}$

Маятник довжини$R$ складається з маси, з'єднаної з струною (рис.$\PageIndex{2}$). Струна надає силу натягу$\vec F_T$ на масу. Яка робота виконується при натягу, коли маятник гойдається через кут$\theta $?

Малюнок$\PageIndex{2}$: Маятник розгойдується через кут$\theta$.

$W=F_{T}R\theta$
$W=F_{T}R(1-\cos\theta)$
Натяг не діє на масу.

Відповідь

У вас може виникнути спокуса запитати: «Навіщо працювати? Чому б не щось інше? Чому саме цей скалярний добуток? Як ми могли подумати про це?». Загалом, здається довільним, що ми вводимо кількість «роботи», а потім виявляємо, що це призводить до зручного способу побудови моделей. Однак ми не просто витягли цю кількість з повітря! Багато теоретиків протягом багатьох років намагалися всілякі величини і способи перефразувати Теорію Ньютона, які не були корисними. Величини, які перетворюють його в підручники, - це ті, які виявилися корисними. Ви також повинні мати на увазі, що так само, як і сила, робота - це «вигаданий» математичний інструмент, який допомагає описувати навколишній світ. Немає такого поняття, як робота або енергія, вони просто корисні математичні інструменти.

Працюйте в одному вимірі.

Робота включає вектори, тому ми можемо спочатку вивчити концепцію в одному вимірі, перш ніж розширити це до двох і трьох вимірів. Ми можемо вибрати$x$ як координату в одному вимірі, так що всі вектори мають тільки$x$ компонент. Ми можемо записати вектор сили як$\vec F=F\hat x$, де$F$ є$x$ складова сили (яка може бути позитивною або негативною). Вектор зміщення може бути записаний як$\vec d = d \hat x$, де знову ж таки,$d$ є$x$ складовою зміщення, і може бути позитивним або негативним. В одному вимірі робота полягає таким чином:

$ W = \vec F \cdot \vec d = (F\hat x) \cdot ( d\hat x ) = Fd (\hat x\cdot\hat x)=Fd$

де$\hat x \cdot \hat x = 1$. Розглянемо, наприклад, роботу, виконану силою$\vec F$, на коробці, як коробка рухається уздовж$x$ осі з положення$x=x_0$ в положення$x=x_1$, як показано на малюнку$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Сила$\vec F$, що чиниться на предмет, коли він рухається з положення$x=x_0$ в положення$x=x_1$.

Ми можемо записати довжину вектора зміщення як$||\vec d|| =d= \Delta x = x_1-x_0$. Роботу, виконану силою, дають:

$W = \vec F \cdot \vec d = F\hat x\cdot \Delta x\hat x =F\Delta x =F(x_1-x_0)$

яка є позитивною величиною, так як$x_1 > x_0$, з нашим вибором системи координат.

Вправа$\PageIndex{2}$

Постійна сила в позитивному$x$ напрямку$\vec F$, діє на коробку, як на рис$\PageIndex{3}$. Розглянемо виконану роботу$\vec F$, як коробка рухається від$x_1$ до$x_0$. Як це порівнюється з роботою, виконаною$\vec F$ при переході від$x_0$ до$x_1$ (що ми розрахували вище)?

$\vec F$не працює над коробкою, коли вона рухається від$x_0$ до$x_1$.
Робота має таку ж величину, як і раніше, але робота зараз негативна.
Робота, яку$\vec F$ виконає, однакова в обох випадках.

Відповідь

Робота в одному вимірі - змінна сила

Припустимо, що замість постійної сили$\vec F$, ми маємо силу, яка змінюється з позицією$\vec F(x)$, і може приймати три різних значення між$x=x_0$ і$x=x_3$:

\ begin {align*}\ vec F (x) =\ почати {випадки} F_1\ капелюх х & x <\ Дельта х\\ F_2\ капелюх х &\ Дельта х\ leq x< 2\ Дельта х\\ F_3\ капелюх х & 2\ дельта х\ leq x\ end {випадки}\ кінець {align*}

як показано на малюнку$\PageIndex{3}$, який показує силу на об'єкт, коли він рухається з положення$x=x_0$ в положення$x=x_3$$, уздовж трьох (рівних) векторів зміщення,$\vec d_1=\vec d_2=\vec d_3=\Delta x \hat x$

Малюнок$\PageIndex{4}$: Змінна сила$\vec F(x)$, що чиниться на предмет, коли він рухається з положення$x=x_0$ в положення$x=x_3$.

Загальна робота, виконана силою над трьома окремими зміщеннями, являє собою суму виконаної роботи над кожним зміщенням:

\ begin {align*} W^ {tot} &= W_1+W_2+W_3\\ &=\ vec F_1\ cdot\ vec d_2+\ vec F_2\ cdot\ vec d_2+\ vec F_3\ vec d_3\\ vec d_3\\ = F_1\ Дельта х +F_2\ Дельта х + Ф_3\ Дельта х\ end {вирівнювати*}

Якби замість$3$ сегментів у нас були$N$ відрізки і$x$ складова сили мала$N$ відповідні значення$F_i$ в$N$ сегментах, загальна робота, виконана силою, склала б:

\ begin {вирівнювати*} W^ {tot} =\ sum_ {i = 0} ^N\ vec f_i\ cdot\ дельта\ vec x\ end {вирівнювати*}

де ми ввели вектор,$\Delta \vec x$ який є вектором довжини,$\Delta x$ що вказує в позитивному$x$ напрямку. У межі, де безперервно$\vec F(x)$ змінюється як функція положення, беремо межу нескінченного числа нескінченно малих відрізків довжини$dx$, і сума стає інтегралом:

\ почати {вирівняти} W^ {tot} =\ int_ {x_0} ^ {x_f}\ vec F (x)\ cdot d\ vec x\ end {вирівнювання}

де робота обчислювалася в переході від$x=x_0$ до$x=x_f$, і$d\vec x=dx\hat x$ являє собою нескінченно малий вектор зміщення (довжини$dx$) в позитивному$x$ напрямку.

Приклад$\PageIndex{1}$

До вільного кінця горизонтальної пружини притискається блок з постійною пружини$k$, щоб стиснути пружину на відстань$D$ щодо її довжини спокою, як показано на малюнку$\PageIndex{5}$. Інший кінець пружини кріпиться до стіни. Яка робота виконується силою пружини на блоці, що йде від$x=-D$ до$x=0$? Яку роботу виконує блок на пружині над тим же зміщенням?

Малюнок$\PageIndex{5}$: Блок притискається до горизонтальної пружини так, щоб стиснути пружину на відстань$D$ щодо її довжини спокою.

Рішення:

Зусилля, що чиниться пружиною на блок, безперервно змінюється з положенням, згідно із законом Гука:\ begin {align*}\ vec F (x) = -kx\ hat x\ end {align*}

і вказує в позитивному$x$ напрямку, коли кінець пружини має негативну позицію $x$ (з нашим вибором координат$\PageIndex{5}$, показаним на малюнку, де початок знаходиться на решті довжини пружини). Щоб розрахувати роботу, виконану силою, підсумуємо виконану силою роботу над багатьма нескінченно малими$d\vec x$ зміщеннями (використовуючи інтеграл):

\ почати {вирівнювати*} W &=\ int_ {-D} ^0\ vec F (x)\ cdot d\ vec x\\ &=\ int_ {-D} ^0 (-kx\ капелюх х)\ cdot (х\ капелюх х)\\ &=\ int_ {-D} ^0 -kxdx (\ капелюх х\ cdot\ капелюх х)\\ &=\ &=-\ int_ {-D} ^0 кх х х\\ &=-\ ліворуч [\ гідророзриву {1} {2} kx^2\ праворуч] _ {-D} ^0\ &=\ гідророзриву {1} {2} kd^2\ end {align*}

Для того щоб визначити роботу, яку виконав блок на пружині, нам потрібно визначити зусилля$\vec F'(x)$, що чиниться блоком на пружину. За Третім Законом Ньютона це дорівнює за величиною, але протилежно в напрямку до сили, що чиниться пружиною на блок:

\ почати {вирівнювати*}\ vec F' (x) = -\ vec F (x) = kx\ капелюх х\ кінець {вирівнювати*}

Робота, виконана блоком на пружині над тим же зміщенням, становить:

\ почати {вирівнювати*} W '&=\ int_ {-D} ^0\ vec F' (x)\ cdot d\ vec x\\ &=\ int_ {-D} ^0 (кх\ капелюх х)\ cdot (дх\ капелюх х)\\ &=\ int_ {-D} ^0 кх дх=-\ frac {1} {2} КД^2\\\ end {вирівнювати*}

який є негативним. Це має сенс, оскільки сила, що чиниться блоком на пружину, знаходиться в напрямку, протилежному напрямку зміщення, тому робота повинна бути негативною.

Робота в декількох вимірах

Спочатку розглянемо роботу, виконану силою при$\vec F$ натягуванні обрешітки над зміщенням$\vec d$, в тому випадку, коли сила спрямована під кутом$\theta$ вище горизонтального, як показано на малюнку$\PageIndex{6}$, а зміщення - уздовж$x$ осі (вірніше, ми вибрали$x$ вісь повинна бути паралельна зміщенню).

Малюнок$\PageIndex{6}$: Сила$\vec F$, що діє на об'єкт під час його переміщення з положення$x=x_0$ в положення$x=x_1$.}

Роботу, виконану силою, дають:

\ почати {вирівнювати*} W =\ vec F\ cdot\ vec d &= Fd\ cos\ тета\\ &= F_ {\ паралельно} d\\ &= Fd_ {\ паралельно}\\ кінець {вирівнює*}

де ми виділили той факт, що скалярний добуток «відбирає» складові векторів, паралельні один одному. $F_{\parallel} = F\cos\theta$є компонентом$\vec F$, що паралельно$\vec d$ і$d_{\parallel}=d\cos\theta$ є компонентом$\vec d$, що паралельно$\vec F$. Вони також показані на рис$\PageIndex{6}$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Брент і Дін натягують дві ящики, використовуючи мотузки, які роблять однаковий кут над горизонталлю і з однаковою силою. Величина зміщення ящиків однакова, але ящик Діна рухається горизонтально по землі, тоді як лати Брента рухається вгору по безфрикційному пандусу, який паралельний мотузці, який використовується для натягування обрешітки. Хто більше працював над обрешіткою?

Діна тому, що між його ящиком і землею виникає тертя.
Брент.
Вони виконали такий же обсяг роботи.

Відповідь

Загалом, якщо об'єкт рухається довільним шляхом, ми не можемо вибрати вісь $x$ паралельною зміщенню або силі. Якщо шлях можна розділити на прямі сегменти, над якими сила постійна, як на малюнку$\PageIndex{7}$, ми можемо обчислити роботу, виконану силою над кожним сегментом, і скласти роботу, виконану в кожному сегменті, разом, щоб отримати загальну роботу, виконану силою. Зверніть увагу, що, як правило, робота, виконана силою, коли об'єкт переміщається з одного положення в інше, залежить від конкретного шляху, який був прийнятий між двома позиціями, оскільки різні шляхи матимуть різницю довжини.

Малюнок$\PageIndex{7}$: Довільний двовимірний шлях об'єкта від$A$ до,$B$ розбитий на три прямі відрізки.

Приклад$\PageIndex{2}$

Порівняйте роботу, виконану силою кінетичного тертя при ковзанні обрешітки по горизонтальній поверхні з положення$A$ (координати$x_A, y_A$) в положення$B$ (координати$x_B, y_B$), використовуючи два різних шляхи, зображені на малюнку$\PageIndex{8}$. Припустимо, що маса обрешітки є$m$ і що коефіцієнт кінетичного тертя між обрешіткою і грунтом дорівнює$\mu_k$.

Малюнок$\PageIndex{8}$: Два можливі шляхи для переміщення обрешітки з положення$A$ в положення$B$, як видно зверху.

Рішення:

Сила кінетичного тертя завжди знаходиться в напрямку, протилежному руху. Таким чином, незалежно від пройденого шляху, сила тертя зробить негативну роботу.

Розрахуємо спочатку роботу, виконану силою кінетичного тертя по першій траєкторії (прямій). Сила кінетичного тертя матиме величину:\ begin {align*} f_k =\ mu_k N =\ mu_k mg\ end {align*}

Нормальна сила матиме ту ж величину, що і вага, оскільки лати не рухається (прискорюється) в напрямку, перпендикулярному$xy$ площині. Вектор зміщення від$A$ до$B$ можна записати як:\ begin {align*}\ vec d &= (x_b-x_a)\ капелюх х + (Y_b-y_a)\ капелюх у\\\ отже ||\ vec d|| &=d=\ sqrt {(x_b-x_a) ^2 - (Y_b-y_a) ^2}\ end {align*}

Сила кінетичного тертя буде знаходитися в протилежному напрямку вектора зміщення, тому кут між двома векторами дорівнює$180^{\circ}(\cos\theta=-1)$. Робота, виконана силою кінетичного тертя, полягає в наступному:\ begin {align*} W =\ vec f_k\ cdot\ vec d = f_k d\ cos\ theta = -\ mu_k mg\ sqrt {(x_b-x_a) ^2 - (Y_b-y_a) ^2}\ end {align*} і є негативним, як очікувалося.

Для шляху 2 ми розбиваємо рух на два відрізки, з векторами переміщень$\vec d_1$ (уздовж$y$) і$\vec d_2$ (вздовж$x$). Ми можемо записати два вектори зміщення як:

\ begin {align*}\ vec d_1 &= 0\ капелюх х + (Y_B-Y_A)\ капелюх у\\ тому ||\ vec d_1||&=d_1= (Y_B-Y_A)\\ vec d_2 &= (x_b-x_a)\ капелюх х + 0\ капелюх у\\\ тому ||\ vec d_2||| d_2= (X_B-X_A)\\ кінець {вирівнювати*}

Уздовж кожного сегмента сила кінетичного тертя є антипаралельною зміщенню (зверніть увагу, що сила тертя змінює напрямок над двома сегментами), але величина є$f_k=\mu_kmg$. Робота, виконана вздовж першого сегмента, полягає в наступному:\ begin {align*} W_1 =\ vec f_k\ cdot\ vec d_1 = f_k d_1\ cos\ theta = -\ mu_k mg (y_b-y_a)\ end {align*} Робота, виконана вздовж другого сегмента:\ begin {align*} W_2 =\ vec f_k\ cdot\ vec d_2 = f_k d_2\ cos\ тета = -\ mu_k мг (x_b-x_a)\ end {align*} І загальна виконана робота за силою кінетичного тертя над другим шляхом дорівнює:\ begin {align*} W^ {tot} = W_1 + W_2 = -\ mu_k mg\ left ((x_b-x_a) + (y_b-y_a)\ right)\ end {align*} що більше роботи, ніж було зроблено по шляху 1. Це має сенс, оскільки для обох шляхів сила тертя має однакову величину і завжди знаходиться в протилежному напрямку руху; таким чином, чим довший шлях, тим більше роботи буде виконано силою.

Приклад$\PageIndex{3}$

Коробка маси$m$ переміщається з підлоги на стіл за допомогою двох різних шляхів, як показано на малюнку$\PageIndex{9}$. Стіл являє собою горизонтальну відстань$L$ від місця початку коробки і висоту$H$ над підлогою. Порівняйте виконану роботу по вазі коробки по двом можливим шляхах.

Малюнок$\PageIndex{9}$: Два можливі шляхи переміщення коробки з підлоги на стіл.

Рішення:

Ми можемо використовувати таку систему координат, щоб початок збігався з початковим положенням коробки. $x$$y$горизонтальна і вертикальна, як показано на малюнку$\PageIndex{9}$. Вага коробки можна записати як:

\ begin {align*}\ vec f_g = -mg\ hat y\ end {align*}

і вказує в негативну$y$ сторону з величиною$mg$. Щоб розрахувати роботу, виконану вагою по першому шляху, спочатку визначаємо відповідний вектор зміщення,$\vec d$:

\ begin {вирівнювати*}\ vec d = L\ капелюх х + H\ hat y\ end {вирівнювати*}

і ми можемо визначити роботу:

\ почати {вирівнювати*} W &=\ vec F_g\ cdot\ vec d = (-мг\ капелюх у)\ cdot (Л\ капелюх х + Н\ капелюх у)\\ &= F_xD_x+F_YD_Y= (0) (L) + (-мг) (H)\\ &= -MGH\ end {align*}

Уздовж шляху 1 робота, виконана вагою, негативна, і не залежить від горизонтальної відстані$L$. Давайте тепер обчислимо виконану роботу по другому шляху, який ми розбиваємо на два відрізки з векторами зміщення$\vec d_1$ (вертикальний) і$\vec d_2$ (горизонтальний). Векторами зміщення є:

\ begin {align*}\ vec d_1 &= H\ капелюх у\\\ vec d_2 &= L\ капелюх х\ кінець {align*}

Робота, виконана уздовж вертикального відрізка, це:

\ begin {align*} W_1 &=\ vec f_g\ cdot\ vec d_1 = (-мг\ капелюх у)\ cdot (H\ hat y)\\ &=-MGH\ end {align*}

Робота, виконана уздовж горизонтального відрізка, це:

\ begin {align*} W_2 &=\ vec f_g\ cdot\ vec d_2 = (-мг\ капелюх у)\ cdot (L\ капелюх х)\\ &= 0\ кінець {align*}

що дорівнює нулю, тому що сила тяжіння завжди вертикальна і, таким чином, перпендикулярна вектору зміщення горизонтального відрізка. Загальна робота, виконана вагою по другому шляху, становить:

\ begin {вирівнювати*} W^ {tot} = W_1+ W_2 = -MGH\ end {вирівнювати*}

яка така ж, як і робота, виконана по шляху 1. Як ми побачимо, коли сила постійна за величиною та напрямком, робота, яку вона виконує над об'єктом, переходячи з одного положення в інше, не залежить від пройденого шляху. У прикладі 7.1.2 цього не було, оскільки напрямок сили кінетичного тертя залежить від напрямку переміщення.

Вправа$\PageIndex{4}$

Клер і Амелія спускаються двома різними слайдами, як показано на малюнку$\PageIndex{10}$. Клер і Амелія мають однакову масу і слайди мають однакові ненульові коефіцієнти тертя.

Малюнок$\PageIndex{10}$: Клер ($C$) і Амелія ($A$) спускаються на дві різні гірки однакової висоти.

Для кожної з наступних сил вирішите, чи є сила: робить більше роботи над Клер, робить більше роботи над Амелією, або робить однаковий обсяг роботи над обома.

Сила тяжіння...
Сила тертя...
Нормальна сила від слайда...

Відповідь: Гравітація робить однакову кількість роботи на обох, тертя робить більше роботи на Амелії, а нормальна сила робить однаковий обсяг роботи на обох (нормальна сила робить нульову роботу, так як вона завжди перпендикулярна зміщенню).

Найзагальнішим випадком, для якого ми можемо обчислити роботу, виконану силою, є випадок, коли сила безперервно змінюється вздовж шляху, де зміщення також постійно змінює напрямок. Це показано на малюнку$\PageIndex{11}$, який показує довільний шлях між двома точками$A$ і$B$, і сила$\vec F(\vec r)$, яка залежить від позиції ($\vec r$). Загалом, робота, виконана силою над об'єктом, який йде від$A$ до,$B$ буде залежати від фактичного шляху, який був пройдений.

Малюнок$\PageIndex{11}$: Довільний шлях між двома точками$A$ і$B$ з силою, яка залежить від положення,$\vec F(\vec r)$.

Стратегія розрахунку роботи в загальному випадку та ж: розбиваємо шлях на невеликі прямі відрізки з векторами зміщення$d\vec l$ (рис.$\PageIndex{12}$), Де припускаємо, що сила постійна над відрізком. Загальна робота - це сума роботи над кожним сегментом:

\ begin {вирівнювання} W =\ int_a^b\ vec F (\ vec r)\ cdot d\ vec l\ end {вирівнювання}

Як завжди, ми використовуємо інтегральний символ, щоб вказати, що потрібно взяти нескінченну кількість нескінченно малих відрізків,$d\vec l$ щоб обчислити суму.

Малюнок$\PageIndex{12}$: Ділимо шлях на нескінченно малі відрізки з векторами зміщення$d\vec l$.

Слід зазначити, що це не інтеграл, як будь-який інший, який ми бачили досі: інтеграл не є однією змінною інтеграції (зазвичай ми використовуємо$x$), але це інтеграл (сума!) над конкретним шляхом, який ми вибрали в переході від$A$ до$B$. Це називається «інтегралом шляху», і, як правило, важко оцінити.

Приклад$\PageIndex{4}$

Малюнок$\PageIndex{13}$: Параболічний шлях між$A$ і$B$.

Сила,$\vec F(\vec r) = \vec F(x,y) = F_x\hat x + F_y \hat y$, чиниться на предмет. Об'єкт починається з позиції$A$ і закінчується в положенні$B$, вздовж параболічного шляху$y(x) = a+bx^2$, як показано на малюнку$\PageIndex{13}$. Яку роботу виконує сила$\vec F$, по цій траєкторії?

Рішення:

При цьому сила може змінюватися з положенням (якщо$F_x$ і не$F_y$ є постійними), а напрямок шляху змінюється безперервно. Коли ми розбиваємо шлях на невеликі відрізки$d\vec l$, нам потрібно включити рівняння параболи, щоб включити той факт, що$d\vec l$ $ завжди повинен бути дотичним до параболи. Розглянемо один невеликий відрізок уздовж траєкторії і нескінченно малий вектор зміщення$d\vec l$ в цій точці, як на малюнку$\PageIndex{14}$.

Малюнок$\PageIndex{14}$: Нескінченно малий вектор зміщення,$d\vec l$.

Ми можемо записати$x$ і$y$ складові вектора як нескінченно малі відстані$dy$, так$dx$$x$ і по$y$ осях і відповідно. Вектор таким чином$d\vec l$ можна записати:

\ begin {вирівнювати*} d\ vec l = dx\ капелюх х + ди\ hat y\ end {вирівнювати*}

Загальна робота, виконана силою, тоді:

\ begin {align*} W &=\ int_a^b\ vec F (\ vec r)\ cdot d\ vec l\\ &=\ int_a^b (F_x\ капелюх х + F_y\ капелюх)\ cdot (дх\ капелюх х + ди\ капелюх у)\\ &=\ int_a^b (F_x x x + F_YDY)\\ тому W&=\ int_a^b F_x дх +\ int_a^b f_ydy\ кінець {вирівнювати*}

де в останньому рядку ми просто використовували властивість, що інтеграл суми є сумою відповідних інтегралів. На даний момент у нас є два інтеграли над інтеграційними змінними ($x$і$y$), які мають сенс. Однак ми ще не використали той факт, що наш шлях - парабола, і взагалі, ми очікуємо, що форма шляху важлива. Говорячи, що ми інтегруємо (або обчислюємо роботу) над певним шляхом, ми дійсно говоримо, що$x$ і$y$ не є незалежними; тобто, якщо ми знаємо значення$x$ в якийсь момент на шляху, ми знаємо відповідне значення$y$ ($y = a+bx^2$).

Оскільки$x$ і не$y$ є незалежними, ми можемо використовувати «підстановку змінних» для того, щоб висловити як$y$ в терміні$x$, так і$dy$ в терміні$dx$ $:

\ почати {вирівнювати*} y (x) &= a + bx^2\\ розриву {dy} {dx} &= 2bx\\\ тому dy &= 2bxdx\ кінець {align*}

Це дозволяє нам перетворити інтеграл$y$ в інтеграл над$x$, що також дозволяє нам бути явним для меж інтеграла (в нашому прикладі інтеграл йде від$x=0$ до$x=x_1$):

\ почати {вирівнювати*} В&=\ int_a^b Ф_х х +\ int_A^b Ф_иди\\ &=\ int_0^ {x_1} F_x дх +\ int_0^ {x_1} F_y (2bxdx)\\ &=\ int_0^ {x_1} (F_x + 2BxF_Y) dx\ end {вирівнювати*}

де ми повинні знати, як$F_x$ і$F_y$ залежить від$x$ і для$y$ того, щоб насправді оцінити інтеграл.

Наприклад, якби сила була постійною ($F_x$і$F_y$ постійною), то робота, виконана по параболічному шляху, склала б:

\ почати {вирівнювати*} W &=\ int_0^ {x_1} (F_x+ 2BxF_y) дх\\ &=\ лівий [F_x x + BF_YX^2\ праворуч] _0^ {x_1}\ &=F_x x_0 + BF_YX_0^2\ end {align*}

Як ми вже згадували раніше, якщо сила постійна за величиною і напрямком, то виконана робота не залежить від шляху. Ми можемо легко перевірити це, використовуючи вектор зміщення$\vec d = x_1\hat x + bx_1^2 \hat y$:

\ begin {align*} W &=\ vec F\ cdot\ vec d = (F_x\ капелюх x+ F_y\ капелюх у)\ cdot (x_1\ капелюх х + bx_1^2\ капелюх у)\\ &= F_x x_1 + bf_yx_1^2\ end {align*}

як ми з'ясували вище.

Чиста робота виконана

Поки що ми розглядали роботу, виконану над об'єктом єдиною силою. Якщо на об'єкт прикладається більше однієї сили, то кожна сила може виконати роботу над об'єктом, і ми можемо обчислити «чисту роботу», виконану над об'єктом, склавши разом роботу, виконану кожною силою. Ми покажемо, що це еквівалентно спочатку обчисленню чистої сили на об'єкт,$F^{net}$ (тобто векторної суми сил на об'єкт), а потім обчислення роботи, виконаної чистою силою.

Припустимо, що три сили$\vec F_1$,$\vec F_2$,, і$\vec F_3$ чиниться на об'єкт, коли він рухається таким чином, що вектор його переміщення є$\vec d$. Чиста робота, виконана на об'єкті, легко виявляється еквівалентною роботі, виконаної чистою силою:

\ почати {вирівнювати*} W^ {net} &= W_1+ W_2+ W_3\\ &=\ vec F_1\ cdot\ vec d +\ vec F_2\ cdot\ vec d +\ vec F_3\ cdot\ vec d\\\ &= (F_ {1x} д_x+f_ {1y} d_y+f_ {1y} d_y+f_ {1z} д_з) + (Ф_ {2х} д_х+Ф_ {2у} д_у+Ф_ {2з} д_з) + (Ф_ {3х} д_х+Ф_ {3й} д_й+Ф_ {3з} д_з)\ &= (Ф_ {1х} + Ф_ {2х} + Ф_ {2х} + Ф_ {3х} + Ф_ {3х} + Ф_ {3х} + Ф_ {3х}) д_х+ (Ф_ {1й} + Ф_ {2й} + Ф_ {3й}) д_у+ (Ф_ {1з} + Ф_ {2z} + F_ {3z}) д_з\\ &=\ vec F^ {net}\ cdot\ vec d\ end {вирівнювати*}

де$\vec F^{net} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3$ чиста сила. Результат легко узагальнюється до будь-якої кількості сил, в тому числі, якщо ці сили змінюються як функція положення:

\ begin {вирівнювати*} W^ {net} =\ int_a^b F^ {net} (\ vec r)\ cdot d\ vec l\ end {вирівнювати*}

Приклад$\PageIndex{5}$

Ви натискаєте з невідомою горизонтальною силою$\vec F$, проти обрешітки маси,$m$ яка розташована на похилій площині, яка утворює кут $\ theta$ по відношенню до горизонталі, як показано на малюнку$\PageIndex{15}$. Коефіцієнт кінетичного тертя між обрешіткою і ухилом дорівнює$\mu_k$. Ви штовхаєте таким чином, що ящики рухаються з постійною швидкістю вгору по нахилу. Яка сітчаста робота виконується на обрешітці, якщо вона рухається вгору по ухилу на відстань$d$?

Малюнок$\PageIndex{15}$: Ящик підштовхується вгору під нахилом.

Рішення:

Хоча відповідь може бути очевидною, давайте пройдемо довгий шлях і розрахуємо роботу, виконану кожною силою, а потім підсумуємо їх разом, щоб отримати загальну роботу. Починаємо з виявлення сил, що чинилися на обрешітку:

$\vec F$, прикладеної сили, невідомої величини,$\vec F$.
$\vec F_g$, Вага обрешітки, з величиною$mg$.
$\vec N$, нормальна сила, що чиниться нахилом.
$\vec f_k$, сила кінетичного тертя, з величиною$\mu_k N$, яка вказує в напрямку, протилежному$\vec d$.

Вони показані на діаграмі вільного тіла на малюнку$\PageIndex{16}$, разом з нашим вибором системи координат та вектора зміщення.

Малюнок$\PageIndex{16}$: Схема вільного кузова для обрешітки по ухилу.

При виборі системи координат вектор зміщення задається:

\ begin {align*}\ vec d = d (\ cos\ тета\ капелюх х +\ sin\ тета\ hat y)\ end {align*}

Перш ніж розрахувати роботу, виконану кожною силою, нам потрібно визначити величину нормальної сили (а значить, і сили кінетичного тертя). Так як лати рухається з постійною швидкістю, її прискорення дорівнює нулю, тому сума сил повинна дорівнювати нулю. Виписання$y$ складової Другого закону Ньютона дозволяє знайти величину нормальної сили:

\ begin {align*}\ сума F_y &= N\ cos\ тета -F_g - f_k\ sin\ тета = 0\\\ тому mg &= N\ cos\ тета-\ mu_kn\ sin\ тета = N (\ cos\ тета-\ mu_k\ sin\ тета)\\ отже N &=\ frac {mg} {\ cos\ тета-\ mu_k\ гріх\ тета}\ end {align*}

Виписання$x$ компонента Другого закону Ньютона дозволяє знайти величину невідомої сили$F$:

\ begin {align*}\ сума F_x &= F - N\ sin\ тета - f_k\ cos\ theta = 0\\\ тому F &= N\ sin\ тета+\ mu_kn\ cos\ тета = N (\ sin\ theta+\ mu_k\ cos\ theta)\\\ &= мг\ frac {\ sin\ theta+\ mu_k\ cos\ theta} {\ cos\ тета-\ mu_k\ sin\ тета}\ кінець {align*}

Тепер приступимо до розрахунку виконаної роботи по кожній силі. Робота, виконана нормальною силою, однаково дорівнює нулю, так як вона перпендикулярна вектору зміщення. Робота, виконана прикладеною силою$\vec F = F\hat x$, це:

\ begin {align*} W_F &=\ vec F\ cdot\ vec d = (F\ капелюх х)\ cdot (d (\ cos\ тета\ капелюх х +\ син\ тета\ капелюх))\\ &= Fd\ cos\ theta\ mu_k\ sin\ тета} д\ cos\ тета\ кінець {align*}

Робота, виконана силою тяжіння$\vec F_g = -mg \hat y$, це:

\ begin {align*} w_g &=\ vec f_g\ cdot\ vec d = (-mg\ hat y)\ cdot (d (\ cos\ тета\ капелюх х +\ sin\ тета\ hat y))\\ &= -mgd\ sin\ тета\ кінець {align*}

Роботи виконуються силою тертя, відзначаючи$\vec f_k$, що$\vec f_k$ і$\vec d$ є антипаралельними:

\ почати {align*} W_F &=\ vec f_k\ cdot\ vec d = -f_kd = -\ mu_knd\ &=-\ mu_k\ frac {mg} {\ cos\ тета-\ mu_k\ sin\ тета} д\ кінець {align*}

Сітчаста робота, виконана на обрешітці, полягає таким чином:

\ begin {align*} W^ {net} &= W_F + W_g + W_F\\ &= мг\ frac {\ sin\ theta+\ mu_k\ cos\ тета} {\ cos\ theta-\ sin\ theta} d\ cos\ тета-mgd\ sin\ тета -\ mu_k\ frac {mg} _k\ sin\ тета} д\\ &= mgd\ left (\ frac {\ sin\ theta+\ mu_k\ cos\ theta} {\ cos\ theta-\ mu_k\ sin\ тета}\ cos\ тета -\ mu_k\ frac {1} {\ cos\ тета-\ му_к\ син\ тета}\ вправо)\\ &= mgd\ ліворуч (\ frac {(\ sin\ theta+\ mu_k\ cos\ theta)\ cos\ theta -\ sin\ theta (\ cos\ theta-\ cos\ theta}\ = mgd\ left (\ frac {\ sin\ тета\ cos\ тета+\ mu_k\ cos^2\ тета -\ грін\ тета\ cos\ тета+\ му_к\ sin^2\ тета -\ mu_k} {\ cos\ тета-\ mu_k\ гріх\ тета}\ праворуч)\\ &= mgd\ ліворуч (\ frac {\ mu_k (\ cos^2\ тета+\ sin^2\ тета) -\ mu_k} {\ cos\ тета-\ mu_k\ sin\ тета}\\ справа)\\ &=0\ end {align*}

де ми використовували те, що$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Таким чином ми виявляємо, що чиста робота, виконана на обрешітці, дорівнює нулю!

Обговорення:

Звичайно, це має сенс, адже чиста сила на обрешітку дорівнює нулю, так як вона не прискорюється, тому виконана чиста робота також дорівнює нулю. Як наслідок, а точніше, побудовою, ми маємо умову, що якщо чиста робота, виконана на об'єкті, дорівнює нулю, то цей об'єкт не прискорюється. Таким чином, у нас є скалярна величина (робота), яка може сказати нам щось про те, чи змінює об'єкт швидкість. У наступному розділі ми вводимо нову величину, «кінетичну енергію», щоб описати, як змінюється швидкість об'єкта, коли виконана чиста робота не дорівнює нулю. \ end {приклад}

Думки Олівії

Зверніть пильну увагу на слова «on» і «by». Є кілька речей про це, які можуть бути складними:

У прикладі 7.1.5 нас попросили знайти мережеву роботу, виконану на обрешітці. Іноді питання не уточнить, що він хоче, щоб ви знайшли роботу мережі, і просто скаже «Яка робота виконана на ящику?» Коли вас просто просять про роботу, виконану «над» об'єктом, питання неявно запитує мережеву роботу, виконану над об'єктом.
Просто тому, що чиста робота, виконана на об'єкті, дорівнює нулю, не означає, що робота, виконана кожною з сил, дорівнює нулю. Це може здатися очевидним, але це легко отримати споткнутися на тест або іспит. Якщо ви читаєте питання про роботу і в ньому написано, що об'єкт рухається з постійною швидкістю, заманливо просто стрибати вперед і сказати, що робота повинна дорівнювати нулю. Тим не менш, ви можете сказати це лише в тому випадку, якщо він просить вас про чисту роботу, виконану над об'єктом. Наприклад, у прикладі 7.1.5 ми зробили висновок, що оскільки лати рухалася з постійною швидкістю, робота мережі дорівнювала нулю. Але якщо питання задало вам знайти роботу, виконану на обрешітці самопливом, то це означало б щось інше. Робота, виконана гравітацією в даному випадку, не дорівнює нулю (він насправді негативний).
Робота, виконана «над» об'єктом, не є такою ж, як чиста робота, виконана «цим об'єктом». Наприклад, скажіть, що ви перебуваєте в перетягуванні каната і тягнете іншу команду до себе, але самі не рухаєтеся. Чиста робота, виконана над вами, дорівнює нулю, але виконана вами робота не дорівнює нулю. Отже, коли ви говорите про роботу, завжди слід чітко вказувати, чи виконується робота «над» об'єктом або «по» об'єкту.

Примітка: Формулювання не завжди буде такою - іноді вона буде говорити «Скільки роботи ви робите на коробці?» замість «Скільки роботи ви робите на коробці», тому завжди будьте обережні. Тим не менш, пошук ключових слів, таких як «by» та «on», - це гарне місце для початку.

Вправа$\PageIndex{1}$

$2\text{kg}$Ящик сидить на горизонтальній поверхні. Постійна горизонтальна сила$6\text{N}$ прикладається до коробки. Коробка рухається з постійним прискоренням$2\text{m/s}^{2}$. Який з перерахованого має найбільшу величину?

Робота, виконана прикладеною силою.
Роботи виконуються за допомогою тертя.
Чиста робота виконана на коробці.

Відповідь