6.7: Проблеми та рішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо конічний маятник з масою\(m\), attached to a string of length \(L\). The mass executes uniform circular motion in the horizontal plane, about a circle of radius \(R\), as shown in Figure \(\PageIndex{1}\). One can think of the horizontal circle and the point where the string is attached to as forming a cone. The circular motion is such that the (constant) angle between the string and the vertical is \(\theta\).

1. Вивести вираз для натягу в струні.
2. Вивести вираз для швидкості маси.
3. Вивести вираз для періоду руху.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Конічний маятник.

Відповідь

а. починаємо з визначення сил, які діють на масу. Це:

• \(\vec F_g\), Його вага, з величиною\(mg\).
• \(\vec F_T\), Сила натягу, що чиниться струною.

Сили проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{2}\), разом з нашим вибором системи координат і напрямку прискорення маси (до центру кола).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Сили, що діють на конічний маятник.

\(y\)Компонент Другого закону Ньютона дає зв'язок між напругою в струні, вагою і кутом\(\theta\)\[\begin{aligned} \sum F_y&=0 \\ F_T\cos\theta -F_g&=0 \\ F_T\cos\theta&=mg \\ \therefore F_T&=\frac{mg}{\cos\theta} \\\end{aligned}\]

б. для того щоб маса рухалася по колу, чиста сила повинна бути спрямована до центру кола в усі часи. \(x\)Складова Другого закону Ньютона, поєднана з нашим виразом для величини натягу\(F_T\), дозволяє визначити швидкість маси:\[\begin{aligned} \sum F_x&=ma_r \\ F_T\sin\theta&=m\frac{v^2}{R}\\ \left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta &=m\frac{v^2}{R}\\ g\tan\theta&=\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR\tan\theta}\end{aligned}\]

c Тепер, коли ми знаємо швидкість, ми можемо легко знайти період руху:\(T\)\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi R}{v} \\ &=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR\tan\theta }}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g\tan\theta}}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Барб і Кенні збираються в парк розваг. Барб наполягає на катанні на гігантських американських гірках, але Кенні боїться, що вони випадуть з американських гірок у верхній частині петлі. Барб заспокоює Кенні, запитуючи технік американських гірок для отримання додаткової інформації. Технік каже, що вони будуть подорожувати в\(15\text{m/s}\) when upside down, and that the roller coaster loop has a radius of \(22\text{m}\). Kenny is still skeptical. Is he correct in being skeptical?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Американські гірки

Відповідь

Потрібно визначити, чи достатньо велика швидкість Барба і Кенні, щоб вони могли об'їхати коло. Мінімальна швидкість, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, така, що їх вага (єдина сила, що діє на них) забезпечує доцентрову (чисту) силу, необхідну для обходу петлі.

Написання Другого закону Ньютона у вертикальному напрямку, для випадку, коли на Барба або Кенні діє лише вага (маса\(m\)), коли вони йдуть зі швидкістю\(v\)\[\begin{aligned} mg &= ma_R = m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &= \sqrt{gR} = \sqrt{(9.8\text{m/s}^{2})(22\text{m})}=14.68\text{m/s}\end{aligned}\] Це відповідає мінімальній швидкості, яку вони повинні мати у верхній частині петлі, щоб зробити це навколо. Якщо вони йдуть швидше, нормальна сила від місця (вниз, оскільки вони перевернуті) призведе до більшої чистої сили до центру кола. Ця ситуація відповідає нормальній силі від їх сидіння, ледь досягаючи 0 у верхній частині петлі. Оскільки американські гірки цитуються як мають швидкість\(15\text{m/s}\) у верхній частині петлі, вони просто ледве зроблять це. Однак це занадто близько до мінімальної швидкості, щоб не випасти з американських гірок, тому Кенні правильно налаштований скептично! Інженери, що проектують американські гірки, повинні включати набагато більший запас міцності!