5.9: Вибіркові проблеми та рішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Кеті на сноуборді вниз по схилу.

Каті, сноубордистка-любитель, спирається на вершину пагорба, нахилену під\(\theta=50^{\circ}\) кутом щодо горизонталі, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Вона витончено ковзає з пагорба, поки не стикається з рослинами у велику купу снігу внизу,\(40\text{m}\) звідки вона почала. Якщо коефіцієнт кінетичного тертя між сноубордом Кеті і пагорбом дорівнює\(\mu_k=0.45\), скільки часу проходить між тим, коли вона починає ковзати і коли вона стикається з рослинами?

Відповідь

Перш ніж намагатися вирішити проблему, ми повинні подумати про стратегію, яка дозволить нам змоделювати час, необхідний для досягнення дна. Ми знаємо, що Другий закон Ньютона пов'язує сили на Кеті з її прискоренням. Якщо побудувати модель сил на Кеті, то зможемо визначити її прискорення. Як тільки ми дізнаємося її прискорення, ми можемо використовувати кінематику, щоб визначити, скільки часу потрібно їй, щоб подолати відстань\(40\text{m}\).

Сили, що чинилися на Кеті, це:

1. \(\vec F_g\), її вага.
2. \(\vec N\), нормальна сила, що чиниться нахилом.
3. \(\vec f_k\), сила кінетичного тертя, що чиниться нахилом, з величиною\(f_k=\mu_kN\)

Це дозволяє побудувати діаграму вільного тіла для сил на Кеті, як показано на малюнку 5.9.2. Так як Кеті буде ковзати вниз по схилу, її прискорення буде паралельно нахилу і вниз, що ми показали більш товстою стрілкою на діаграмі вільного тіла. Наша діаграма вільного тіла також показує систему координат, яку ми обрали, з\(x\) віссю, спрямованою паралельно прискоренню.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Сили, що діють на Кеті, як вона сноуборди.

За допомогою діаграми вільного тіла ми можемо записати\(x\) і\(y\) компоненти Другого закону Ньютона. У\(x\) напрямку як сила тертя, так і вага мають складові. Сила тертя знаходиться в негативному\(x\) напрямку, тоді як складова сили тяжіння в\(x\) напрямку є\(F_g\sin\theta\). Вектор прискорення також знаходиться в\(x\) напрямку. Вкладаючи це взагалі в Другий закон Ньютона:\[\begin{aligned} \sum F_x = F_g\sin\theta - f_k &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\end{aligned}\] де ми використовували той факт, що вага\(m\) задається\(mg\) (є масою Кеті) і величина сили тертя задається\(f_k=\mu_kN\).

Далі виписуємо\(y\) компонент Другого закону Ньютона. Нормальна сила знаходиться в позитивному\(y\) напрямку, тоді як складова сили тяжіння в\(y\) напрямку є\(-F_g\cos\theta\). Прискорення не має складової в\(y\) напрямку. Вкладаючи це в другий закон Ньютона:\[\begin{aligned} \sum F_y = N-F_g\cos\theta &=0\\ \therefore N-mg\cos\theta &=0\end{aligned}\]

Тепер у нас є два рівняння, які описують рух Кеті: У\[\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ N-mg\cos\theta &=0\end{aligned}\] нас є три невідомі,\(m\),\(N\), і\(a\), але тільки два рівняння! Сподіваємось, один з них скасує! На цьому етапі вся фізика для завдання виконана! Тепер ми можемо перейти до вирішення цих рівнянь, щоб знайти прискорення. Друге рівняння дозволяє нам вирішити нормальну силу\(N=mg\cos\theta\), яку ми підставляємо в перше рівняння:\[\begin{aligned} mg\sin\theta -\mu_k N &= ma\\ \therefore mg\sin\theta -\mu_k mg\cos\theta &= ma\\\end{aligned}\] Як бачите, масу\(m\) можна скасувати з цього рівняння, і ми можемо знайти прискорення:

\(\begin{aligned} a&=g\sin\theta-\mu_{k}g\cos\theta \\ &=g(\sin\theta -\mu_{k}\cos\theta ) \\ &=(9.8\text{N/kg})(\sin (50^{\circ})-(0.45)\cos (50^{\circ})) \\ &=4.67\text{N/kg} \end{aligned}\)

На цьому етапі ми повинні запитати себе, чи має сенс наш результат. Зокрема, ми з'ясували, що прискорення має одиницю\(\text{N/kg}\) замість\(\text{m/s}^{2}\). Швидке вивчення Другого закону Ньютона показує нам, що ці дві одиниці еквівалентні:\[\begin{aligned} F &= ma\\ a &= \frac{F}{m}\\ \therefore SI[a] &= \frac{SI[F]}{SI[m]}=\frac{\text{N}}{\text{kg}}\end{aligned}\] Часто один записує величину гравітаційного поля Землі як\(g=9.8\text{m/s}^{2}\), оскільки воно має той самий вимір, що і прискорення, і дійсно відповідає прискоренню, яке відчувається при падінні об'єкти поблизу поверхні Землі. Насправді\(g\), зазвичай визначається як прискорення об'єкта поблизу Землі, хоча це вводить в оману, оскільки вимагає, щоб інерційна і гравітаційна маса були однаковими.

Знаючи, що початкова швидкість Кеті є\(v_{0x}=0\text{m/s}\), її прискорення знаходиться\(a_x=a=4.67\text{m/s}^{2}\) в\(x\) напрямку (тому ж напрямку, що і нахил), і відстань, яку вона повинна пройти\(x=40\text{m}\), є, ми можемо знайти час, необхідний їй, щоб зіткнутися з рослиною. Якщо ми встановимо початок\(x\) осі, де вона починається (так, щоб її початкове положення вздовж\(x\) осі,\(x_0=0\)), відстань, яку вона пройшла за час\(t\), задається:\[\begin{aligned} x(t)&=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}at^2\\ 40\text{m}&=(0)+(0)t+\frac{1}{2}(1.31\text{m/s}^{2})t^2\\ \therefore t&=\sqrt{\frac{2(40\text{m})}{(4.67\text{m/s}^{2})}}=4.14\text{s}\end{aligned}\]\(4.14\text{s}\) Кеті має ковзає блаженство перед посадкою обличчя у велику купу снігу.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Два складених ящика.

Два ящика з масами,\(m_1\) and \(m_2\), respectively, are placed on top of one another, as shown in Figure \(\PageIndex{3}\). The coefficient of static friction between the two boxes and between the boxes and the ground is \(\mu_s=0.3\). A constant force, \(\vec F\), is exerted on box 2, as shown. Show that it is impossible for box 1 to accelerate.

Відповідь

Єдиний спосіб прискорення коробки 1 - це якщо коробка 2 «тягне» коробку 1 разом з нею через силу тертя, що чиниться на межі розділу між коробкою 1 і коробкою 2. Нам потрібно показати, що сила (статичного) тертя, що чиниться землею на коробці 1, завжди буде принаймні такою ж великою, як сила тертя, що чиниться коробкою 2 на коробці 1. Найбільша сила тертя, яку коробка 2 може чинити на коробці 1, - це сила статичного тертя, тому ми моделюємо всі сили між поверхнями як сили статичного тертя.

Сили на коробці 2 складають:

• \(\vec F_{2g}\), його вага.
• \(\vec N_2\), нормальний, що чиниться коробкою 1.
• \(\vec f_{2s}\), сила статичного тертя, що чиниться коробкою 1.
• \(\vec F\), прикладеної сили.

Сили на коробці 1 складають:

• \(\vec F_{1g}\), його вага.
• \(-\vec N_2\), нормальна сила, що чиниться коробкою 2 (вниз).
• \(-\vec f_{2s}\), сила статичного тертя, що чиниться коробкою 2.
• \(\vec N_1\), нормальна сила, що чиниться землею.
• \(\vec f_{1s}\), сила статичного тертя, що чиниться землею.

Вони проілюстровані на діаграмі вільного тіла на рис\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Сили на двох коробках.

Розглядаючи\(y\) складову Другого закону Ньютона для коробки 2 (верхня коробка), ми можемо знайти значення нормальної сили, що чиниться коробкою 1:\[\begin{aligned} \sum F_y &= N_2 - F_{2g} = 0\\ \therefore N_2 &= m_2 g\end{aligned}\] Максимальна величина сили статичного тертя\(f_{2s}\), між двома коробками задається:\[\begin{aligned} f_{2s} = \mu_sN_2 = \mu_s m_2g\end{aligned}\] Це максимальна величина сили, яка може прискорити коробку 1. Розглядаючи\(y\) складову Другого закону Ньютона, застосованого до коробки 1, ми можемо знайти\(N_1\), нормальна сила, що чиниться землею:\[\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{1g} - N_2 = 0\\ \therefore N_1 = F_{1g}+N_2 = (m_1+m_2)g\end{aligned}\] Сила статичного тертя, що чиниться землею на коробці 1, буде у зворотному напрямку як сила статичного тертя чиниться коробкою 2. Максимальна величина сили статичного тертя, що чиниться землею, задається:\[\begin{aligned} f_{1s} = \mu_sN_1 = \mu_s (m_1+m_2)g\end{aligned}\] Ми бачимо, що максимальна сила статичного тертя, що чиниться землею, завжди перевищить величину сили статичного тертя, що чиниться коробкою 2. Таким чином, неможливо натиснути на коробку 2, щоб зробити коробку 1 рухатися (до тих пір, поки сила статичного тертя між двома коробками і коробкою і землею однакові).