5.6: Неінерційні рамки опорних і інерційних сил

У попередніх розділах ми описували, як використовувати Перший закон Ньютона для ідентифікації інерційної системи відліку (тієї, де перший закон Ньютона відповідає дійсності), щоб визначити сили, що діють на об'єкт, щоб можна було застосувати Другий закон Ньютона. Застосовувати Закони Ньютона можна в неінерційній системі відліку за умови, що включається додаткова «інерційна сила».

Припустимо, що ми вішаємо масу\(m\), зі стелі нашого автомобіля за допомогою мотузки. Якщо автомобіль розганяється вперед з постійним прискоренням\(\vec a\), то маса буде гойдатися в бік задньої частини автомобіля і струна не буде вертикальною до тих пір, поки автомобіль збереже своє постійне прискорення, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Оскільки автомобіль зберігає своє прискорення, підвісна маса не буде рухатися щодо автомобіля.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Маса, що висить зі стелі автомобіля, що розганяється вправо.

Ми можемо проаналізувати цей рух з інерційної системи відліку землі. У цій системі відліку діють дві сили, що діють на масу:

1. \(\vec F_g\), Його вага, з величиною\(mg\).
2. \(\vec T\), Сила натягу, що чиниться струною, в напрямку струни.

Дві сили показані на діаграмі вільного кузова малюнка\(\PageIndex{2}\), поряд з системою координат, обраної таким\(x\) чином, щоб вказувати в напрямку прискорення масу (що таке ж, як і прискорення автомобіля, так як маса не рухається щодо автомобіля).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Схема вільного кузова для сил, що діють на масу, підвішену до стелі прискорювального автомобіля.

Виписуючи\(x\) і\(y\) складові Другого закону Ньютона для маси,\[\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g= m \vec a\\ \therefore\sum F_x &= T\sin\theta = ma\\ \therefore\sum F_y &= T\cos\theta-F_g=0\end{aligned}\] ми маємо: Ми можемо замість цього змоделювати рух маси в рамці відліку автомобіля, роблячи вигляд, що сидимо в машині. У рамці відліку автомобіля маса нерухома, і при цьому не має розгону. У неінерційній системі відліку автомобіля ми все ще маємо сили ваги та натягу, що діють на масу; вони мають таку ж величину та напрямок, як і в інерційній системі відліку землі. Можна було замінити струну пружинною шкалою, а спостерігачі в машині і на землі погодяться, що весняна шкала читає однакове число. Ці спостерігачі також погодяться з тим, що вага маси однаковий. Однак двоє спостерігачів розходяться в думці про те, чи прискорюється маса, так як спостерігач в машині вимірює, що маса не має прискорення.

У рамці відліку автомобіля прискорення маси дорівнює нулю. Якщо ми хочемо, щоб Другий закон Ньютона тримався, це означає, що в системі відліку автомобіля сума сил на масу повинна дорівнювати нулю: з аналізу руху з системи відліку землі\[\begin{aligned} \sum \vec F & = 0\quad\quad\text{(car reference frame)}\end{aligned}\] ми знаємо, що векторна сума сил\(\vec T\) і \(\vec F_g\)дорівнює\(m\vec a\). Єдиний спосіб, щоб сила в системі відліку автомобіля склалася до нуля - це якщо є додаткова сила\(\vec F_I\), яка надається в цій системі відліку:\[\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(car reference frame)}\end{aligned}\] Оскільки ми знаємо\(\vec T + \vec F_g=m\vec a\), що ми можемо замінити це в рівнянні вище:\[\begin{aligned} \sum \vec F &= \vec T + \vec F_g + \vec F_I =0\quad\quad\text{(car reference frame)}\\ &=m\vec a+\vec F_I = 0\\ \therefore F_I &= -m\vec a\end{aligned}\] і ми виявити, що ця «сила інерції»\(\vec F_I\), повинна надаватися в протилежному напрямку від прискорення системи відліку, з величиною, заданою\(ma\). Діаграма вільного кузова для маси, як це видно в опорній рамці автомобіля, проілюстрована на рис\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Діаграма вільного кузова для сил, що діють на масу, підвішену до стелі розгінного автомобіля, в рамках відліку автомобіля. Додаткова сила інерції\(\vec F_{I} = −m\vec a\), повинна бути включена.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Ви перебуваєте в ліфті, який розганяється вниз з постійним прискоренням\(\vec a\). You are standing on a spring scale. What is the value of your weight as displayed on the spring scale? Assume that your mass is \(m\). (The spring scale will display your weight as having the same magnitude as the normal force that the scale exerts on you).

Рішення:

Ми можемо змоделювати ваш рух в неінерційній системі відліку ліфта, де ваше прискорення дорівнює нулю. Сили, які чиниться на вас, це:

1. \(\vec F_g\), Ваша вага, з величиною\(mg\).
2. \(\vec N\), нормальна сила, що чиниться вгору весняною шкалою, яка є вагою, виміряною шкалою.
3. \(\vec F_I\), сила інерції з величиною\(ma\), яка чиниться вгору (в напрямку, протилежному прискоренню системи відліку).

Сили в рамках відліку елеватора проілюстровані на малюнку 5.6.4 разом з системою координат, яка була обрана таким чином, щоб сили були співлінійними з однією з осей (так як прискорення дорівнює нулю).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Діаграма вільного тіла для сил, що чиниться на людину, змодельована в системі відліку, яка прискорюється вниз.

Всі сили знаходяться у вертикальному напрямку, тому нам потрібно лише виписати\(y\) компонент Другого закону Ньютона, який ми легко можемо вирішити для нормальної сили:\[\begin{aligned} \sum F_y = N+F_I-F_g &=0\\ N + ma -mg &=0\\ \therefore N=m(g-a)\end{aligned}\] Пам'ятайте, що потрібно уважно ставитися до знаків. Ми включили той факт, що\(F_I\) подається вгору зі знаком плюс в перше рівняння (\(y\)складова\(\vec F_I=0\hat x+F_I\hat y\) є\(+F_I\)). Тоді ми використали той факт, що величина сили інерції задається\(F_I=ma\) у другому рядку.

Ви можете легко переконатися, що ви отримаєте той самий результат в інерційній системі відліку землі, де немає сили інерції, але прискорення ненульове (і в негативному\(y\) напрямку, якщо ми використовуємо ту ж систему координат):\[\begin{aligned} \sum F_y =N-mg = -ma \quad\quad\text{(ground frame of reference)}\end{aligned}\] Нормальна сила, яка відповідає вазі, як зчитується шкалою, є таким чином\(N=m(g-a)\). Ми повинні запитати себе, чи має сенс результат:

• Оскільки розмірність\(a\) і\(g\) однакові,\(m(g-a)\) має правильний вимір сили.
• Якщо прискорення,\(a\), дорівнює нулю, то величина дорівнює\(N=mg\), як і належить, якщо ліфт знаходиться в стані спокою по відношенню до землі.
• Якщо прискорення\(a\) дорівнює, то нормальна сила\(g\), що чиниться шкалою, дорівнює рівному нулю, а ваш виміряний вага дорівнює нулю. Це те, що ми називаємо «невагомим», що не є хорошим описом, оскільки сила ваги все ще застосовується, і це нормальна сила, яка дорівнює нулю.
• Якщо прискорення\(a\),, більше\(g\), то нормальна сила буде негативною. Це відповідає ліфту, що прискорюється вниз швидше, ніж гравітація, і модель виходить з ладу, оскільки в цьому випадку ви спочатку вдаритеся до стелі ліфта, який потім чинив би нормальну силу вниз з величиною\(m(a+g)\).