5.4: Застосування законів Ньютона

Тепер, коли ми представили всі поняття з теорії класичної фізики Ньютона, ми представляємо деякі загальні стратегії побудови моделей, які використовують теорію. Нагадаємо, що якщо ми можемо описати рух всіх об'єктів, що цікавлять нас, ми описали все, що можемо. Другий закон Ньютона дозволяє визначити прискорення об'єкта на основі чистої сили, що діє на об'єкт. Після того, як ми визначили прискорення всіх об'єктів, що цікавлять, ми побудували повну модель.

Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є виявлення сил, які чиняться на об'єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є виявлення сил, які чиняться на об'єкт. Найважливішим кроком у застосуванні теорії Ньютона є виявлення сил, які чиняться на об'єкт. Тепер, коли ви прочитали його три рази, ви розумієте, що цей крок важливий, правда?!

Стратегія побудови моделі руху об'єкта за допомогою теорії Ньютона проста:

1. Визначте інерційну систему відліку, в якій будується модель.
2. Визначте сили, що діють на об'єкт (чи згадували ми, що цей крок важливий?).
3. Намалюйте діаграму вільного тіла.
4. Застосуйте Другий закон Ньютона.

виявлення сил

Першим кроком у застосуванні теорії Ньютона є виявлення всіх сил, які діють на об'єкт. Це можна зробити, запитавши себе: «що може бути штовхати або тягнути на предмет?» , а також пробігаючи список сил, який ми перерахували в Розділі 5.2, щоб визначити, чи є будь-яка з них тут актуальна. Для зручності довідки ми відтворюємо типи сил тут і включаємо деякі питання, які ви можете задати собі, щоб вирішити, включати чи ні відповідну силу:

• Вага (чи знаходиться об'єкт поблизу поверхні планети?).
• Нормальні сили (чи стикається предмет з будь-якою поверхнею? Могло бути більше одного!).
• Сили тертя (чи є статичні або кінетичні сили тертя, пов'язані з нормальними силами?).
• Сили натягу (щось на зразок мотузки, що тягне за об'єкт?).
• Сили перетягування (чи рухається об'єкт через рідину?).
• Пружинні сили (чи є пружина, що штовхає або тягне на предмет?).
• Прикладені сили (щось інше штовхає або тягне на предмет?).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Блок на горизонтальному столі.

Блок маси\(m\) знаходиться в стані спокою на горизонтальному столі, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Які сили чиниться на блок?

Рішення:

Сили на блоці проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{2}\) і складають:

1. \(\vec F_g\), його вага.
2. \(\vec N\), Нормальна сила, що чиниться площиною. Нормальна сила перпендикулярна межі розділу між столом і блоком. Він вказує вгору в «реакції» на силу вниз, яку блок чинить на стіл. Зниження сили від блоку на стіл не відображається, оскільки ця сила чиниться не на блок, а на стіл.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Сили на блок на горизонтальному столі.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Блок маси\(m\) is at rest on a inclined surface, as shown in Figure 5.4.3. What forces are exerted on the block?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Блок на похилій поверхні.

Рішення:

Сили на блоці проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{4}\) і складають:

1. \(\vec F_g\), його вага.
2. \(\vec N\), Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_s\), Сила статичного тертя, що чиниться похилою площиною. Без цієї сили блок ковзав би вниз. Сила знаходиться в напрямку, протилежному перешкоджає руху і паралельна інтерфейсу (і перпендикулярно нормальній силі).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Сили на блок на похилій поверхні.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Блок, що спирається на клиноподібний блок.

Блок маси\(m\) is at rest on a wedge-shaped block of mass \(M\) itself at rest on a horizontal table, as shown in Figure \(\PageIndex{5}\). What forces are exerted on each of the two blocks?

Рішення:

Оскільки буде занадто безладно малювати всі сили на одній схемі, ми намалювали кожен блок окремо на малюнку\(\PageIndex{5}\). Зазвичай, коли кілька блоків укладаються один на одного, найпростіше почати з зусиль на верхньому блоці. При цьому верхній блок знаходиться в тому ж стані, що і блок з Прикладу 5.4.2. Сили, що чиниться на верхній блок, складають:

1. \(\vec F_g^m\), його вага.
2. \(\vec N^m\), Нормальне зусилля від клиноподібного блоку.
3. \(\vec f_s^m\), Сила статичного тертя, що чиниться клиноподібним блоком.

Сили, що чиниться на клиновидний блок, складають:

1. \(\vec F_g^M\), його вага.
2. \(\vec N^M\), нормальна сила, що чиниться малим блоком. Зверніть увагу, що ця сила дорівнює за величиною і протилежна в напрямку до\(\vec N^m\) (дві сили,\(\vec N^m\) і\(\vec N^M\), які знаходяться на різних об'єктах, є парою дії/реакції сил).
3. \(\vec f_s^M\), сила тертя, що чиниться малим блоком (знову ж таки, це утворює дію/реакцію пари сил з\(\vec f_s^m\)).
4. \(N_2^M\), Нормальна сила, що чиниться столом.

Зусилля для обох блоків показані на малюнку\(\PageIndex{6}\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Сили на блок і клиновидний блок.

Безкоштовні схеми тіла

Для того, щоб більш чітко проаналізувати сили на об'єкті, дуже гарна ідея намалювати «Діаграму вільного тіла» (FBD). Діаграма вільного тіла - це просто діаграма, де ми малюємо сили на одному об'єкті і представляємо об'єкт як точку. Оскільки об'єкт є точкою, ми не переживаємо, де на об'єкт діють сили. У наступних розділах ми побачимо, що для розширених тіл має значення, де застосовуються сили. Однак Закони Ньютона, представлені до цих пір, дійсні лише для об'єктів, які можуть бути представлені у вигляді невеликої точки.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Схема вільного тіла для блоку і клиноподібного блоку з прикладу 5.4.3.

У прикладі 5.4.3 вище ми намалювали б одну діаграму вільного тіла для кожного об'єкта (кожної маси), як показано на малюнку\(\PageIndex{7}\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Два з'єднаних блоку ковзають вниз по похилій площині.

Два блоки, мас\(m_{1}\) і\(m_{2}\), розміщені на похилій площині, яка робить кут\(θ\) з горизонталлю. Блоки з'єднуються безмасової струною, як показано на малюнку\(\PageIndex{8}\). Два блоки ковзають і прискорюються вниз з прискоренням\(\vec a\), як показано на малюнку. Коефіцієнт кінетичного тертя між площиною і будь-яким блоком дорівнює\(µ_{k}\). Намалюйте схему вільного тіла для кожного блоку.

Рішення:

Спочатку ми ідентифікуємо сили на кожній масі (кожному блоці), які потім використовуємо для складання діаграми вільного тіла, показаної на малюнку\(\PageIndex{8}\). За масою\(m_1\) сили складають:

1. \(\vec F_{g1}\), його вага.
2. \(\vec N_1\), Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_{k1}\), Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану\(f_{k1}=\mu_kN_1\).
4. \(\vec T\), Сила натягу від струни.

За масою\(m_2\) сили складають:

1. \(\vec F_{g2}\), його вага.
2. \(\vec N_2\), Нормальна сила від похилій площині.
3. \(\vec f_{k2}\), Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану\(f_{k2}=\mu_kN_2\).
4. \(-\vec T\), Сила натягу від струни. Це та ж сила, що і на\(m_1\), але в зворотному напрямку. Ми вирішили позначити силу як\(-\vec T\), замість того, щоб використовувати іншу змінну, оскільки це просто негатив вектора, який представляє силу натягу на\(m_1\).

На\(\PageIndex{9}\) малюнку ми показали сили на кожному блоці за допомогою діаграми вільного тіла. Ми також відтворили вектор для прискорення (ми намалювали вектор для прискорення за допомогою більш товстої стрілки, щоб вказати, що вона має інший вимір). Ми також відтворили кут\(\theta\) на діаграмі вільного тіла, оскільки це корисно, коли діаграма вільного тіла використовується з Другим законом Ньютона.

Малюнок\(\PageIndex{8}\).

Використання другого закону Ньютона

Застосування Другого закону Ньютона є простим, як тільки всі сили, що діють на об'єкт, були ідентифіковані. Таким чином, ви повинні переконатися, що ви витрачаєте більшу частину часу на малювання хорошої та повної схеми вільного тіла, перш ніж продовжувати.

Другий закон Ньютона - векторне рівняння, яке пов'язує векторну суму всіх сил, що діють на об'єкт, і вектор прискорення об'єкта. Це відповідає одному скалярному рівнянню на компонент вектора.

\[\begin{aligned} \sum \vec F &=m\vec a\\ \sum F_x &= ma_x \\ \sum F_y &= ma_y \\ \sum F_z &= ma_z\end{aligned}\]

Для того, щоб використовувати Другий закон Ньютона, нам потрібно ввести систему координат, щоб ми могли працювати з компонентами векторів (сили та прискорення) у цій системі координат. Зазвичай хорошим вибором системи координат є та, де вісь\(x\) (або\(y\)) паралельна вектору прискорення. \(\PageIndex{10}\)На малюнку показана діаграма вільного тіла з\(m_1\) блоку з попереднього прикладу (приклад 5.4.4) разом з хорошим вибором системи координат.

Малюнок\(\PageIndex{9}\), приклад 5.4.4.

Щоб застосувати Другий закон Ньютона, використовуючи діаграму вільного тіла та систему координат з Figure\(\PageIndex{10}\), ми спочатку записуємо весь вектор, а потім ідентифікуємо їх\(x\) та\(y\) компоненти. Вектори сили такі: Тепер\[\begin{aligned} \vec T &= T\hat x+0\hat y\\ \vec f_{k1}&=-f_{k1}\hat x+0\hat y\\ \vec F_{g1}&=m_1g(\sin\theta \hat x-\cos\theta \hat y)\\ \vec N_1&=0\hat x+N_1\hat y\end{aligned}\] ми можемо виписати\(x\) компонент Другого закону Ньютона:\[\begin{aligned} \sum F_x = T-f_{k1}-F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\\ \therefore T-f_{k1}-F_{g1}\sin\theta &= m_1 a\end{aligned}\] де ми зауважимо, що нормальна сила не має складової в\(x\) напрямку. \(y\)Складова Другого закону Ньютона для маси\(m_1\) задається:\[\begin{aligned} \sum F_y = N_1-F_{g1}&=0\\ \therefore N_1-F_{g1}&=0\end{aligned}\] де відзначимо, що сили натягу і тертя не мають\(y\) складової. Два рівняння, які ми отримали вище для\(x\) і\(y\) повністю вказують рух\(m_1\) блоку, якщо всі величини відомі ³.

Кілька приміток щодо застосування Другого закону Ньютона:

• Застосовуючи Другий закон Ньютона, проаналізуйте кожну масу в задачі окремо. При цьому не важливо, що блок\(m_1\) з'єднаний мотузкою з блоком\(m_2\). Після того, як ви визначили всі сили, що діють на\(m_1\), ви можете написати Другий закон Ньютона для\(m_1\).
• Другий закон Ньютона - векторне рівняння; це означає, що воно вірно для кожної (скалярної) складової задіяних векторів.
• Ви можете вибрати систему координат, тому виберіть ту, яка дозволяє легко записувати векторні компоненти. Хороший вибір - вибрати\(x\) паралельний вектору прискорення, щоб вам не довелося розбивати вектор прискорення на складові. Вибір системи координат робиться тільки для того, щоб дозволити вам виписати складові Другого закону Ньютона на основі діаграми вільного тіла.
• Обробляти кожну масу окремо (так як Другий закон Ньютона вірний тільки для окремої маси). Це означає, що кожна маса матиме власну діаграму вільного тіла, і ви можете вибрати систему координат, найбільш зручну для даної діаграми вільного тіла. Зокрема, це означає, що вам не потрібно вибирати однакову систему координат для різних мас у задачі.

Наступний приклад показує, як написати Другий закон Ньютона для системи з двох блоків.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Два блоку з'єднані безмасовою струною і безмасовим шківом. Обидва блоки прискорюються.

Блок маси\(m_1\) is placed on an incline that makes an angle of \(\theta\) with the horizontal. The block of mass \(m_1\) is connected by a massless string through a massless pulley to a second block of mass \(m_2\), which rests on a horizontal surface. The blocks are accelerating in such a way that the block of mass \(m_1\) is accelerating down the incline, as shown in Figure \(\PageIndex{5}\). The coefficient of kinetic friction between either block and the surface it is resting on is \(\mu_k\). Write Newton’s Second Law for both blocks.

Рішення:

Спочатку виявляємо сили на кожній масі (кожному блоці). За масою\(m_1\) сили складають:

1. \(\vec F_{g1}\), його вага.
2. \(\vec N_1\), Нормальна сила, що чиниться похилою площиною.
3. \(\vec f_{k1}\), Сила кінетичного тертя, що чиниться похилою площиною. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану\(f_{k1}=\mu_kN_1\).
4. \(\vec T_1\), Сила натягу від струни.

За масою\(m_2\) сили складають:

1. \(\vec F_{g2}\), його вага.
2. \(\vec N_2\), Нормальна сила від горизонтальної поверхні.
3. \(\vec f_{k2}\), сила кінетичного тертя, що чиниться горизонтальною поверхнею. Сила знаходиться в протилежному напрямку руху, і має величину, задану\(f_{k2}=\mu_kN_2\).
4. \(\vec T_2\), Сила натягу від струни. Ця сила має ту ж величину, що і сила натягу, що\(\vec T_1\) чиниться на масу\(m_1\), оскільки шків безмасовий.

Потім ми можемо продовжити малювати діаграму вільного тіла для кожної маси і використати її, щоб виписати Другий закон Ньютона. Для маси\(m_1\) діаграма вільного тіла показана на рис\(\PageIndex{12}\). Ми вибрали систему координат, яка має\(x\) вісь паралельну прискоренню блоку, а\(y\) вісь вгору і перпендикулярно\(x\) осі, як показано на малюнку.

Малюнок\(\PageIndex{12}\): Діаграма вільного тіла для\(m_{1}\).

Бо\(m_1\), ми можемо написати Другий закон Ньютона, починаючи зі\(x\) складових:\[\begin{aligned} \sum F_x = F_{g1}\sin\theta-f_{k1}-T_1&=m_1a_1\\ \therefore m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T_1 &= m_1 a_1\end{aligned}\] де у другому рядку ми використовували величину ваги (\(F_{g1}=m_1g\)) і сили кінетичного тертя (\(f_{k1}=\mu_kN_1\)). Для\(y\) компонента Другого закону Ньютона, в якому прискорення не має складової, ми маємо:\[\begin{aligned} \sum F_y = N_1 - F_{g1}\cos\theta &= 0\\ \therefore N_1=m_1g\cos\theta\end{aligned}\] що показує нам, що величину нормальної сили легко можна виразити через вагу (\(F_{g1}=m_1g\)) і кут нахилу.

Для\(m_2\), ми можемо діяти приблизно так само, вибираючи іншу систему координат, оскільки вектор прискорення для\(m_2\) точок в іншому напрямку (нам не потрібно вибирати іншу систему координат, але ми можемо, якщо знайдемо, що це полегшує ситуацію). Діаграма вільного тіла для\(m_2\) показана на малюнку\(\PageIndex{13}\) разом з нашим вибором системи координат.

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Діаграма вільного тіла для\(m_{2}\).

Почнемо з виписання\(x\) складової Другого закону Ньютона для\(m_2\):\[\begin{aligned} \sum F_x = T_2 - f_{k2} &= m_2 a_2\\ \therefore T_2 - \mu_k N_2 = m_2 a_2\end{aligned}\] де знову ж таки, ми висловили кінетичну силу тертя, використовуючи нормальну силу і коефіцієнт кінетичного тертя. \(y\)Компонент Другого закону Ньютона дає:\[\begin{aligned} \sum F_y = F_{g2}-N_2 &=0\\ \therefore N_2 = m_2g\end{aligned}\] де знову ж таки, ми виражали вагу в перерахунку на масу і\(g\), і виявляємо, що нормальна сила має таку ж величину, як і вага.

Тепер, коли ми написали Другий закон Ньютона для кожної маси, ми можемо записати всі чотири рівняння, які ми отримали для опису системи двох мас. Слід також зазначити, що величина сил натягу однакова для двох мас (\(T_1=T_2=T\)), і що оскільки маси з'єднані струною, величина їх векторів прискорення однакова (\(a_1=a_2=a\)). Використовуючи це, ми можемо описати повну систему з наступними 4 рівняннями:\[\begin{aligned} m_1 g\sin\theta -\mu_k N_1 - T &= m_1 a\\ N_1=m_1g\cos\theta\\ T - \mu_k N_2 = m_2 a\\ N_2 = m_2g\end{aligned}\] Зі змінних вище (\(m_1\)\(m_2\),\(\mu_k\),\(T\),\(N_1\),\(N_2\),\(a\)), можна було б тільки потрібно вказати всі, крім чотирьох з них, щоб повністю описати рух системи. Наприклад, якщо вказати дві маси і коефіцієнт кінетичного тертя, можна визначити всі інші змінні.

Виноски

3. Оскільки у нас є два рівняння, нам технічно потрібно лише вказати всі, крім двох величин, щоб мати можливість повністю моделювати рух блоку.