4.7: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Ітан стрибає перешкодами. Він отримує біговий старт, рухаючись зі швидкістю\(3\text{m/s}\). The hurdle is \(0.5\text{m}\) high and the maximum speed that he can have when he leaves the ground is \(5\text{m/s}\). (You can assume Ethan is a point particle, and ignore air resistance).

1. Яка найближча відстань від перешкоди, на якій Ітан може стрибати і все ще очистити перешкоду?
2. Якої максимальної висоти він досягає?

Відповідь

Наш підхід полягатиме в\(x\) розгляді і\(y\) складових руху окремо. Починаємо з складання схеми і вибору нашої системи координат. Ми\(y\) виберемо вертикальний і позитивний вгору і бути\(x\) в напрямку, в якому працює Ітан. Ми вибираємо походження, щоб бути місцем, де Ітан залишає землю для стрибка, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ітан хоче очистити\(0.5\text{ m}\) перешкоду і має початкову швидкість\(\vec v_{0}\) з\(y\) компонентами\(x\) і.

а Швидкість Ітана на початку стрибка -\(v_0=5\text{m/s}\) і горизонтальна (\(x\)) складова його швидкості\(v_x=3\text{m/s}\). \(y\)Складова його початкової швидкості\(v_{0y}\),, задається:\[\begin{aligned} v_x^2+v_{0y}^2&=v_0^2\\ v_{0y}&=\sqrt{v_0^2-v_x^2}\\ v_{0y}&=\sqrt{(5\text{m/s})^2-(3\text{m/s})^2}=4\text{m/s}\end{aligned}\] Ми вибрали походження на початку стрибка, так що Ітан\(x\) і\(y\) координати в часі\(t=0\)\(x_0=0\) і\(y_0=0\), відповідно. Як тільки Ітан опиниться в повітрі, не буде прискорення в\(x\) напрямку, а єдине прискорення - у\(y\) напрямку і буде те, що через гравітацію. Положення Ітана в будь-який момент\(t\) можна описати наступними рівняннями:\[\begin{aligned} x(t)&=v_{x}t\\ y(t)&=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2\end{aligned}\] де\(g\) відбувається прискорення за рахунок сили тяжіння,\(g=9.8\text{m/s^2}\).

Ми хочемо визначити значення,\(x(t)\) коли вертикальне зміщення\(y(t)\),, дорівнює висоті перешкоди,\(h\). Таким чином, ми знаходимо значення\(t\) коли,\(y=0.5\text{m}\) а потім знаходимо значення\(x\) в той час.

Ми можемо переставити рівняння для\(y(t)\) і вирішити отримане квадратичне для\(t\) (отримаємо два рішення):\[\begin{aligned} 0&=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t-h\\ 0&=\frac{1}{2}(-9.8\text{m/s}^{2})t^2+(4\text{m/s})t-0.5\text{m}\\ t&=0.15\text{s},\quad 0.66\text{s}\end{aligned}\] Стрибок буде параболою, а Ітан перетне висоту\(0.5\text{m}\) двічі, один раз на шляху вгору, і один раз на шляху вниз. Ми хочемо знати, коли Ітан досягає\(0.5\text{m}\) вперше (на шляху вгору), тому вибираємо\(t=0.15\text{s}\). Горизонтальне зміщення в цей час таке:\[\begin{aligned} x&=v_xt\\ &=(3\text{m/s})(0.15\text{s})\\ &=0.45\text{m}\end{aligned}\] Тому він може підійти так близько, як\(0.45\text{m}\) від перешкоди, перш ніж йому доведеться стрибати, якщо його початкова горизонтальна швидкість\(3\text{m/s}\).

б Рух Ітана має параболічну форму. На максимальній висоті вертикальна швидкість Ітана дорівнює нулю. Ми можемо моделювати лише вертикальну частину руху, щоб вирішити значення\(y\) коли\(v_y=0\). Ми знаємо такі величини:\[\begin{aligned} v_{0y}&=4\text{m/s}\\ v_y&=0\test{m/s}\\ g&=9.8\text{m/s}^{2}\end{aligned}\] Найпростіший спосіб визначити\(y\) - використовувати формулу,\[\begin{aligned} v_y^2&=v_{0y}^2-2g(y-y_0)\\ \therefore y&=\frac{v_y^2-v_{0y}^2}{(-2g)}\end{aligned}\] підставляючи наші значення на\(v_y\)\(v_{0y}\), і\(g\), отримуємо:\[\begin{aligned} y_{max}&=\frac{(-4\text{m/s})^2}{(2)(-9.8\text{m/s}^{2})}\\ y_{max}&=0.82\text{m}\end{aligned}\] Ітан досягає максимальної висоти \(0.82\text{m}\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Ковбой розмахує аркан над головою. Аркан рухається з постійною швидкістю по колу радіусу\(1.5\text{m}\) in the horizontal plane. A hawk flies toward the lasso at \(50\text{km/h}\). The hawk sees the end of the lasso moving at \(60\text{km/h}\) when the lasso is directly in front of it (see Figure \(\PageIndex{2}\)). In the reference frame of the cowboy ...

1. Скільки часу потрібно, щоб аркан завершив один оборот? (Підказка: З точки зору яструба, аркан рухається до нього на додаток до руху по колу. Вам доведеться використовувати свої знання щодо відносного руху, щоб вирішити цю проблему!)
2. Що таке доцентрове прискорення кінця аркана?
3. Що таке кутове прискорення аркана?

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Проблема, як розглядається зверху. На цій схемі зображений момент, коли кінець аркана проходить перед яструбом.

Відповідь

а. потрібно визначити швидкість кінця аркана в кадрі відліку ковбоя, знаючи його швидкість в системі відліку яструба і знаючи швидкість яструба. Як тільки ми дізнаємося швидкість аркана в кадрі відліку ковбоя, ми можемо легко визначити, скільки часу потрібно, щоб завершити один оборот (його період).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Дві системи координат вирівняні так, що позитивні\(y^{'}\) та позитивні\(y\) знаходяться в одному напрямку. Показані вектори швидкостей яструба і аркана в системі відліку ковбоя.

Ми починаємо з введення систем координат для яструба (\(xy\)) та ковбоя (\(x'y'\)), і вибираємо, щоб осі\(x\)\(x'\) (\(y\)\(y'\)) і () були паралельними. Ми вибираємо такі осі, які\(x\) знаходяться праворуч (коли видно зверху, як на малюнку\(\PageIndex{3}\)) і\(y\) знаходиться у напрямку руху яструба, як видно в опорній рамці ковбоя. Вектор швидкості яструба в кадрі відліку ковбоя такий:\[\begin{aligned} \vec v'_H = v'_H \hat y = (50{km/h})\hat y\end{aligned}\] У системі відліку яструба аркан матиме\(y\) складову швидкості в негативному\(y\) напрямку з тією ж величиною, що і швидкість яструба, і невідомий компонент ,\(v_{Lx}\), в\(x\) напрямку. Швидкість аркана в системі відліку яструба така:\[\begin{aligned} \vec v_L=v_{Lx}\hat x - v'_H \hat y\end{aligned}\] Однак ми знаємо швидкість аркана в системі відліку яструба (\(v_L=60\text{km/h}\)), тому ми можемо легко знайти\(v_{Lx}\):\[\begin{aligned} v_{Lx}=\sqrt{v_L^2-v'^2_H}=\sqrt{(60\text{km/h})^2-(50\text{km/h})^2}=33.17\text{km/h}\end{aligned}\]

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Векторне додавання для визначення швидкості аркана в кадрі відліку ковбоя.

У ковбойському кадрі відліку аркан матиме вектор швидкості (рис. 4.7.4)\(\vec v'_L\), заданий:\[\begin{aligned} \vec v'_L &= \vec v'_H + \vec v_L\\ &= v'_H \hat y + v_{Lx}\hat x - v'_H \hat y\\ &=v_{Lx}\hat x = (33.17\text{km/h})\hat x\end{aligned}\] Тобто в кадрі відліку ковбоя аркан має швидкість, яка знаходиться в\(x\) напрямку. Це відповідає швидкості кінця аркана рівномірним круговим рухом навколо кола радіуса\(R=1.5\text{m}\).\(v_s\) Таким чином, ми можемо знайти час, необхідний для одного обороту:\[\begin{aligned} v_s &= \frac{2\pi R}{T}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v_s} =\frac{2\pi (1.5\text{m})}{(33.17\text{km/h})} = \frac{2\pi (1.5\text{m})}{(9.2\text{m/s})}=1.02\text{s}\end{aligned}\] де ми перетворили швидкість в\(\text{m/s}\) перед визначенням часу.

б Рух є рівномірним круговим рухом, тому він має доцентрове прискорення, задане\[\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{v_s^2(t)}{R}\end{aligned}\] Щоб знайти доцентрове прискорення кінця аркана, ми просто використовуємо наші значення для\(v_s\) і\(R\). \[\begin{aligned} a_c(t)&=\frac{(9.2\text{m/s})^2}{1.5\text{m}}=56\text{m/s}^{2}\end{aligned}\]

c Кутове прискорення аркана дорівнює нулю. Кутове прискорення відноситься до швидкості зміни кутової швидкості (швидкості, з якою обертається аркан), яка є постійною для рівномірного кругового руху.