4.5: Резюме

Ключові виноси

Коли рух об'єкта знаходиться в більш ніж одному вимірі, ми описуємо положення об'єкта за допомогою вектора,\(\vec{r}\). \[\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z\end{aligned}\]де\(x(t)\)\(y(t)\), і\(z(t)\), - координати положення об'єкта. Ми ставимося до руху в кожному вимірі як самостійного.

Миттєвий вектор швидкості і вектор прискорення задаються:\[\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t)\end{aligned}\]

Якщо вектор прискорення є постійним (за величиною і напрямком), то положення і швидкість об'єкта описуються:\[\begin{aligned} \vec r(t) &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec at^2 \\ \vec v(t) &= \vec v_0 + \vec a t\end{aligned}\] де кожне з цих векторних рівнянь являє собою 3 незалежних рівняння, по одному для кожного з\(x\)\(y\), і\(z\) складова векторів.

Якщо об'єкт має положення\(\vec{r}^A\), виміряне в системі відліку\(xy\), яка рухається з постійною швидкістю,\(\vec{v}'^B\) як вимірюється у другому кадрі відліку\(x'y'\), то в системі\(x'y'\) відліку:\[\begin{aligned} \vec r'^A(t) &= \vec v'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec v'^A(t) &=\vec v'^B+\vec v^A(t)\\ \vec a'^A(t)&=\vec a^A(t)\end{aligned}\] An прискорення може змінювати величину і/або напрямок вектора швидкості.

1. Компонент вектора прискорення, паралельний вектору швидкості, змінює величину швидкості.
2. Складова вектора прискорення, яка перпендикулярна вектору швидкості, змінює напрямок швидкості.

Вектор прискорення для руху в двох вимірах можна записати як суму векторів, паралельних (\(\vec a_{\parallel}\)) і перпендикулярних (\(\vec a_{\perp}\)) вектору швидкості:\[\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt} = \vec a_{\parallel} + \vec a_{\perp}\end{aligned}\]

Якщо положення об'єкта, що рухається по колу радіуса,\(R\) описується його положенням уздовж вигнутої осі\(s\), то його положення по колу можна описати за допомогою кута\(\theta\), в радіанах:\[\begin{aligned} \theta(t)=\frac{s(t)}{R}\end{aligned}\] Для об'єкта, що рухається по колу, ми може записати вектор його положення\(\vec r(t)\), як:\[\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\end{aligned}\] Кутова швидкість\(\omega\),, це швидкість зміни кута. Кутове прискорення - це швидкість зміни кутової швидкості:\[\begin{aligned} \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\end{aligned}\] Лінійні кінематичні величини можна знайти з кутових величин:\[\begin{aligned} s=R\theta\\ v_s=R\omega\\ a_s=R\alpha\end{aligned}\] Для кругового руху вектор швидкості дотичний до кола та перпендикулярної складової\(\alpha\) прискорення називається доцентровим прискоренням. Доцентрове прискорення вказує до центру кола і має величину:\[\begin{aligned} a_c(t) = \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\end{aligned}\] Вектор доцентрового прискорення можна записати як:\[\begin{aligned} \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\end{aligned}\] Рівномірний круговий рух об'єкта навколо кола з постійною швидкістю. Період - це час\(T\), який потрібно об'єкту, щоб завершити один оборот. Частота,\(f\), є оберненою періоду, і може розглядатися як кількість обертів, завершених в секунду:\[\begin{aligned} T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac{1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi}\end{aligned}\]

Важливі рівняння

Рух в 2D:

\[\begin{aligned} \vec r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix}&= x(t) \hat x + y(t) \hat y\\ \vec v(t) &=\frac{d}{dt}\vec r(t)\\ \vec a(t) &= \frac{d}{dt}\vec v(t)\end{aligned}\]

Відносний рух 2D:

\[\begin{aligned} \vec r'^A(t) &= \vec v'^Bt+\vec r^A(t)\\ \vec v'^A(t) &=\vec v'^B+\vec v^A(t)\\ \vec a'^A(t)&=\vec a^A(t)\end{aligned}\]

Вектор прискорення 2D:

\[\begin{aligned} \vec a&=\frac{dv}{dt}\hat v(t)+v(t)\frac{d\hat v}{dt}\\ \textrm{(constant speed:)} \quad \vec a&=\frac{dv_x}{dt} \left(\hat x - \frac{v_x(t)}{v_y(t)}\hat y\right) \end{aligned}\]

Круговий рух:

\[\begin{aligned} \vec r(t)&= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \cos(\theta(t)) \\ \sin(\theta(t)) \\ \end{pmatrix}\\ \omega &= \frac{d\theta}{dt}\\ \alpha &= \frac{d\omega}{dt}\\ s&=R\theta\\ v_s&=R\omega\\ a_s&=R\alpha\\ a_c(t) &= \omega^2(t)R = \frac{v^2(t)}{R}\\ \vec a_{\bot}(t)&=\omega^2 R[-\cos(\theta)\hat x-\sin(\theta)\hat y]\\ T&=\frac{2\pi}{\omega}\\ f=\frac{1}{T}&=\frac{\omega}{2\pi}\end{aligned}\]

Важливі визначення

Визначення

Вектор положення: вектор, який зазвичай маркується\(\vec r\), для опису положення об'єкта відносно початку системи координат. У декартових координатах вектор положення просто задається\(x\)\(z\) координатами об'єкта,\(\vec r = x\hat x = y \hat y+ z\hat z\).\(y\)

Визначення

Вектор швидкості: вектор, зазвичай\(\vec v\) маркований, який відповідає часовій швидкості зміни (похідній щодо часу) вектора положення.

Визначення

Вектор прискорення: вектор, зазвичай маркований\(\vec a\), який відповідає часовій швидкості зміни (похідній по відношенню до часу) вектора швидкості.

Визначення

Кутове положення: Кут, який вектор положення робить з\(z\) віссю\(x\) або. Одиниці СІ: немає. Загальна змінна (и):\(\theta\) (кут з\(z\) віссю),\(\phi\) (кут з\(x\) віссю).

Визначення

Кутова швидкість: Швидкість, з якою кут змінюється щодо часу. Одиниці СІ: [s^ -1]. Загальні змінні:\(\vec \omega\). Кутова швидкість може бути представлена вектором, використовуючи правильні правила для осьових векторів.

Визначення

Кутове прискорення: Швидкість, з якою змінюється кутова швидкість щодо часу. Одиниці СІ: [s^ -2]. Загальні змінні:\(\vec \alpha\). Кутове прискорення можна представити вектором, використовуючи правильні правила для осьових векторів.

Визначення

Рівномірний круговий рух: Рух об'єкта з постійною швидкістю по колу.