4.2: Рух у трьох вимірах

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75533

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Великою проблемою було розширити наш опис руху з одного виміру до двох. Додавання третього виміру закінчується банальним тепер, коли ми знаємо, як використовувати вектори. У трьох вимірах ми описуємо положення точки за допомогою трьох координат, тому всі вектори просто мають три незалежні складові, але розглядаються точно так само, як і в двовимірному випадку. Позиція об'єкта тепер описується трьома незалежними функціями\(x(t)\),\(y(t)\),\(z(t)\),, які складають три компоненти вектора позиції\(\vec r(t)\):

\[\begin{aligned} \vec r(t) &= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec r(t) &= x(t) \hat x + y(t) \hat y + z(t) \hat z\end{aligned}\]

Вектор швидкості тепер має три складові і визначається аналогічно 2D випадку:

\[\begin{aligned} \vec v(t) &=\frac{d\vec r}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec v(t) &= v_x(t)\hat x+v_y(t)\hat y+v_z(t)\hat z \nonumber \end{aligned}\]

і прискорення визначається аналогічним чином:

\[\begin{aligned} \vec a(t) &=\frac{d\vec v}{dt} =\begin{pmatrix} \frac{dv_x}{dt} \\ \frac{dv_y}{dt} \\ \frac{dv_z}{dt} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \\ \end{pmatrix}\\ \therefore \vec a(t) &= a_x(t)\hat x+a_y(t)\hat y+a_z(t)\hat z \nonumber \end{aligned}\]

Зокрема, якщо об'єкт має постійне прискорення\(\vec a=a_x\hat x+a_y\hat y+a_z\hat z\), і починається\(t=0\) з положення\(\vec r_0\) і швидкості\(\vec v_0\), то його вектор швидкості задається:

\[\begin{aligned} \vec v(t) &= \vec v_0+\vec at=\begin{pmatrix} v_{0x}+ a_xt \\ v_{0y}+ a_yt \\ v_{0z}+ a_zt \\ \end{pmatrix}\\\end{aligned}\]

а вектор положення задається:

\[\begin{aligned} \vec r(t)= \vec r_0+\vec v_0 t+\frac{1}{2}\vec a t^2=\begin{pmatrix} x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2} a_xt^2 \\ y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2} a_yt^2 \\ z_0+v_{0z}t+\frac{1}{2} a_zt^2 \\ \end{pmatrix}\\\end{aligned}\]

де знову ми бачимо, як написання одного векторного рівняння (наприклад\(\vec v(t) = \vec v_0+\vec at\)) насправді просто спосіб написати три незалежні рівняння, які є істинними для кожного компонента.