2.4: Резюме

Ключові виноси

Вимірювані величини мають розміри і одиниці. Фізична величина завжди повинна повідомлятися з одиницями, бажано одиницями СІ.

Коли ви будуєте модель для прогнозування фізичної величини, ви завжди повинні запитати, чи має сенс передбачення (Чи має він розумний порядок величини? Чи має він правильні розміри?).

Будь-яка кількість, яку ви вимірюєте, матиме невизначеність. Майже будь-яка величина, яку ви визначаєте з моделі чи теорії, також матиме невизначеність.

Найкращий спосіб визначити невизначеність - повторити вимірювання та використовувати середнє та стандартне відхилення вимірювань як центральне значення та невизначеність. Якщо у нас є\(N\) вимірювання якоїсь\(\{t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . . t_{N}\}\) величини\(t\), то середнє\(\overline{t}\), і стандартне відхилення\(σ_{t}\), визначаються як:

\(\begin{aligned} \overline{t}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{i=N}t_{i}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...t_{N}}{N} \\ \sigma_{t}^{2}&=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \\ \sigma_{t}&=\sqrt{\sigma_{t}^{2}} \end{aligned}\)

Ви повинні звернути особливу увагу на систематичні невизначеності, які важко визначити. Ви завжди повинні думати про способи, які ваші виміряні значення можуть бути неправильними, навіть після повторних вимірювань. Відносна невизначеність говорить про те, чи є ваше вимірювання точним.

Існує кілька способів поширення невизначеності. Ви можете оцінити невизначеність за допомогою відносної невизначеності або використовувати метод Min-Max, який має тенденцію до завищення невизначеності. Бажаний спосіб поширення невизначеностей - це метод похідних, який ви можете використовувати до тих пір, поки відносна невизначеність вимірювань невелика. Якщо у нас є функція,\(F(x, y)\) яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад\(x±σ_{x}, y ±σ_{y})\), то центральне значення і невизначеність в\(F(x, y)\) задаються:

\(\begin{aligned} \overline{F}&=F(\overline{x},\overline{y}) \\ \sigma_{F}&=\sqrt{\left( \frac{\partial F}{\partial x}\sigma_{x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_{y} \right)^{2}} \end{aligned}\)

Це можна легко обчислити за допомогою комп'ютера.

Якщо ви очікуєте, що дві виміряні величини будуть лінійно пов'язані (одна пропорційна іншій), побудуйте їх, щоб з'ясувати! Використовуйте комп'ютер, щоб зробити це!

Важливі рівняння

Центральне значення та невизначеність:

\[\overline{t}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=N} t_{1}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{N}}{N}\]

\[\sigma_{t}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \]

\[\sigma_{t}=\sqrt{\sigma_{t}^{2}}\]

Похідний метод:

\[\overline{F}=F(\overline{x}, \overline{y})\]

\[\sigma_{F}=\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\sigma_{x}\right)^{2} +\left(\frac{\partial F}{\partial y}\sigma_{y} \right)^{2}}\]

Операція, щоб отримати\(z\)	Невизначеність в\(x\)
\ (z\) ">\(z=x+y\) (додавання)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=x-y\) (віднімання)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=xy\) (множення)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=xy\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=\frac{x}{y}\) (поділ)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\frac{x}{y}\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\)
\ (z\) ">\(z=f(x)\) (функція\(1\) змінної)	\ (x\) ">\(\sigma_{z}=\left| \frac{df}{dx}\sigma_{x} \right|\)

Таблиця 2.4.1: Як поширювати невизначеність від виміряних значень\(x ± σ_{x}\) та\(y ± σ_{y}\) до величини\(z(x, y)\) для загальних операцій.