2.3: Здійснення вимірювань
- Page ID
- 75289
Впровадивши деякі інструменти для моделювання аспекту фізики, ми зараз звернемося до іншої сторони фізики, а саме виконання експериментів. Оскільки метою розробки теорій і моделей є опис реального світу, нам потрібно зрозуміти, як робити значущі вимірювання, які перевіряють наші теорії та моделі.
Припустимо, що ми хочемо перевірити теорію Хлої про падіння предметів з глави 1:
\[t = k \sqrt{x}\]
в якому зазначено, що час\(t\), щоб будь-який об'єкт впав на відстань\(x\), поблизу поверхні Землі задається вищевказаним співвідношенням. Теорія передбачає, що постійна Хлоя\(k\), однакова для будь-якого об'єкта, що падає на будь-яку відстань на поверхні Землі.
Один з можливих способів перевірити теорію Хлої про падаючі об'єкти - виміряти\(k\) різну висоту падіння, щоб побачити, чи завжди ми отримуємо однакове значення. Результати такого експерименту представлені в таблиці 2.3.1, де було виміряно час\(t\), щоб боулінг-куля впав відстані\(x\) між\(1\)\(5\) м і м, а також наведені обчислені значення для\(\sqrt{x}\) і відповідне значення\(k = t/ \sqrt{x}\):
| х\([m]\) | т\([s]\) | \(\sqrt{x}\:[m^{\frac{1}{2}}]\) | к\([sm^{-\frac{1}{2}}]\) |
|---|---|---|---|
| \ ([m]\) ">\(1.00\) | \ ([s]\) ">\(0.33\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.00\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.33\) |
| \ ([m]\) ">\(2.00\) | \ ([s]\) ">\(0.74\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.41\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.52\) |
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.67\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.39\) |
| \ ([m]\) ">\(4.00\) | \ ([s]\) ">\(1.07\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(2.00\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.54\) |
| \ ([m]\) ">\(5.00\) | \ ([s]\) ">\(1.10\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(2.24\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.49\) |
Дивлячись на таблицю 2.3.1, зрозуміло, що кожна висота падіння давала різне значення\(k\), тому за номіналом ми стверджуємо, що теорія Хлої невірна, оскільки, здається, не існує значення\(k\), яке стосується всіх ситуацій. Однак ми були б невірними в цьому, якщо не зрозуміли точність вимірювань, які ми зробили. Припустимо, що ми повторювали вимірювання кілька разів при фіксованій висоті падіння\(x = 3\) м, і отримали значення в таблиці 2.3.2.
| х\([m]\) | т\([s]\) | \(\sqrt{x}\:[m^{\frac{1}{2}}]\) | к\([sm^{-\frac{1}{2}}]\) |
|---|---|---|---|
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(1.01\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.58\) |
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.76\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.44\) |
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.64\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.37\) |
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.73\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.42\) |
| \ ([m]\) ">\(3.00\) | \ ([s]\) ">\(0.66\) | \ (\ sqrt {x}\: [m^ {\ frac {1} {2}}]\) ">\(1.73\) | \ ([sm^ {-\ розрив {1} {2}}]\) ">\(0.38\) |
Цей простий приклад підкреслює критичний аспект проведення будь-яких вимірювань: неможливо зробити вимірювання з нескінченною точністю. Значення в таблиці 2.3.2 показують, що якщо ми повторюємо той самий експеримент, ми, ймовірно, виміряємо різні значення для однієї кількості. У цьому випадку для фіксованої висоти падіння,\(x = 3\) м, ми отримали розкид у значеннях часу падіння\(t\), між приблизно\(0.6\) s і\(1.0\) s Чи означає це, що робити науку безнадійно, оскільки ми ніколи не можемо повторити вимірювання? На щастя, ні! Однак це вимагає, щоб ми мали справу з властивою неточністю вимірювань формально.
Вимірювання невизначеності
Значення в таблиці 2.3.2 показують, що для фіксованої експериментальної установки (висота падіння\(3\) m) ми, ймовірно, виміряємо розкид у значеннях величини (час падіння). Ми можемо кількісно оцінити цю «невизначеність» у значенні виміряного часу, цитуючи виміряне значення,\(t\) надаючи «центральне значення» та «невизначеність»:
\(t = (0.76 ± 0.15)\)s
де\(0.76\) s називається «центральним значенням» і\(0.15\) s «невизначеністю» або «помилкою». Зверніть увагу, що ми використовуємо слово error як синонім невизначеності, а не «помилка». Коли ми представляємо число з невизначеністю, ми маємо на увазі, що ми «досить впевнені», що справжнє значення знаходиться в діапазоні, який ми цитуємо. У цьому випадку діапазон, який ми цитуємо, полягає в тому, що t знаходиться між\(0.61\)\(0.91\) s і s (задано\(0.76\text{ s} - 0.15\text{ s}\) і\(0.76\text{ s} + 0.15\text{ s})\). Коли ми говоримо, що ми «досить впевнені», що значення знаходиться в межах лапки діапазону, ми зазвичай маємо на увазі, що\(68\) є% шансів, що це правда і дозволяють можливість того, що істинне значення насправді знаходиться за межами діапазону, який ми цитували. Значення\(68\)% походить від статистики і нормального розподілу.
Думки Емми: «Точність», «Точність» і «Невизначеність» - в чому різниця?
Ви коли-небудь починали писати лабораторний звіт і задавалися питанням, чи варто вам описувати своє вимірювання з точки зору «точності» або «точності»? Як щодо опису помилки у вашому експерименті як міри «точності» чи «невизначеності»?
Ви не самотні! Точність, точність і невизначеність стосуються помилок, але мають різне значення. Для уточнення цих термінів, думаю, корисно вивчити їх пліч-о-пліч.
- Точність означає, наскільки близькі ваші вимірювання один до одного, коли ви повторюєте вимірювання кілька разів. Якщо отримані значення близькі один до одного, ваші вимірювання точні. Наприклад, скажімо, ви вимірювали висоту відскоку баскетболу, скинутого з фіксованої висоти. Провівши вимірювання кілька разів, ви виявите, що виміряні висоти відскоку дуже близькі за значенням один до одного. Потім ви можете повідомити, що «Після повторення нашого вимірювання кілька разів, отримані нами значення були дуже близькі один до одного. Наші вимірювання були точними!». Звичайно, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під «близьким» (можливо, з точки зору поділів на лінійці, які ви використовували для вимірювання висоти відскоку).
- Точність вимірює узгодження між виміряним значенням і його справжнім значенням. Якщо виміряне значення близьке до істинного значення, виміряне значення є точним. Наприклад, скажіть, що ви розробили модель для відстані, пройденої каменем, кинутою рогаткою. Якщо ви виявите, що виміряне значення близьке до прогнозованого значення, ви скажете, що ваша модель точна: «Значення нашої моделі було дуже близьке до значення, яке ми виміряли - наша модель була точною». Знову ж таки, ви повинні вказати, що ви маєте на увазі під «близьким», як правило, з точки зору невизначеності вашого виміряного значення.
- Невизначеність - це оцінка суми, якою вимірювання буде відрізнятися від справжнього значення. У науці ми прагнемо знизити невизначеність у наших вимірах, щоб ми могли перевіряти моделі та теорії з більшою точністю. Припустимо, ви вимірюєте кількість обертань спінінга за певний проміжок часу. Ваші вимірювання близькі один до одного, але мають фіксований діапазон значень. Це було б прикладом, де ви могли б обчислити невизначеність у своїх вимірах. Було б розумно сказати: «Після кількох вимірювань ми виявили, що наші значення схожі, і наша невизначеність фіксує діапазон значень, які ми вимірювали».
Визначення центральної величини і невизначеності
Складна частина при виконанні вимірювання полягає в тому, щоб вирішити, як призначити центральне значення та невизначеність. Наприклад, як ми придумали\(t = (0.76 ± 0.15)\) s із значень у таблиці 2.3.2?
Визначення невизначеності та центрального значення на вимірюванні значно спрощується, коли можна повторити одне і те ж вимірювання кілька разів, як ми це робили в таблиці 2.3.2. При повторюваних вимірах розумним вибором для центрального значення та невизначеності є використання середнього та стандартного відхилення вимірювань відповідно.
Якщо у нас є\(N\) вимірювання якоїсь величини\(t, \{t_{1}, t_{2}, t_{3}, . . . t_{N}\}\), то середнє\(\overline{t}\), і стандартне відхилення\(σ_{t}\), визначаються як:
\[\overline{t}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{i=N} t_{1}=\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{N}}{N}\]
\[\sigma_{t}^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{i=N}(t_{i}-\overline{t})^{2}=\frac{(t_{1}-\overline{t})^{2}+(t_{2}-\overline{t})^{2}+(t_{3}-\overline{t})^{2}+...+(t_{N}-\overline{t})^{2}}{N-1} \]
\[\sigma_{t}=\sqrt{\sigma_{t}^{2}}\]
Середнє - це всього лише середнє арифметичне значення, а стандартне відхилення\(σ_{t}\), вимагає спочатку обчислити середнє, потім дисперсію (\(σ_{t}^{2}\), квадрат стандартного відхилення). Також слід зазначити, що для дисперсії ми ділимо на\(N − 1\) замість\(N\). Стандартне відхилення та дисперсія - це величини, які надходять із статистики і є хорошим показником того, наскільки\(t\) розподілені значення щодо їх середнього значення, і, таким чином, є хорошим показником невизначеності.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Обчисліть середнє і стандартне відхилення значень\(k\) по таблиці 2.3.2.
Рішення:
Для того щоб розрахувати стандартне відхилення, спочатку потрібно обчислити середнє значення\(N = 5\) значень\(k\):\(\{0.58, 0.44, 0.37, 0.42, 0.38\}\). Середнє значення дається:
\(\overline{k}=\frac{0.58+0.44+0.37+0.42+0.38}{5}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Тепер ми можемо обчислити дисперсію, використовуючи середнє значення:
\(\begin{array}{c}\sigma_{k}^{2}=\frac{1}{4}[(0.58-0.44)^{2}+(0.44-0.44)^{2}+(0.37-0.44)^{2}+(0.42-0.44)^{2}+(0.38-0.44)^{2}]=7.3\times 10^{-3}\text{s}^{2}\end{array}\)
а стандартне відхилення задається квадратним коренем дисперсії:
\(\sigma_{k}=\sqrt{0.0073}=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Використовуючи середнє та стандартне відхилення, ми б цитували наше значення\(k\) як:
\(k = (0.44 ± 0.09) \text{s m}^{−\frac{1}{2}}\)
Будь-яке значення, яке ми вимірюємо, завжди матиме невизначеність. У випадку, коли ми можемо легко повторити вимірювання, ми повинні зробити це, щоб оцінити, наскільки воно відтворюване, і стандартне відхилення цих значень, як правило, є хорошою першою оцінкою невизначеності у значенні 1. Іноді вимірювання неможливо легко відтворити; у цьому випадку все ще важливо визначити розумну невизначеність, але в цьому випадку її зазвичай доводиться оцінювати. У таблиці 2.3.3 наведено кілька поширених типів вимірювань та способи визначення невизначеності в цих вимірах.
| Тип вимірювання | Як визначити центральну цінність і невизначеність |
|---|---|
| Повторні вимірювання | Середнє і стандартне відхилення |
| Одноразове вимірювання з градуйованою шкалою (наприклад, лінійка, цифрова шкала, аналоговий лічильник) | Найближче значення і половина найменшого ділення |
| Підрахована кількість | Підраховане значення і квадратний корінь значення |
Наприклад, ми наводимо довжину сірого об'єкта на малюнку,\(\PageIndex{1}\) щоб бути\(L = (2.80 ± 0.05)\) см на основі правил у таблиці 2.3.4, оскільки\(2.8\) cm - це найближче значення на лінійці, яке відповідає довжині об'єкта, а\(0.5\) мм - половина найменшого поділу на лінійці. Використання половини найменшого поділу лінійки означає, що наш діапазон невизначеності охоплює одне повне ділення. Зверніть увагу, що зазвичай краще відтворити вимірювання для оцінки невизначеності замість використання половини найменшого поділу, хоча половина найменшого поділу повинна бути нижньою межею невизначеності. Тобто, повторюючи вимірювання і отримавши стандартне відхилення, ви повинні побачити, чи є невизначеність більше половини найменшого поділу, а не менше.
Відносна невизначеність у виміряному значенні задається діленням невизначеності на центральне значення та вираження результату у відсотках. Наприклад, відносна невизначеність в\(t = (0.76 ± 0.15)\) s задається\(0.15/0.76 = 20\)%. Відносна невизначеність дає уявлення про те, наскільки точно було визначено значення. Як правило, значення вище\(10\)% означає, що це було не дуже точне вимірювання, і ми, як правило, вважаємо значення менше, ніж\(1\)%, щоб відповідати досить точному вимірюванню.
Випадкові та систематичні джерела помилки/невизначеності
Важливо зазначити, що існує два можливі джерела невизначеності у вимірюванні. Перший називається «статистичним» або «випадковим» і виникає тому, що неможливо точно відтворити вимір. Наприклад, кожен раз, коли ви лягаєте лінійку, щоб щось виміряти, ви можете трохи зрушити її в ту чи іншу сторону, що вплине на ваше вимірювання. Важливою властивістю випадкових джерел невизначеності є те, що якщо ви відтворюєте вимірювання багато разів, вони, як правило, скасуються, і середнє значення зазвичай можна визначити з високою точністю при достатній кількості вимірювань.
Інше джерело невизначеності називається «систематичним». Систематичні невизначеності набагато складніше виявити і оцінити. Одним із прикладів може бути спроба виміряти щось за допомогою шкали, яка не була належним чином засмажена (де 0 вага не була встановлена). Ви можете отримати дуже невеликі випадкові помилки при вимірюванні ваги об'єкта (дуже повторювані вимірювання), але вам буде важко помітити, що всі ваші ваги були компенсовані на певну суму, якщо ви не мали доступу до другої шкали. Деякі поширені приклади систематичної невизначеності: неправильно каліброване обладнання, похибка паралакса при вимірюванні відстані, час реакції при вимірюванні часу, вплив температури на матеріали тощо.
Нагадаємо, ми хочемо підкреслити різницю між «помилкою» та «помилкою» в контексті проведення вимірювань. «Невизначеність» або «помилка» у вимірюванні походить від того, що неможливо що-небудь виміряти з нескінченною точністю. «Помилка» також впливає на вимірювання, але її можна запобігти. Якщо у фізиці трапляється «помилка», експеримент, як правило, повторюється, а попередні дані відкидаються. Термін «людська помилка» ніколи не повинен використовуватися в лабораторному звіті, оскільки це означає, що була допущена помилка. Замість цього, якщо ви думаєте, що вимірювали час неточно, наприклад, зверніться до часу реакції людини, а не «людської помилки».
У таблиці 2.3.4 наведені приклади джерел помилок, які студенти часто називають «людською помилкою», але їх слід описати більш точно.
| Ситуація | Джерело помилки |
|---|---|
| Під час проведення вимірювань ваша лінія зору була не повністю паралельна вимірювальному приладу. | Це помилка паралакса - різновид систематичної помилки. |
| Ви неправильно виконали розрахунки. | Помилка! Повторіть розрахунки. |
| Тяга вітру в лабораторії трохи змінила напрямок вашого м'яча, що котиться вниз під нахилом. | Це вплив на навколишнє середовище/помилка - вона може бути випадковою або систематичною, залежно від того, чи завжди вона мала однаковий ефект. |
| Ваша рука прослизнула, тримаючи лінійку - предмет був виміряний в два рази більше початкового розміру! | Помилка! Повторіть цей експеримент і відкиньте дані. |
| Коли час експерименту, ви не натискаєте кнопку «STOP» точно тоді, коли експеримент зупиняється. | Помилка часу реакції - зазвичай систематична похибка (час зазвичай вимірюється довше, ніж є). |
Помноження невизначеності
Повертаючись до даних таблиці 2.3.2, ми виявили, що для відомої висоти падіння в\(x = 3\) м ми вимірювали різні значення часу падіння, яке ми виявили\(t = (0.76 ± 0.15)\) s (використовуючи середнє і стандартне відхилення). Ми також розрахували значення,\(k\) відповідне кожному значенню\(t\), і знайшли\(k = (0.44 ± 0.09) \text{s m}^{−\frac{1}{2}}\) (приклад 2.3.1).
Припустимо, що ми не мали доступу до окремих значень t, а тільки до значення t = (0,76 ± 0,15) s з невизначеністю. Як обчислити значення для k з невизначеністю? Для того, щоб відповісти на це питання, нам потрібно знати, як «поширювати» невизначеність у виміряному значенні до невизначеності у значенні, отриманому вимірюваним значенням. Ми коротко представляємо різні методи поширення невизначеностей, перш ніж виступати за використання комп'ютерів для виконання розрахунків за вас.
1. Оцініть з використанням відносної невизначеності
Відносна невизначеність у вимірюванні дає нам уявлення про те, наскільки точно було визначено значення. Будь-яка величина, яка залежить від цього вимірювання, повинна мати точність, подібну; тобто ми очікуємо, що відносна невизначеність буде подібною\(k\) до такої\(t\). Бо ми побачили\(t\), що відносна невизначеність становила приблизно\(20\)%. Якщо взяти центральне значення\(k\) to бути центральним значенням\(t\) ділиться на\(\sqrt{x}\), ми знаходимо:
\(k=\frac{(0.76\text{ s}}{\sqrt{(3\:\text{m})}}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Оскільки ми очікуємо, що відносна\(k\) невизначеність буде приблизно\(20\)%, то абсолютна невизначеність задається:
\(\sigma_{k}=(0.2)k=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
яка близька до величини, отриманої при усередненні п'яти значень\(k\) таблиці 2.3.2.
2. Метод Мін-Макса
Педагогічним способом визначення\(k\) і її невизначеності є використання «методу Мін-Макса». Так як\(k = t/\sqrt{x}\),\(k\) буде найбільшим, коли t є найбільшим, і найменшим, коли\(t\) найменшим. Таким чином, ми можемо визначити «мінімальне» і «максимальне» значення,\(k\) відповідні мінімальному значенню\(t\),\(t ^{\text{min}} = 0.61\) s і максимальному значенню\(t, t^{\text{max}} = 0.91\) s:
\(\begin{aligned} k^{min}&=\frac{t^{min}}{\sqrt{x}}=\frac{0.61}{\sqrt{(3m)}}=0.35\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ k^{max}&=\frac{t^{max}}{\sqrt{x}}=\frac{0.91\:s}{\sqrt{(3m)}}=0.53\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
Це дає нам діапазон значень\(k\), які відповідають діапазону значень\(t\). Ми можемо вибрати середину діапазону як центральне значення,\(k\) а половину діапазону як невизначеність:
\(\begin{aligned} \overline{k}&=\frac{1}{2}(k^{min}+k^{max})=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ \sigma_{k}&=\frac{1}{2}(k^{max}-k^{min})=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \\ \therefore k &=(0.44\pm 0.09)\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
який, в даному випадку, дає таке ж значення, що і отримане шляхом усереднення окремих значень\(k\). Хоча метод Min-Max корисний для ілюстрації концепції поширення невизначеностей, ми зазвичай не використовуємо його на практиці, оскільки він схильний переоцінювати невизначеність.
3. похідний метод
У наведеному вище прикладі ми припустили, що значення значення\(x\) було точно відомо (і ми вибрали\(3\) m), що, звичайно, нереально. Припустимо, що ми виміряли\(x\) в межах\(1\) см так, що\(x = (3.00 ± 0.01)\) м Завдання тепер полягає в тому, щоб обчислити,\(k = \frac{t}{\sqrt{x}}\) коли обидва\(x\) і\(t\) мають невизначеності.
Метод похідних дозволяє поширювати невизначеність загальним чином, доки відносні невизначеності на всіх величинях «малі» (менше\(10-20\)%). Якщо у нас є функція,\(F(x, y)\) яка залежить від декількох змінних з невизначеністю (наприклад\(x±σ_{x}, y ±σ_{y}\)), то центральне значення і невизначеність в\(F(x, y)\) задаються:
\[\overline{F}=F(\overline{x}, \overline{y})\]
\[\sigma_{F}=\sqrt{\left(\frac{∂F}{∂x}\sigma_{x} \right)^{2}+\left( \frac{∂F}{∂y}\sigma_{y} \right)^{2}}\]
Тобто центральне значення функції знаходять\(F\) шляхом оцінки функції при центральних значеннях\(x\) і\(y\). Невизначеність у\(F\),\(σ_{F}\), виявляється, взявши квадратурну суму частинних похідних\(F\) оцінюваних за центральних значень\(x\) і\(y\) помножених на невизначеності у відповідних змінних, що\(F\) залежить від. Невизначеність буде містити один член у сумі на змінну, яка\(F\) залежить від.
У додатку D ми покажемо вам, як це легко обчислити за допомогою комп'ютера, тому не турбуйтеся про те, щоб освоїтися з частковими похідними (поки!). Зверніть увагу, що часткова похідна\(\frac{∂F}{∂x}\), є просто похідною\(F(x,y)\) відносно\(x\) оцінюється так,\(y\) ніби константа. Крім того, коли ми говоримо «додати в квадратуру», ми маємо на увазі квадратні величини, додаємо їх, а потім беремо квадратний корінь (так само, як ви зробили б, щоб обчислити гіпотенузу прямокутного трикутника).
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Використовуйте похідний метод\(k = \frac{t}{\sqrt{x}}\) для оцінки\(x = (3.00 ± 0.01)\) m та\(t = (0.76 ± 0.15)\) s.
Рішення:
Тут,\(k = k(x, t)\) є функція обох\(x\) і\(t\). Центральне значення легко знайти за допомогою центральних значень для\(x\) і\(t\):
\(\overline{k}=\frac{t}{\sqrt{x}}=\frac{(0.76\text{ s})}{\sqrt{(3\text{ m})}}=0.44\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
Далі нам потрібно визначити і оцінити часткову\(k\) похідну по відношенню до\(t\) і\(x\):
\(\begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}&=\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{d}{dt}t=\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{(3\text{ m})}}=0.58\text{m}^{-\frac{1}{2}} \\ \frac{\partial k}{\partial t}&=t\frac{d}{dx}x^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}tx^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2}(0.76\text{ s})(3.00\text{ m})^{-\frac{3}{2}}=-0.073\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
І, нарешті, ми підключаємо це до квадратурної суми, щоб отримати невизначеність в\(k\):
\(\begin{aligned} \sigma_{k}&=\sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial x}\sigma_{x} \right)^{2}+\left( \frac{\partial k}{\partial t}\sigma_{t} \right)^{2}} \\ &=\sqrt{\left((0.073\text{sm}^{-\frac{3}{2}})(0.01\text{m}) \right)^{2}+\left((0.58\text{m}^{-\frac{1}{2}})(0.15\text{s}) \right)^{2}} \\ &=0.09\text{sm}^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)
Таким чином, ми знаходимо, що:
\(k = (0.44 ± 0.09) \text{sm}^{-\frac{1}{2}}\)
що відповідає тому, що ми знайшли з іншими двома методами.
Обговорення:
Ми повинні запитати себе, чи є цінність, яку ми знайшли, є розумною, оскільки ми також включили невизначеність\(x\) і очікували б більшої невизначеності, ніж у попередніх розрахунках, де ми мали лише невизначеність\(t\). Причина того, що невизначеність\(k\) залишилася незмінною,\(x\) полягає в тому, що відносна невизначеність дуже мала,\(\frac{0.01}{3.00} ∼ 0.3\)%, тому вона сприяє дуже мало порівняно з\(20\)% невизначеності від\(t\).
Метод похідних призводить до декількох простих коротких скорочень при поширенні невизначеностей для простих операцій, як показано в таблиці 2.4.1. Кілька правил на замітку:
- Невизначеності повинні поєднуватися в квадратурі
- Для додавання і віднімання додайте абсолютні невизначеності в квадратурі
- Для множення та ділення додайте відносні невизначеності в квадратурі
| Операція, щоб отримати\(z\) | Невизначеність в\(x\) |
|---|---|
| \ (z\) ">\(z=x+y\) (додавання) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\) |
| \ (z\) ">\(z=x-y\) (віднімання) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}\) |
| \ (z\) ">\(z=xy\) (множення) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=xy\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\) |
| \ (z\) ">\(z=\frac{x}{y}\) (поділ) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\frac{x}{y}\sqrt{\left( \frac{\sigma_{x}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{y}}{y} \right)^{2}}\) |
| \ (z\) ">\(z=f(x)\) (функція\(1\) змінної) | \ (x\) ">\(\sigma_{z}=\left| \frac{df}{dx}\sigma_{x} \right|\) |
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Ми виміряли, що лама може подолати відстань\((20.0 ± 0.5)\) m в\((4.0 ± 0.5)\) s Яка швидкість (з невизначеністю) лами?
- Відповідь
Використання графіків для візуалізації та аналізу даних
Таблиця 2.3.6 нижче відтворює наші вимірювання того, скільки часу знадобилося\((t)\) для того, щоб об'єкт впав на певну відстань,\(x\). Теорія гравітації Хлої передбачала, що дані повинні бути описані наступною моделлю:
\(t=k\sqrt{x}\)
де\(k\) була невизначена константа пропорційності.
| \(x\)\([\text{m}]\) | \(t\)\([\text{s}]\) | \(\sqrt{x}\:[\text{m}^{\frac{1}{2}}]\) | \(k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) |
|---|---|---|---|
| \ (x\)\([\text{m}]\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(1.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >\(0.33\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ текст {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: посередині; ">\(1.00\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(0.33\) |
| \ (x\)\([\text{m}]\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(2.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >\(0.74\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ текст {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: посередині; ">\(1.41\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(0.52\) |
| \ (x\)\([\text{m}]\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(3.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >\(0.67\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ текст {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: посередині; ">\(1.73\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(0.39\) |
| \ (x\)\([\text{m}]\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(4.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >\(1.07\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ текст {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: посередині; ">\(2.00\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(0.54\) |
| \ (x\)\([\text{m}]\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(5.00\) | \ (t\)\([\text{s}]\) "style="вертикальне вирівнювання: середина;" >\(1.10\) | \ (\ sqrt {x}\: [\ текст {m} ^ {\ frac {1} {2}}]\)» стиль = "вертикальне вирівнювання: посередині; ">\(2.24\) | \ (k\)\(\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) "style="Вирівнювання по вертикалі: посередині;" >\(0.49\) |
Найпростіший спосіб візуалізувати та проаналізувати ці дані - це побудувати їх на графіку. Зокрема, якщо ми побудуємо (графік)\(t\) проти\(\sqrt{x}\), ми очікуємо, що точки будуть падати на пряму лінію, яка проходить через нуль, з нахилом\(k\) (якщо дані описані Теорією Хлої). У Додатку D ми покажемо вам, як ви можете легко побудувати ці дані за допомогою мови програмування Python, а також знайти нахил та зміщення лінії, яка найкраще відповідає даним, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).
При побудові даних та підгонці їх до лінії (або іншої функції) важливо переконатися, що значення мають принаймні невизначеність у величині, яка наноситься на\(y\) вісь. У цьому випадку ми припустили, що всі вимірювання часу мають невизначеність\(0.15\) s і що вимірювання відстані не мають (або незначної) невизначеності.
Оскільки ми очікуємо, що нахил даних буде\(k\), пошук лінії найкращого підгонки надає нам метод визначення,\(k\) використовуючи всі точки даних. У цьому випадку ми знаходимо це\(k = (0.61 ± 0.13) \text{sm}^{−\frac{1}{2}}\). Виконання лінійної підгонки даних є найкращим способом визначення константи пропорційності між вимірами. Зверніть увагу, що ми очікуємо, що перехоплення буде дорівнює нулю за нашою моделлю, але найкраща посадкова лінія має перехоплення\((−0.24 ± 0.22)\) s, який трохи нижче, але узгоджений, з нулем. З цих даних ми б зробили висновок, що наші вимірювання відповідають теорії Хлої. Знову ж таки, пам'ятайте, що ми ніколи не можемо підтвердити теорію, ми можемо лише її виключити; в цьому випадку ми не можемо виключити Теорію Хлої.
Звітність вимірюваних значень
Тепер, коли ви знаєте, як віднести невизначеність до виміряної величини, а потім поширювати цю невизначеність на похідну величину, ви готові представити своє вимірювання світові. Для того щоб провести «хорошу науку», ваші вимірювання повинні бути відтворювані, чітко представлені і точно описані. Ось загальні правила, яких слід дотримуватися при повідомленні про вимірюване число:
- Вкажіть одиниці, бажано одиниці СІ (використовуйте похідні одиниці СІ, такі як ньютони, коли це доречно).
- Включіть опис того, як визначалася невизначеність (якщо це пряме вимірювання, як ви обрали невизначеність? Якщо це похідна величина, як ви пропагували невизначеність?).
- Показувати не більше\(2\) «значущих цифр» 4 в невизначеності і відформатувати центральне значення до того ж десяткового числа, що і невизначеність.
- Використовуйте наукові позначення, коли це доречно (зазвичай числа більше\(1000\) або менше\(0.01\)).
- Порахуйте потужність\(10\) від центрального значення та невизначеності (наприклад,\((10123 ± 310)\) m краще представити як\((10.12 ± 0.31) × 10^{3}\) m або\((101.2 ± 3.1) × 10^{2}\) m).
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Хтось виміряв середню висоту столів в лабораторії, щоб бути\(1.0535\) м при стандартному відхиленні\(0.0525\) м Який найкращий спосіб представити це вимірювання?
- \((1.0535 ± 0.0525)\)м
- \((1.054 ± 0.053)\)м
- \((105.4 ± 5.3) × 10^{−2}\)м
- \((105.35 ± 5.25)\)см
- Відповідь
Порівняння моделі і вимірювання-обговорення результату
Для того, щоб розвинути науку, ми проводимо вимірювання і порівнюємо їх з теорією або модельним прогнозом. Таким чином, нам потрібен точний і послідовний спосіб порівняння вимірювань один з одним і з прогнозами. Припустимо, що ми виміряли значення для константи Хлої\(k = (0.44 ± 0.09)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\). Звичайно, теорія Хлої не передбачає значення для\(k\), тільки що час падіння пропорційно квадратному кореню відстані впав. Універсальна теорія гравітації Ісаака Ньютона передбачає\(k\) значення для\(0.45\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) з незначною невизначеністю. У цьому випадку, оскільки модельне (теоретичне) значення легко потрапляє в діапазон, заданий нашою невизначеністю, ми б сказали, що наше вимірювання узгоджується (або сумісне) з теоретичним прогнозом.
Припустимо, що замість цього ми виміряли\(k = (0.55 ± 0.08)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) так, що найнижче значення, сумісне з нашим\(k = 0.55\text{sm}^{-\frac{1}{2}} − 0.08\text{sm}^{-\frac{1}{2}} = 0.47\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) вимірюванням, не сумісне з прогнозом Ньютона. Чи можемо ми зробити висновок, що наше вимірювання анулює теорію Ньютона? Відповідь: це залежить від... Те, що «це залежить від», завжди слід обговорювати в будь-який час, коли ви представляєте вимірювання (навіть якщо сталося, що ваше вимірювання сумісне з прогнозом - можливо, це була випадковість). Нижче ми перерахуємо кілька загальних моментів, на які слід звернути увагу при представленні вимірювання, яке допоможе вам вирішити, чи відповідає ваше вимірювання прогнозу:
- Як визначалася та/або поширювалася невизначеність? Чи було це розумно?
- Чи існують систематичні ефекти, які не були враховані при визначенні невизначеності? (наприклад, час реакції, паралакс, щось важко відтворити).
- Чи є відносна невизначеність розумною на основі точності, яку ви могли б розумно очікувати?
- Які припущення були зроблені при розрахунку вашого виміряного значення?
- Які припущення були зроблені при визначенні модельного прогнозування?
У вищесказаному наше значення\(k = (0.55 ± 0.08)\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\) є результатом поширення невизначеності, в\(t\) якій була знайдена за допомогою стандартного відхилення значень\(t\). Таким чином, можна припустити, що справжнє значення і\(t\), отже\(k\), знаходиться поза діапазоном, який ми цитуємо. Оскільки наше значення все ще\(k\) досить близьке до теоретичного значення, ми не стверджуємо, що визнали недійсною теорію Ньютона з цим виміром. Наша невизначеність в\(k\) є\(σ_{k} = 0.08\text{sm}^{-\frac{1}{2}}\), і різниця між нашим виміряним і теоретичним значенням є лише\(1.25σ_{k}\), тому дуже близька до значення невизначеності.
Подібним чином ми б обговорили, чи сумісні два різні вимірювання, кожен з яких має невизначеність. Якщо діапазони, задані невизначеністю в двох значеннях, перекриваються, то вони чітко узгоджені і сумісні. Якщо, з іншого боку, діапазони не перекриваються, вони можуть бути суперечливими або розбіжність може бути наслідком того, як визначалися невизначеності, і вимірювання все ще можна вважати послідовними.