2.2: Одиниці та розміри

У 1999 році NASA Mars Climate Orbiter розпався в марсіанській атмосфері через змішування в одиницях, використовуваних для обчислення тяги, необхідної для уповільнення зонда і розміщення його на орбіті навколо Марса. Комп'ютерна програма, надана приватним виробником, використовувала одиниці фунтів секунд для обчислення зміни імпульсу зонда замість секунд Ньютона, очікуваних NASA. В результаті зонд занадто сильно сповільнився і розпався в марсіанській атмосфері. Цей приклад ілюструє необхідність використання та визначення одиниць, коли ми описуємо властивості фізичної величини, а також демонструє різницю між вимірністю та одиницею.

«Розміри» можна розглядати як види вимірювань. Наприклад, довжина і час - обидва виміри. Одиниця - це стандарт, який ми вибираємо для кількісної оцінки виміру. Наприклад, метри і фути є одиницями виміру довжини, тоді як секунди та jiffys ¹ - одиниці виміру часу.

Коли ми порівнюємо два числа, наприклад прогноз з моделі та вимірювання, важливо, щоб обидві величини мали однакову розмірність і виражалися в однакових одиницях.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Обмеження швидкості на шосе...

1. має розмірність довжини в часі і може бути виражена в одиницях кілометрів на годину.
2. має розмірність довжини може і виражатися в одиницях кілометрів на годину.
3. має розмірність часу по довжині і може бути виражена в одиницях метрів в секунду.
4. має розмірність часу і може бути виражена в одиницях метрів.

Відповідь

Базові розміри і їх одиниці СІ

З метою полегшення комунікації наукової інформації була розроблена Міжнародна система одиниць (SI для французької мови, Systeme International d'unites). Це дозволяє нам використовувати чітко визначену умовність, для яких одиниць використовувати при описі величин. Наприклад, одиницею СІ для розмірності довжини є метр, а одиниця СІ для розмірності часу - друга.

Для спрощення системи одиниць СІ було обрано фундаментальний (базовий) набір розмірів і визначено одиниці СІ для цих розмірів. Будь-яка інша розмірність завжди може бути перевиражена через базові розміри, наведені в таблиці 2.2.1, і його одиниць через відповідну комбінацію базових одиниць СІ.

Вимір	Одиниця SI
Довжина\([L]\)	метр\([m]\)
Час\([T]\)	другий\([s]\)
Маса\([M]\)	кілограм\([kg]\)
Температура\([\theta]\)	Кельвін\([K]\)
Електричний струм\([I]\)	ампер\([A]\)
Кількість речовини\([N]\)	моль\([mol]\)
Інтенсивність світла\([J]\)	кандела\([cd]\)
Безрозмірні\([l]\)	безрозмірний\([]\)

Таблиця 2.2.1: Базові розміри та їх одиниці СІ з скороченнями.

З базових розмірів можна отримати «похідні» розміри, такі як «швидкість», яка є мірою того, наскільки швидко об'єкт рухається. Розмірність швидкості є\(L/T\) (довжина з часом), а відповідна одиниця СІ - м/с (метри в секунду) ² Багато похідних вимірів мають відповідні похідні одиниці СІ, які можуть бути виражені через базові одиниці СІ. У таблиці 2.2.2 наведено декілька похідних розмірів та відповідні їм одиниці СІ та спосіб отримання цих одиниць СІ з базових одиниць СІ.

Вимір	Одиниця СІ	Базові одиниці SI
Швидкість\([L/T]\)	метр в секунду\([m/s]\)	\([m/s]\)
Частота\([1/T]\)	герц\([Hz]\)	\([1/s]\)
Сила\([M\cdot L\cdot T^{-2}]\)	Ньютон\([N]\)	\([kg\cdot m\cdot s^{-2}]\)
Енергетика\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-2}]\)	джоуль\([J]\)	\([N\cdot m=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}]\)
Потужність\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}]\)	ват\([W]\)	\([J/s=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}]\)
Електричний заряд\([I\cdot T]\)	кулон\([C]\)	\([A\cdot s]\)
Напруга\([M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}]\)	вольт\([V]\)	\([J/C=kg\cdot m^{2}\cdot s^{-3}\cdot A^{-1}]\)

Таблиця 2.2.2: Приклад похідних розмірів та їх одиниць СІ з скороченнями.

За умовністю ми можемо вказати розмірність величини\(X\), написавши її в квадратних дужках,\([X]\). Наприклад\([X] = I\), означатиме, що величина\(X\) має розмір\(I\), тому вона має розмір електричного струму. Аналогічно ми можемо вказати одиниці СІ\(X\) з\(SI[X]\). Посилаючись на таблицю 2.2.1, оскільки\(X\) має розмірність струму,\(SI[X] = A\).

Розмірний аналіз

Ми називаємо «розмірним аналізом» процес розробки розмірів величини з точки зору базових розмірів і модельним прогнозом для цієї величини. Кілька простих правил дозволяють легко опрацювати розміри похідної величини. Припустимо, що у нас дві величини,\(X\) причому\(Y\), обидві з розмірами. Потім ми маємо наступні правила, щоб знайти вимір величини, яка залежить від\(X\) і\(Y\):

1. Додавання/віднімання: Ви можете додати або відняти дві величини, лише якщо вони мають однаковий розмір:\([X + Y] = [X] = [Y]\)
2. Множення: Розмірність виробу\([XY]\), є добутком розмірів:\([XY] = [X] · [Y]\)
3. Поділ: Розмірність співвідношення\([X/Y]\),, є співвідношенням розмірів:\([X/Y] = [X]/[Y]\)

Наступні два приклади показують, як застосувати розмірний аналіз для отримання одиниці або вимірності похідної величини.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Прискорення має одиниці СІ ms ⁻², а сила має розмірність маси, помножену на прискорення. Які розміри і одиниці сили СІ, виражені в перерахунку на базові розміри і одиниці вимірів?

Рішення:

Ми можемо почати з вираження розмірності прискорення, оскільки ми знаємо з його одиниць СІ, що він повинен мати розмір довжини в квадраті часу.

\([acceleration]=\frac{L}{T^{2}}\)

Оскільки сила має вимір маси разів прискорення, ми маємо:

\([force]=[mass]\cdot [acceleration]=M\frac{L}{T^{2}}\)

і одиниці сили СІ, таким чином, є:

\(SI[force]=kg\cdot m/s^{2}\)

Сила є настільки загальним виміром, що вона, як і багато інших похідні виміри, має власну похідну одиницю СІ - Ньютон\([N]\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте таблицю 2.2.2, щоб показати, що напруга має той самий розмір, що і сила, помножена на швидкість і розділена на електричний струм.

Рішення:

Згідно з таблицею 2.2.2, напруга має розмірність:

\([voltage]=M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}\)

тоді як сила, швидкість і струм мають розміри:

\(\begin{aligned} [force]&=M\cdot L\cdot T^{-2} \\ [speed]&=L\cdot T^{-1} \\ [current]&=I \end{aligned}\)

Розмірність сили, помножена на швидкість, поділена на електричний заряд

\(\begin{aligned} \left[\frac{force\cdot speed}{current}\right] &=\frac{[force]\cdot [speed]}{[current]}=\frac{M]c\cdot L\cdot T^{-2}\cdot L\cdot T^{-1}}{I} \\ &=M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}\cdot I^{-1} \end{aligned}\)

де в останньому рядку ми об'єднали повноваження однакових розмірів. При огляді це той же розмір, що і напруга.

Коли ви будуєте модель для прогнозування значення фізичної величини, завжди слід використовувати аналіз розмірів, щоб переконатися, що розмір величини, яку прогнозує модель, є правильною.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Ваша модель передбачає\(v\), що швидкість об'єкта маси\(m\) після падіння відстані\(h\) на поверхні планети з масою\(M\) та радіусом\(R\) задається:

\(v=\frac{mMh}{R}\)

Чи є це розумний прогноз?

Рішення:

По-перше, ми бачимо, що швидкість буде більшою, якщо\(h\) буде більшою, що має сенс, оскільки ми очікуємо, що швидкість буде більшою, якщо об'єкт впав на більшу відстань. Аналогічно, ми очікуємо, що швидкість буде вищою, якщо маса планети\(M\), буде більшою, оскільки вона буде надавати більшу гравітаційну силу, як це дає ця модель. Ми також очікуємо, що об'єкт матиме більшу швидкість, якщо він матиме більшу масу\(m\), якщо тяга з атмосфери на планеті значна. Нарешті, якщо радіус планети більший, ми очікуємо,\(R\) що швидкість буде меншою, оскільки планета буде менш щільною і чинить меншу гравітаційну силу на своїй поверхні. Однак, якщо ми перевіримо розміри для прогнозування\(v\), ми виявимо, що модель не прогнозує розміри швидкості:

\(\begin{aligned} [v]&=\frac{[m][M][h]}{[R]} \\ &=\frac{MML}{L}=M^{2} \end{aligned}\)

і наша модель прогнозує швидкість з розмірами маси в квадраті. Виконуючи простий розмірний аналіз, ми можемо легко підтвердити, що наша модель, безумовно, неправильна. Ви завжди повинні перевіряти розміри будь-якого прогнозу моделі, щоб переконатися в його правильності.

Думки Олівії

У цьому розділі нам було дано три правила комбінування розмірів. Ви помітите, що ці правила такі ж, як і правила для алгебри, за винятком того, що ви використовуєте розміри замість '\(x\)s і'\(y\) s. Таким чином, ви дійсно можете просто наблизитися до задач вимірного аналізу, як і алгебри.

Є кілька основних кроків, які ви можете виконати, коли ви намагаєтеся знайти одиниці СІ для значення/змінної у вашому рівнянні. Я піду через приклад 2.2.1 трохи по-іншому. Скажімо, у вас є рівняння,\(F = ma\) і цього разу ви знаєте розміри\(F\) і\(m\), і ви хочете знайти розміри\(a\):

1. Перепишіть значення/змінні у вашому рівнянні з точки зору їх розмірів, залишивши всі інші операції (множення, показники тощо) як є:\(F = m · a → [F] = [m] · [a]\)
2. Перевпорядкування для вашого невідомого виміру:\([a] = \frac{[F]}{[m]}\)
3. Замініть у ваших відомих розмірах:\([a] = \frac{[F]}{[m]} → [a] = \frac{MLT^{−2}}{M} = \frac{ML}{MT^{2}}\)
4. Вирішуйте за допомогою правил алгебри:\([a] = \frac{L}{T^{2}}\) (де ми щойно\(M\) скасували)
5. Замініть розміри відповідними ними одиницями СІ:\([a] = \frac{L}{T^{2}} → SI[a] = \frac{m}{s^{2}}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

У теорії Хлої про падіння предметів з глави 1 було дано час\(t\)\(x\), щоб об'єкт впав на відстань\(t = k\sqrt{x}\). Якими повинні бути одиниці СІ постійної\(k\) Хлої?

1. \(T L^{\frac{1}{2}}\)
2. \(T L^{−\frac{1}{2}}\)
3. \(s m^{\frac{1}{2}}\)
4. \(s m^{−\frac{1}{2}}\)

Відповідь

Розмірний аналіз також може бути використаний для визначення формул (як правило, щоб в межах порядку). Одним з відомих прикладів цього є те, коли британський фізик на ім'я Г.І. Тейлор зміг визначити формулу, яка показала, як радіус вибуху атомної бомби масштабувався з часом. Використовуючи знімки першого вибуху атомної бомби, він зміг визначити кількість енергії, що виділяється при вибуху, яка була секретною інформацією на той момент.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть формулу, яка показує, як радіус вибуху\(r\), масштабується з часом з моменту вибуху\(t\), де радіус також залежить від енергії, що виділяється при вибуху\(E\), і щільності середовища, в яку вибухає бомба\(ρ\).

Рішення:

Ми хочемо дізнатися, як радіус вибуху масштабується з часом, тому ми хочемо вираз, який відноситься\(r\) до деякої комбінації\(E, ρ\), і\(t\):

\(r\sim E^{x}ρ^{y}t^{z}\)

де\(x, y\), і\(z\) є нашими невідомими експонентами, оскільки ми ще не знаємо, як будемо поєднувати\(E, ρ\), і\(t\). Однак ми знаємо, що коли ми поєднуємо ці величини, ми повинні отримати правильний розмір (довжину) для радіуса:

\([r]=[E]^{x}[ρ]^{y}[t]^{z}\)

Ми знаємо розміри для радіуса і часу, а розмірність для Е можна знайти в таблиці 2.1.2. Щільність маси ділиться на обсяг, тому її розмірність становить M/L3. Наше рівняння тоді стає:

\(\begin{aligned} L&=(ML^{2}T^{-2})^{x}(ML^{-3})^{y}(T)^{z} \\ L&=(M^{x}L^{2x}T^{-2x})(M^{y}L^{-3y})(T^{z}) \end{aligned}\)

У нас є три невідомих, тому нам потрібні три рівняння. Ми можемо визнати, що ліва сторона (з розмірами довжини\(L\)) еквівалентна\(L^{1} · M^{0} · T^{0}\). Потім ми можемо розділити вищевказаний вираз на три рівняння, по одному для кожного з\(M, L\), і\(T\):

\(\begin{aligned} M^{0}&=M^{x}M^{y}\rightarrow 0=x+y \\ L^{1}&=L^{2x}L^{-3y}\rightarrow 1=2x-3y \\ T^{0}&=T^{-2x}T^{z}\rightarrow 0=z-2x \end{aligned}\)

Вирішуючи систему рівнянь, знайдемо\(x = \frac{1}{5}, y = −\frac{1}{5}\), що, і\(z = \frac{2}{5}\). Отже, поєднання\(E, ρ\), і\(t\) що дає нам розмір довжини є:

\(\begin{array}{r} {r\sim E^{1/5}ρ^{-1/5}t^{2/5} }\\{\therefore r∝ t^{2/5}} \end{array}\)

Ви також можете записати це рівняння як:

\(r\sim \sqrt[5]{\frac{Et^{2}}{\rho}}\)

Таким чином, вимірюючи радіус вибуху в якийсь час, і знаючи щільність повітря, можна оцінити енергію, яка була виділена при вибуху.

Виноски

1. Jiffy - це одиниця, яка використовується в електроніці і, як правило, відповідає\(\frac{1}{50}\) або\(\frac{1}{60}\) секунди.

2. Зверніть увагу, що ми також можемо записати метри в секунду як m·s\(^{−1}\), але ми часто використовуємо ділення на знак, якщо потужність одиниці в знаменнику є\(1\).