6.6: Проблеми з вправами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76737

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте рівняння Больцмана в наближенні часу релаксації, щоб вивести формулу Друда для комплексної провідності$\sigma (\omega )$ змінного струму та дати фізичну інтерпретацію тенденції результату на високих частотах.

Вправа$\PageIndex{2}$

Застосовують метод змінного поділу ⁷⁶ до Equation ($6.3.15$) для розрахунку тимчасової еволюції розподілу густини частинок в необмеженому однорідному середовищі, за відсутності зовнішніх сил, за умови, що при цьому$t = 0$ частинки звільняються від їх рівномірного розподілу в площині товщина шару$2a$:

\[n = \begin{cases} n_0, & \text{ for } - a \leq x \leq + a, \\ 0, & \text{ otherwise.} \end{cases} \nonumber\]

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішіть попередню задачу, використовуючи відповідну функцію Гріна для 1D версії рівняння дифузії, і обговоріть відносну зручність результатів.

Вправа$\PageIndex{4}^*$

Обчисліть електропровідність вузької, рівномірної провідної ланки між двома об'ємними провідниками, в низьковольтному і низькотемпературному межі, нехтуючи взаємодією електронів і розсіюванням всередині ланки.

Вправа$\PageIndex{5}$

Обчисліть ефективну ємність (на одиницю площі) широкої площини аркуша виродженого 2D електронного газу, відокремленого відстанню$d$ від металевої площини заземлення.

Вправа$\PageIndex{6}$

Дайте кількісний опис іонізації легованих атомів, що відповідало б статистиці окупації провідності та валентної зони, використовуючи ту саму просту модель$n$ легованого напівпровідника, як у п. 4 (див. Рис.$6.4.2a$), і враховуючи, що наземний стан легованої домішки атом, як правило, подвійно вироджується, внаслідок двох можливих спінових орієнтацій зв'язаного електрона. Використовуйте результати для перевірки Equation ($6.4.13$), в межах показаних меж його дійсності.

Вправа$\PageIndex{7}$

Узагальнити розв'язання попередньої задачі до випадку, коли$n$ -легування напівпровідника$n_D$ донорними атомами на одиницю об'єму$p$ доповнюється його одночасним -легуванням$n_A$ акцепторними атомами на одиницю об'єму, енергія$\varepsilon_A – \varepsilon_V$ активації якого, тобто прийняття додатковий електрон і, отже, стає негативним іоном, набагато нижче, ніж заборона$\Delta$ — див. Рисунок праворуч.

Вправа$\PageIndex{8}$

Майже ідеальний класичний газ$N$ частинок з масою$m$, знаходився в тепловій рівновазі при температурі$T$, в закритій ємності об'єму$V$. У якийсь момент в одній зі стінок контейнера відкрито отвір дуже невеликої площі$A$, що дозволяє частинкам виходити в навколишній вакуум. ⁷⁷ У межі дуже низької щільності$n \equiv N/V$ використовуйте прості кінетичні аргументи для обчислення rms швидкості втекли частинок протягом періоду часу, коли загальна кількість таких частинок ще набагато менше$N$. Сформулюйте межі дійсності ваших результатів з точки зору$V$$A$, і середній вільний шлях$l$.

Підказка: Тут і нижче термін «майже ідеальний» означає, що$l$ настільки великий, що зіткнення частинок не впливають на основні статистичні властивості газу.

Вправа$\PageIndex{9}$

Для системи, проаналізованої в попередній задачі, обчислити швидкість потоку частинок через отвір — так звану швидкість випоту. Обговоріть межі дійсності вашого результату.

Вправа$\PageIndex{10}$

Використовуйте прості кінетичні аргументи для оцінки:

коефіцієнт дифузії$D$,
теплопровідність$\kappa $, а
в'язкість зсуву$\eta $,

майже ідеального класичного газу із середнім вільним шляхом$l$. Порівняйте результат для$D$ з тим, що обчислюється в п. 3 з рівняння Больцмана - RTA.

\[\frac{d\mathscr{F}_{j'}}{dA_j} = \eta \frac{\partial v_{j'}}{\partial r_j}, \nonumber\]

де$d\mathscr{F}_{j'}$ -$j'^{ th}$ декартова складова дотичної сили між двома частинами рідини, розділена уявним інтерфейсом, нормальним до деякого напрямку$\mathbf{n}_j$ (з$j \neq j'$, і, отже,$\mathbf{n}_j \perp \mathbf{n}_{j'}$), що чиниться над елементарною$dA_j$ площею цієї поверхні, і$\mathbf{v}(\mathbf{r})$ є швидкість руху рідини на межі розділу.

Вправа$\PageIndex{11}$

Використовуйте прості кінетичні аргументи, щоб пов'язати середній вільний шлях$l$ у майже ідеальному класичному газі, з повним перерізом$\sigma$ взаємного розсіювання його частинок. ⁷⁹ Використовуйте отриманий результат для оцінки теплопровідності та коефіцієнта в'язкості, зроблених у попередній задачі, для молекулярного азоту з молекулярною масою$m \approx 4.7 \times 10^{-26}$ кг та ефективним («ван дер Ваальсом») діаметром$d_{ef} \approx 4.5 \times 10^{-10}$ m, в умовах навколишнього середовища та порівняйте їх з експериментальні результати.

Вправа$\PageIndex{12}$

Використовуйте рівняння Больцмана - RTA для обчислення теплопровідності майже ідеального класичного газу, виміряного в умовах, коли застосований тепловий градієнт не створює чистого потоку частинок. Порівняйте результат з результатом, що випливає з простих кінетичних аргументів (Задача 6.10), і обговоріть їх зв'язок.

Вправа$\PageIndex{13}$

Використовуйте рівняння теплопровідності ($6.5.26$) для обчислення тимчасової еволюції температури в центрі однорідної твердої сфери радіуса$R$, спочатку нагрітої до рівномірно розподіленої температури$T_{ini}$, і при$t = 0$ поміщеній в теплову ванну, яка утримує свою поверхню при температурі $T_0$.

Вправа$\PageIndex{14}$

Запропонуйте розумне визначення швидкості вироблення ентропії (на одиницю об'єму) і розрахуйте цю норму для стаціонарної теплопровідності, припускаючи, що вона підпорядковується закону Фур'є, в матеріалі з незначним тепловим розширенням. Дайте фізичну інтерпретацію результату. Чи відповідає стаціонарний розподіл температури в зразку мінімуму загальної вироблення ентропії в ньому?

Вправа$\PageIndex{15}$⁸⁰

Використовуйте рівняння Больцманна-RTA для обчислення в'язкості зсуву майже ідеального газу. Пропишіть результат в класичному ліміті, і порівняйте його з оцінкою, зробленою в рішенні задачі 10.

Ця тема була коротко розглянута в розділі EM 4, ретельно уникаючи аспектів, пов'язаних з тепловими ефектами.
Див., наприклад, CM Розділ 10.1.
Власне, це лише одна з декількох теорем, що носять ім'я Джозефа Ліувіля (1809-1882).
Див., наприклад, Рівняння MA (4.2).
Див., наприклад, CM Розділ 9.3.
Дійсно, квантова когерентність стану описується позадіагональними елементами матриці щільності, тоді як класична ймовірність$w$ представляє лише діагональні елементи цієї матриці. Однак принаймні для ансамблів, близьких до теплової рівноваги, це розумне наближення — див. Дискусію в п. 2.1.
Можна задатися питанням, чи може це наближення працювати для частинок Фермі, таких як електрони, для яких принцип Паулі забороняє розсіювання в уже зайнятий стан, так що для розсіювання$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}'$ термін$w(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t)$ в Equation ($6.1.12$) повинен бути помножений на ймовірність$[1 – w(\mathbf{r}, \mathbf{p}', t)]$ що кінцевий стан доступний. Це вагомий аргумент, але слід зазначити, що якщо ця модифікація була виконана з обома членами Equation ($6.1.12$), вона стає\[ \left| \frac{\partial w}{\partial t} \right|_{scattering} = \int d^3 p' \Gamma_{\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}'} \{ w (\mathbf{r},\mathbf{p}',t) [ \mathbf{1} - w(\mathbf{r},\mathbf{p},t)]-w(\mathbf{r},\mathbf{p},t)[\mathbf{1}-w(\mathbf{r},\mathbf{p}',t)]\}.\nonumber\] Відкриваючи обидві квадратні дужки, ми бачимо, що продукти щільності ймовірності скасовуються, повертаючи нас до Equation ($6.1.12$).
Це було наближення, яке використовував Л.Больцман для доведення відомої$H$ теореми, стверджуючи, що ентропія газу, описаного Equation ($6.1.13$), може тільки зростати (або залишатися постійною) у часі,$dS/dt \geq 0$. Оскільки модель дуже приблизна, цей результат сьогодні не здається надто фундаментальним, незважаючи на всю її історичну значимість.
Іноді це наближення називають «моделлю БГК», після П.Бхатнагера, Е.Гросса і М.Крука, які запропонували це в 1954 році. (У тому ж році подібну модель розглядав П.Веландер.)
Див., наприклад, CM Розділ 3.7.
Оскільки масштаб найшвидшої зміни імпульсного$w_0$ простору має порядок$\partial w_0/\partial p = (\partial w_0/\partial \varepsilon )(d\varepsilon /dp) \sim (1/T)v$, де шкала швидкості частинки,$v$ необхідною умовою лінійного наближення ($6.2.4$) є$e\mathscr{E}\tau << T/v$, тобто якщо$e\mathscr{E}l << T$, де$l \equiv v\tau$ має значення ефективного безкоштовними шлях. Оскільки ліва частина останньої нерівності - це лише середня енергія, що надається частинці електричним полем між двома подіями розсіювання, умова може бути інтерпретована як малість «перегріву» газу застосованим полем. Однак необхідна і інша умова — див. Останній абзац цього розділу.
Див., наприклад, QM Розділ 2.1.
Його отримав Арнольд Зоммерфельд в 1927 році.
Див., наприклад, QM Розділи 2.7, 2.8 та 3.4. (У цьому випадку$\mathbf{p}$ слід розуміти квазіімпульс, а не справжній імпульс.)
Як показує Рівняння ($6.2.9$), якщо закон$\varepsilon (\mathbf{p})$ дисперсії анізотропний, напрямок щільності струму може відрізнятися від напрямку електричного поля. При цьому провідність повинна описуватися тензором$\sigma_{jj'}$, а не скаляром. Однак у найважливіших провідних матеріалах анізотропія досить мала — див., наприклад, ЕМ табл. 4.1.
Саме тому для визначення домінуючого типу носіїв заряду в напівпровідниках (електрони або дірки, див. Розділ 4 нижче) часто використовується ефект Холла, якому відсутня така амбівалентність (див., наприклад, QM 3.2).
Вона була виведена в 1900 році Полом Друдом. Зауважте, що Друд також використовував ті самі аргументи, щоб отримати дуже просте (і дуже розумне) наближення для комплексної електропровідності в полі частоти змінного струму$\omega : \sigma (\omega ) = \sigma (0)/(1 – i\omega \tau )$, з$\sigma (0)$ заданим Equation ($6.2.14$); іноді назва «формула Друда» використовується для цього виразу, а не для Рівняння ($6.2.14$). Дозвольте мені залишити його виведення, з рівняння Больцмана - RTA, для вправи читача.
Див. Також ЕМ Розділ 4.2.
Тому тут, як це часто буває у фізиці, формули (або графічні замальовки, такі як Рисунок$6.2.1b$) дають більш чіткий і однозначний опис реальності, ніж слова — привілеї, якої не вистачає багатьом «науковим» дисциплінам, багатим нескінченними, неглибокими словесними дебатами. Зауважте також, що, як це часто трапляється у фізиці, подвійна інтерпретація$\sigma$ виражається двома різними, але рівними інтегралами ($6.2.12$$6.2.13$) та (), пов'язаними правилом інтеграції за частинами.
Ця формула, ймовірно, сама собою зрозуміла, але якщо вам потрібно, ви можете переглянути EM Sec. 4.4.
Оскільки ми не будемо стикатися$\nabla_p$ в балансі цієї глави, з цього моменту$r$ індексит оператора$\nabla_r$ скидається для стислості позначення.
Оскільки ми розглядаємо$w_0$ як функцію двох незалежних аргументів$\mathbf{r}$ і$\mathbf{p}$, приймаючи його градієнт, тобто диференціювання цієї функції над$\mathbf{r}$, не передбачає її диференціювання за кінетичною енергією$\varepsilon$ — яка є функцією$\mathbf{p}$ лише.
Зауважимо, що Equation ($6.3.7$) не включає феноменологічний параметр$\tau$ наближення часу релаксації, сигналізуючи про те, що він набагато більш загальний, ніж RTA. Дійсно, ця рівність повністю заснована на співвідношенні між другим і третім членами на лівій стороні загального рівняння Больцмана ($6.1.10$), а не на будь-яких деталах інтеграла розсіювання на його правій стороні.
Іноді його також називають «спорідненістю електронів», хоча цей термін в основному використовується для атомів і молекул.
У фізиці та техніці напівпровідників ситуація, показана на малюнку,$6.3.1b$ називається умовою плоскосмуги, оскільки будь-яке електричне поле, застосоване нормально до поверхні напівпровідника, призводить до так званого згинання енергетичної смуги - див. Наступний розділ.
Як вимірюється від загального еталонного значення, наприклад, від рівня вакууму - а не знизу індивідуального потенціалу, як на малюнку$6.3.1a$.
У фізичній літературі її прийнято називати контактною різницею потенціалів, тоді як в електрохімії (для якої це одне з ключових понять) більш поширений термін Вольта-потенціал.
Прилади для таких вимірювань можуть бути засновані на взаємодії між вимірюваним струмом і постійним магнітом, як піонером є А.-М. Ампер у 1820-х роках — див., наприклад, EM Глава 5. Такі прилади іноді називають гальванометрами, вшануючи ще одного піонера електрики, Луїджі Гальвані.
Якщо це відношення не очевидно, будь ласка, перегляньте EM Sec. 4.1.
Іноді цей термін асоціюється з Equation ($6.3.19$). Можна також зіткнутися з терміном «рівняння конвекції-дифузії» для Equation ($6.3.15$) із заміною ($6.3.16$).
А значить, при мізерно малому$\nabla U$, ідентичному рівнянню дифузії ($5.6.11$).
Див., наприклад, QM Розділ 2.7 та 3.4, але глибоке знання цього матеріалу не є необхідним для подальшого обговорення цього розділу. Якщо читач не знайомий з поняттям квазімоментуму (альтернативно його називають «кришталевим імпульсом»), може бути корисна його наступна напівкількісна інтерпретація:$\mathbf{q}$ є результатом квантового усереднення справжнього імпульсу електронів$\mathbf{p}$ за період кристалічної решітки. На відміну від того$\mathbf{p}$, що не зберігається через взаємодію електрона з атомною решіткою,$\mathbf{q}$ є інтегралом руху — за відсутності інших сил.
В ізоляторах заборона$\Delta$ настільки велика (наприклад,$\sim 9$ eV в$\ce{SiO2}$), що смуга провідності залишається незаселеною у всіх практичних ситуаціях, так що наступне обговорення актуально лише для напівпровідників, з їх помірними діапазонами - наприклад, 1,14 еВ у найважливішому випадку кремній кімнатної температури.
Легко (і, отже, залишається для вправи читача) перевірити, що всі рівноважні властивості носіїв заряду залишаються однаковими (з деякими ефективними значеннями$m_C$ і$m_V$), якщо$\varepsilon_c(\mathbf{q})$ і$\varepsilon_v(\mathbf{q})$ є довільними квадратичними формами декартових складових квазімоментуму. Взаємне зміщення гілок$ \varepsilon_c(\mathbf{q})$ і$\varepsilon_v(\mathbf{q}$) у квазімоментному просторі також не має значення для статистичних і більшості транспортних властивостей напівпровідників, хоча це дуже важливо для їх оптичних властивостей — про що я не встигну детально обговорити.
Збірна назва для них у фізиці напівпровідників - носії заряду — або просто «носії».
Зауважте, що у випадку простого електронного спинового виродження ($g_V = g_C = 2$) перший логарифм повністю зникає. Однак у багатьох напівпровідниках виродження враховується кількістю подібних енергетичних смуг (наприклад, шість подібних смуг провідності в кремнії), і цей фактор$\ln (g_V/g_C)$ може незначно вплинути на кількісні результати.
Зауважимо$6.4.1$, що в порівнянні з малюнком, тут (для більшості цілей надлишкова) інформація про$q$ -залежності енергій згортається, залишаючи горизонтальну вісь такої смугової діаграми вільною для показу їх можливих просторових залежностей — див. Рис. $6.4.3$,$6.4.5$, і$6.4.6$ нижче.
Дуже схожі відносини можуть зустрічатися і в теорії хімічних реакцій (де її називають законом масової дії) та інших дисциплін — в тому числі і в таких екзотичних прикладах, як теоретична екологія.
Дозвольте мені залишити це для вправ читача, щоб довести, що це припущення завжди є дійсним$n_C$, якщо щільність допінгу не$n_D$ стане порівнянною з, і в результаті енергія Фермі$\mu$ рухається в$\sim T$ широкому районі$\varepsilon_D$.
Для типових донорів (P) і акцепторів (B) у кремнію обидві енергії іонізації ($\varepsilon_C – \varepsilon_D)$і$(\varepsilon_A – \varepsilon_V$) близькі до 45 МеВ, тобто дійсно набагато менші, ніж$\Delta \approx 1.14$ еВ.
Спрощена версія цього аналізу була розглянута в EM Sec. 2.1.
Див., наприклад, ЕМ Розділ 3.4.
Мені шкода за використання, для SI електричної константи$\varepsilon_0$, ту ж грецьку букву, що і для одночастинкових енергій, але обидві позначення є традиційними, і різниця між цими використанням буде зрозуміла з контексту.
Загальноприйнято (хоча і не обов'язково) вибирати енергетичне посилання так, щоб глибоко всередині напівпровідника,$\phi = 0$; в наступному я буду використовувати цю конвенцію.
$\mathscr{E}$Ось поле якраз всередині напівпровідника. Поле вільного простору, необхідне для його створення, в$\kappa$ рази більше — див., наприклад, той самий EM Sec. 3.4, зокрема Equation ($3.3.5$).
У літературі фізики напівпровідників значення зазвичай$\mu '$ називають рівнем Фермі, навіть за відсутності виродженого моря Фермі, характерного для металів — див. п. 3.3. У цьому розділі я буду слідувати цій загальній термінології.
Навіть деякі аморфні тонкоплівкові ізолятори, такі як правильно вирощені оксиди кремнію і алюмінію, витримують поля до$\sim 10$ мВ/см.
Нагадаємо, виведення цієї формули було завданням завдання 3.14.
Класичною монографією в цій галузі є С.зе, Фізика напівпровідникових приладів,$2^{nd}$ ред., Wiley 1981. ($3^{rd}$Видання, близько 2006 року, у співавторстві з K.Ng, більше схиляється до технічних деталей.) Я також можу рекомендувати детальний підручник Р.П'єра, Основи напівпровідникових приладів,$2^{nd}$ ред., Addison Wesley, 1996.
Часто Equation ($6.4.30$) також переписується у формі$e\Delta \varphi = T \ln (n_Dn_A/n_i^2)$. У поданні другого з Eqs. ($6.4.8$), ця рівність формально правильна, але може вводити в оману, оскільки внутрішня щільність носія$n_i$ є експоненціальною функцією температури і фізично не має значення для цієї конкретної проблеми.
Зауважимо,$w$ що таких знову набагато більше, ніж$\lambda_D$ — той факт, що виправдовує перші дві граничні умови ($6.4.32$).
Ще однією важливою межею є квантово-механічне тунелювання через ізолятор затвора, товщина якого повинна бути зменшена паралельно з бічними розмірами FET, включаючи його довжину каналу.
У жаргоні фізики напівпровідників подією «генерації носія» є теплове збудження електрона з валентної зони в зону провідності, залишаючи отвір позаду, в той час як зворотна подія заповнення такого отвору електроном діапазону провідності називається «рекомбінацією носія».
Зверніть увагу, що якщо зовнішній фотон з енергією$\hbar \omega > \Delta$ генерує електронно-діркову пару десь всередині виснажувального шару, це електричне поле відразу ж рухає його електронну складову вправо, а діркову складову вліво, генеруючи таким чином імпульс електричного струму через перехід. Це фізична основа всієї величезної технологічної галузі фотоелектрики, в даний час сильно обумовлена попитом на відновлювану електроенергію. Через прогрес цієї технології вартість сонячних енергетичних систем знизилася з ~ 300 доларів за ват у середині 1950-х років до нинішніх ~ $1 за ват, а її глобальне покоління збільшилося майже до 1015 ват-годин на рік - хоча це все ще нижче 2% всієї виробленої електроенергії.
Я не буду намагатися відтворити цей розрахунок (який можна знайти в будь-якій з книг напівпровідникової фізики, згаданих вище), тому що правильно отримати всі його масштабні коефіцієнти вимагає використання якоїсь моделі процесу рекомбінації, і в цьому курсі просто немає часу на їх кількісне обговорення. Однак див. Рівняння ($6.4.42$) нижче.
У нашій моделі позитивний знак$V \equiv \Delta \mu '/q \equiv –\Delta \mu '/e$ відповідає додатковому електричному полю$–\nabla \mu '/q \equiv \nabla \mu '/e$, спрямованому в позитивному напрямку$x$ -осі (на рис.$6.4.6$, зліва направо), тобто до позитивного висновку джерела напруги, підключеного до p-легованого напівпровідника — яка є загальною конвенцією.
Ця зміна, схематично показана на малюнку$6.4.6b$, може бути легко обчислена шляхом заміни ($6.4.37$) у першому з Eqs. ($6.4.34$).
Ця інваріантність знака може виглядати дивно, через протилежного (позитивного) електричного заряду отворів. Однак ця різниця в знаку заряду компенсується протилежним напрямком дифузії отвору — див$6.4.5$. (Зауважте також, що фактичні носії заряду в валентній зоні все ще є електронами, а позитивний заряд дірок є лише зручним поданням конкретного закону дисперсії в цій енергетичній смузі, з негативною ефективною масою — див. Рисунок$6.4.1$, другий рядок Рівняння ($6.4.1$), і a більш детальне обговорення цього питання в QM Sec. 2.8.)
Деякі метало-напівпровідникові переходи, звані діодами Шотткі, мають подібні випрямляючі властивості (і можуть бути краще пристосовані для потужних застосувань, ніж кремнієві$p-n$ переходи), але їх властивості є більш складними через досить задіяну хімію та фізику інтерфейсів між різні матеріали.
Див., наприклад, монографію Р.Стратоновича, наведену в п. 4.2.
Названий на честь Томаса Йоганна Зеебека, який експериментально відкрив у 1822 році ефект, описаний другим терміном в Equation ($6.5.4$) - і, отже, Equation ($6.5.10$).
Знову ж таки, така незалежність натякає на те, що Equation ($6.5.8$) має більш широке значення, ніж в нашій простій моделі ізотропного газу. Це дійсно так: цей результат виявляється справедливим як для будь-якої форми поверхні Фермі, так і для будь-якого закону дисперсії$\varepsilon (\mathbf{p})$. Однак зауважте, що всі розрахунки цього розділу справедливі для найпростішої моделі RTA, яка$\tau$ є енергонезалежним параметром; для реальних металів більш точний опис експериментальних результатів можна отримати шляхом налаштування цієї моделі з урахуванням цієї залежності — див., наприклад, главу 13 в монографії Н.Ешкрофта і Н.Д. Мерміна, цитованої в п. 3.5.
Обидва ці матеріали є сплавами, тобто твердими розчинами: хромель - 10% хрому в 90% нікелю, а константан - 45% нікелю та 55% міді.
Альтернативним поясненням фактора$(\varepsilon – \mu )$ в Equation ($6.5.11$) є те, що відповідно до Eqs. ($1.4.14$) і ($1.5.7$), для рівномірної системи$N$ частинок цей фактор є справедливим$(E – G)/N \equiv (TS – PV)/N$. Повний диференціал чисельника такий$TdS + SdT –PdV – VdP$, що при відсутності механічної роботи$d\mathscr{W} = –PdV$, а також зміни температури і тиску, це просто$TdS \equiv dQ$ — див. Рівняння ($1.3.6$).
Названий на честь Жана Шарля Афаназа Пельтьє, який експериментально відкрив у 1834 році ефект, виражений першим терміном у Equation ($6.5.12$) - і, отже, рівнянням ($6.5.19$).
Див., наприклад, п. 15.7 в Р.Патріа і П. Біл, Статистична механіка,$3^{rd}$ ред., Elsevier, 2011. Однак зауважте, що діапазон дійсності відносин Onsager все ще обговорюється - див., наприклад, K.-T. Чен і П. Лі, Фіз. Преподобний Б 79, 18 (2009).
Він був названий на честь Густава Відемана і Рудольфа Франца, які помітили сталість співвідношення$\kappa /\sigma$ для різних матеріалів, при одній і тій же температурі, ще в 1853 році. Пряму пропорційність відношення до абсолютної температури помітив Людвіг Лоренц в 1872 році. Завдяки його внеску, закон Відеманна-Франца часто представлений в одиницях температури СІ, як$\kappa /\sigma = LT_K$, де постійна$L \equiv (\pi^2/3)k_B/e^2$, звана числом Лоренца, близька до$2.45 \times 10^{-8}W\cdot \Omega \cdot K^{-2}$. Теоретично рівняння ($6.5.17$) було виведено в 1928 році А.Зоммерфельдом.
Дозвольте підкреслити, що тут ми обговорюємо тепло, що передається через провідник, а не джоульське тепло, що генерується в ньому струмом. (Останній ефект квадратичний, а не лінійний, в струмі, а значить, набагато менше в$I \rightarrow 0$.)
Див., наприклад, D. Rowe (ред.), Довідник з термоелектрики: Макрос до нано, CRC Press, 2005.
Його припустив (в 1822 р.) все той же універсальний науковий геній Я.-Б. Фур'є, який не тільки розробив такий ключовий математичний інструмент, як ряд Фур'є, але і відкрив те, що зараз називається парниковий ефект!
Всі вони схожі на рівняння неперервності для інших величин - наприклад, маси (див. СМ. Розділ 8.3) та квантово-механічної ймовірності (див. QM сек. 1.4 та 9.6).
Згідно з Equation ($1.4.2$), в разі незначного теплового розширення не має значення, говоримо ми про внутрішню енергію$E$ або про ентальпії$H$.
Якщо$c_V$ залежність від температури може бути проігнорована тільки в межах обмеженого температурного інтервалу, Eqs. ($6.5.23$) і ($6.5.25$) можуть бути використані протягом цього інтервалу для відхилень температури від деякого еталонного значення.
Сподіваюся, читач знає це напам'ять, але якщо ні — див., наприклад, MA Equation (12.2).
Набагато більш детальне висвітлення цієї важливої частини фізики можна знайти, наприклад, в підручнику Л.Пітаєвського та Е.Ліфшица, Фізична кінетика, Баттерворт-Хайнеман, 1981. Більш глибоке обговорення рівняння Больцмана дається, наприклад, в монографії С.Гарріс, Вступ до теорії рівняння Больцмана, Дувр 2011. Для обговорення прикладних аспектів кінетики див., наприклад, T. Bergman et al., Основи тепломасообміну,$7^{th}$ ред., Wiley, 2011.
Детальне ознайомлення з цим методом (неодноразово використовуваним в цій серії) можна знайти, наприклад, в ЕМ Розділ 2.5.
У галузях, пов'язаних з хімією, цей процес часто називають випітом.
Див., наприклад, Рівняння КМ (8.56). Зверніть увагу на різницю між коефіцієнтом в'язкості зсуву,$\eta$ розглянутим в цій задачі, і коефіцієнтом опору, розрахунок$\eta$ якого був завданням задачі 3.2. Незважаючи на схожі (традиційні) позначення, і приналежність до одного і того ж царства (кінематичне тертя), ці коефіцієнти мають різні визначення і навіть різні розмірності.
Мені шкода за те, що для перетину використовую ту ж букву, що і для електричної Омічної провідності. (Обидва позначення дуже традиційні.) Дозвольте сподіватися, що це не призведе до плутанини, адже провідність не обговорюється в цій проблемі.
Ця проблема не слідує за проблемою 12 лише з історичних причин.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}^*\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)80

Вправа\(\PageIndex{15}\)⁸⁰