4.6: Проблеми з вправами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76719

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Порівняйте третій віріальний коефіцієнт\(C(T)\), що випливає з рівняння ван дер Ваальса, з його значенням для хардбольної моделі взаємодії частинок (розрахунок якої був предметом завдання 3.28), і коментар.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Обчисліть ентропію і внутрішню енергію газу ван дер Ваальса і обговоріть результати.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Використовуйте два різних підходи для розрахунку так званого коефіцієнта Джоуля-Томсона\((\partial E/\partial V)_T\) для газу ван дер Ваальса, і зміни температури такого газу, при температурно-незалежному\(C_V\), при його швидкому розширенні.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Обчисліть різницю\(C_P – C_V\) для газу ван дер Ваальса і порівняйте результат з результатом для ідеального класичного газу.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Обчисліть температурну залежність фазово-рівноважного тиску\(P_0(T)\) і прихованої теплоти\(\Lambda (T)\), для моделі ван дер Ваальса, в низькотемпературній межі\(T << T_c\).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Виконуйте ті ж завдання, що і в попередній задачі, в протилежній межі — в безпосередній близькості від критичної точки\(T_c\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\[P+\frac{a}{V(V+Nb)T^{1/2}}=\frac{NT}{V-Nb},\nonumber\]

з постійними параметрами\(a\) і\(b\).

Підказка: Будьте готові розв'язати кубічне рівняння з конкретними (числовими) коефіцієнтами.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\[P=\frac{NT}{V-b} \text{exp}\left\{-\frac{a}{NTV}\right\},\nonumber\]

з постійними параметрами\(a\) і\(b\). Порівняйте значення безрозмірного коефіцієнта\(P_cV_c/NT_c\) з тими, які дають моделі ван дер Ваальса і Редліха-Квонга.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

У сирому ескізі\(4.1.3b\), показаному на малюнку, похідні\(dP/dT\) фазових переходів рідкого газу («випаровування») і твердого газу («сублімація»), в потрійній точці, різні, з

\[\left(\frac{d P_{\mathrm{v}}}{d T}\right)_{T=T_{\mathrm{t}}}<\left(\frac{d P_{\mathrm{s}}}{d T}\right)_{T=T_{\mathrm{t}}}.\nonumber\]

Це випадково? Яке співвідношення між цими похідними можна отримати з термодинаміки?

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Скористайтеся формулою Клапейрона-Клаузіуса (\(4.1.17\)) для обчислення прихованої теплоти\(\Lambda\) конденсації Бозе-Ейнштейна і порівняйте отриманий результат з отриманим у розв'язку задачі 3.21.

Вправа\(\PageIndex{11}\)

(i) Напишіть ефективний гамільтоніан для того, щоб звичайне одночастинкове стаціонарне рівняння Шредінгера збігалося з рівнянням Гроса-Пітаєвського (\(4.3.19\)).

(ii) Використовуйте цей гамільтоніан Гроса-Пітаєвського, з потенціалом уловлювання\(U(\mathbf{r}) = m\omega^2r^2/2\), для\(E\) обчислення енергії\(N >> 1\) захоплених частинок, припускаючи пробне рішення\(\psi \propto \text{exp}\{–r^2/2r_0^2\}\), як функцію параметра\(r_0\). ⁵⁴

(iii) Дослідіть функцію\(E(r_0)\) для позитивних та негативних значень\(b\) константи та інтерпретувати результати.

(iv) Для\(b < 0\) малих оцініть найбільшу\(N\) кількість частинок, які можуть утворювати метастабільний конденсат Бозе Ейнштейна.

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Надпровідність може бути придушена досить сильним магнітним полем. У найпростішому випадку об'ємного, довгого циліндричного зразка надпровідника I типу, поміщеного в зовнішнє магнітне поле\(\pmb{\mathscr{H}}_{ext}\) паралельно його поверхні, це придушення приймає просту форму одночасного переходу всього зразка з надпровідного стану в «нормальне» (ненадпровідне) стан при певному\(\mathscr{H}_c(T)\) значенні величини поля. Це критичне поле поступово зменшується з температурою від її максимального значення\(\mathscr{H}_c(0)\) на рівні\(T \rightarrow 0\) до нуля при критичній температурі\(T_c\). Припускаючи, що функція\(\mathscr{H}_c(T)\) відома, обчисліть приховану теплоту цього фазового переходу як функцію від температури, і пропишіть її значення при\(T \rightarrow 0\) і\(T = T_c\).

Підказка: У цьому контексті «об'ємний зразок» означає зразок, набагато більший, ніж внутрішні шкали довжини надпровідника (наприклад, глибина проникнення Лондона\(\delta_L\) та довжина когерентності\(\xi \)). ⁵⁵ Для таких об'ємних надпровідників магнітні властивості надпровідної фази можуть бути добре описані так само, як ідеальний діамагнетизм, з\(\pmb{\mathscr{B}} = 0\) всередині нього.

Вправа\(\PageIndex{13}\)

У деяких підручниках обговорення термодинаміки надпровідності починається з відображення, як самоочевидної, наступної формули:

\[F_n(T)-F_s(T)=\frac{\mu_0\mathscr{H}_c^2(T)}{2}V,\nonumber\]

де\(F_s\) і\(F_n\) є величиною вільної енергії в надпровідної і ненадпровідної («нормальної») фазах, і\(\mathscr{H}_c(T)\) є критичним значенням магнітного зовнішнього поля. Чи правильна ця формула, а якщо ні, то яка кваліфікація необхідна, щоб вона була дійсною? Припустимо, що всі умови одночасного поля індукованого фазового переходу у всьому зразку, прописані в попередній задачі, виконані.

Вправа\(\PageIndex{14}\)

У п. 4 розглянуто молекулярно-польовий підхід Вайса до моделі Ізинга, в якому середнє\(\langle s_j\rangle\) відіграє роль параметра порядку\(\eta \). Використовуйте результати цього аналізу для обчислення коефіцієнтів\(a\) і\(b\) у відповідному розширенні Ландау (\(4.3.6\)) вільної енергії. Перерахуйте критичні показники\(\alpha\) та\(\beta \), визначені Eqs. (\(4.2.6\)) і (\(4.2.8\)), в рамках цього підходу.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Розглянемо кільце\(N = 3\) Ізинга «спини» (\(s_k = \pm 1\)), з подібним феромагнітним зв'язком\(J\) між усіма ділянками, в тепловій рівновазі.

(i) Обчисліть параметр порядку\(\eta\) та сприйнятливість до низького поля\(\chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}\).

(ii) Використовуйте низькотемпературний ліміт результату для\(\chi\) передбачити його для кільця з довільним\(N\), і перевірити свій прогноз прямим розрахунком (у цій межі).

(iii) Обговоріть зв'язок між останнім результатом у межі\(N \rightarrow \infty \) та рівнянням (\(4.5.15\)).

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Обчисліть середню енергетичну, ентропію та теплоємність тримайданного кільця типу Ізінга «спінів» (\(s_k = \pm 1\)), з антиферомагнітним зв'язком (величини\(J\)) між ділянками, в тепловій рівновазі при температурі\(T\), без зовнішнього магнітного поля. Знайти асимптотичну поведінку його теплоємності при низьких і високих температурах і дати інтерпретацію отриманих результатів.

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Використовуючи результати, розглянуті в п. 5, обчислити середню енергію, вільну енергію, ентропію та теплоємність (все на спін) як функції температури\(T\) та зовнішнього поля\(h\) для нескінченної 1D моделі Ізинга. Намалюйте температурну залежність теплоємності для різних значень співвідношення\(h/J\), і дайте фізичну інтерпретацію результату.

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Використовуйте теорію молекулярного поля для розрахунку критичної температури та низькопольової сприйнятливості\(d\) -мірної кубічної решітки спінів, описаних так званою класичною моделлю Гейзенберга: ⁵⁶

\[E_m = -J \sum_{\{k,,k'\}} \mathbf{s}_k \cdot \mathbf{s}_{k'} - \sum_k \mathbf{h} \cdot \mathbf{s}_k. \nonumber\]

Тут, на відміну від (інакше, дуже схожою) моделі Ізинга (\(4.2.3\)), спин кожного сайту моделюється класичним 3D вектором\(\mathbf{s}_k = \{s_{xk}, s_{yk}, s_{zk}\}\) одиничної довжини:\(s^2_k = 1\).

Плазмову фазу, в якій атоми частково або повністю іонізовані, часто згадується ще на одній фазі, нарівні з трьома перерахованими вище фазами, але потрібно пам'ятати, що на відміну від них типова електронно-нейтральна плазма складається з частинок двох дуже різних видів - позитивних іонів і електронів.
Такі схеми класифікації, розпочаті Полом Еренфестом на початку 1930-х років, неодноразово модифікувалися для розміщення нових результатів для конкретних систем, і на сьогоднішній день лише «фазовий перехід першого порядку» все ще є загальноприйнятим терміном, але з визначенням, відмінним від початкового.
Наприклад, для води прихована теплота випаровування при тиску навколишнього середовища досягає\(\sim 2.2 \times 10^6\) Дж/кг, тобто\(\sim 0.4\) еВ на молекулу, що робить цю всюдисущу рідину незамінною для ефективного пожежогасіння. (Прихована теплота танення водяного льоду на порядок нижче.)
Через феноменологічний характер моделі ван дер Ваальса не можна точно сказати, чи відповідає конденсована фаза, яку вона прогнозує, рідини чи твердої речовини. Однак у більшості реальних речовин в умовах навколишнього середовища газ співіснує з рідиною, звідси і назва.
Спеціальний вибір числових коефіцієнтів у Equation (\(4.1.3\)) змушує межу між цими двома областями проходити точно при температурі\(t = 1\), рівній\(T_c\), з координатами критичної точки рівними\(P_c\) і\(V_c\).
Власне, це припущення не має вирішального значення для нашого аналізу механічної стійкості, оскільки якщо коливання відбувається в невеликій частині загального обсягу\(V\), то інші його частини грають роль середовища, що фіксує тиск.
Нерідко,\(P_0(T)\) називається тиск насиченої пари.
Природне питання: чи існує двофазний стан\(P = P_0(T)\) з єдиним станом між точками 1 і 2? Дійсно, гілки 1-1' і 2-2' однофазної ізотерми також мають негативні похідні\((\partial P/\partial V)_T\) і, отже, механічно стійкі щодо малих збурень. Однак ці гілки насправді метастабільні, тобто мають більшу енергію Гіббса на частинку (тобто\(\mu \)), ніж аналог фази і, отже, нестійкі до більших збурень - таких як чужорідні мікрочастинки (скажімо, пил), виступи на обмежувальних стінках тощо У дуже керованих умов ці однофазні «перегріті» і «переохолоджені» стани можуть пережити майже весь шлях до нульових похідних точок 1' і 2', що призводить до раптових стрибків системи в фазу аналога. (При фіксованому тиску такі скачки йдуть так, як показано пунктирними лініями на рис\(4.1.2\).) Зокрема, при атмосферному тиску очищена вода може переохолоджуватися майже до -50\(^{\circ}\)° С, а перегріватися майже до +270\(^{\circ}\)° С. Однак в більш реалістичних умовах збурень призводять до утворення двофазного співіснування, близького до точок 1 і 2.
Це правило Максвелла рівної площі (також зване «конструкцією Максвелла») було запропоновано Джей К. Максвеллом у 1875 році, використовуючи більш складні міркування.
Це захоплююче, наскільки добре цей показник Arrhenius прихований у поліномі ван дер Ваальса рівняння (\(4.1.2\))!
\(\ce{(CH3-CH2)-O-(CH2-CH3)}\), Історично перший популярний загальний анестетик.
Цікаво, що дуже близько до критичної точки речовина раптово стає непрозорим — у випадку ефіру, білуватим. Якісне пояснення цього ефекту, званого критичною опалесценцією, просте: в цей момент різниця енергій Гіббса на частинку (тобто хімічних потенціалів) двох фаз стає настільки малою, що неминучі теплові коливання призводять до спонтанної появи і зникнення порівняно великих (кілька-\(\mu\) m-масштабних) однофазних областей у всьому обсязі. Велика концентрація меж таких областей випадкової форми призводить до сильного розсіювання світла.
Зверніть увагу, що для води,\(P_t\) значно нижче нормального атмосферного тиску (101,325 кПа).
Зверніть увагу на недавнє (2018) повторне визначення «легального» Кельвіна через джоуль (див. Додаток CA: Вибрані фізичні константи); однак нове визначення сумісне, в межах експериментальної точності, із згаданим вище.
Мабуть, найбільш практично важливим прикладом є система повітря/вода. Для його детального обговорення, заснованого на Equation (\(4.1.19\)), читач може бути направлений, наприклад, до п. 3.9 у Ф. Шваблі, Статистична механіка, Springer (2000). Інші важливі області застосування включають рідкі розчини, а металеві сплави — тверді розчини металевих елементів.
Для феромагнетиків ця точка зазвичай позначається при температурі Кюрі, а для антиферомагнетиків - температурою Нееля.
На жаль, у мене не буде часу/місця для цих цікавих (і практично важливих) узагальнень, і доведеться віднести зацікавленого читача до відомої монографії Р.Стратоновича «Теми в теорії випадкового шуму», в 2 тт., Гордон і Брейч, 1963 і 1967, та/або впливові огляд Хакена, Проблема 10, 351 (1970).
Див., наприклад, QM Sec. 4.4.
При\(J < 0\), перший член Equation (\(4.2.1\)) дає розумну модель антиферомагнетика, але в цьому випадку зовнішні ефекти магнітного поля більш тонкі; я не встигну їх обговорити.
Див., наприклад, Рівняння QM (4.163).
Названий на честь Ернста Ізінга, який детально досліджував 1D версію моделі в 1925 році, хоча подібна модель обговорювалася раніше (в 1920 році) Вільгельмом Ленцем.
Більш детальне обговорення теорій фазового переходу (включаючи інші популярні моделі феромагнітного фазового переходу, наприклад, модель Поттса) див., наприклад, або Стенлі, Вступ до фазових переходів і критичних явищ, Oxford U. Press, 1971; або А.Паташинський і В.Покровський, Теорія флуктуацій фазових переходів, Пергамон, 1979; або Б.Маккой, Передова статистична механіка, Oxford U. Press, 2010. Для дуже стислого тексту я можу рекомендувати J. Yeomans, Статистична механіка фазових переходів, Clarendon, 1992.
Вибрано форми цієї та інших функцій\(\tau\), щоб зробити всі критичні показники ненегативними.
У більшості моделей феромагнітних фазових переходів ця змінна пропорційна справжньої низькопольової магнітної\(\chi_m\) сприйнятливості матеріалу — див., наприклад, EM Equation (5.111).
Як вже обговорювалося в секціях 1.4 і 2.4, в літературі існує деяка дихотомія термінології для вільних енергій. У моделям (\(4.2.1\)) і (\(4.2.3\)) ефекти магнітного поля враховуються на мікроскопічному рівні шляхом включення відповідного терміна в кожне конкретне значення\(E_m\). З цієї точки зору список макроскопічних змінних в цих системах не включає ні\(P\) і,\(V\) ні їх магнітних аналогів, так що ми можемо приймати\(G \equiv F + PV = F +\) const, а рівновага (при фіксованому\(h\),\(T\) і\(N\)) відповідає мінімуму Вільна енергія Гельмгольца\(F\).
Історично склалося так, що останній термін належить до більш пізнього (1950) розширення теорії В.Гінзбурга і Л.Ландау — див. нижче.
Відповідно до Equation (\(4.2.10\)), радіус кореляції може бути інтерпретований як відстань, на якій параметр порядку\(\eta\) розслабляється до його значення рівноваги, якщо він відхиляється від цього значення в якийсь момент. Оскільки закон такої просторової зміни може бути отриманий варіаційною диференціацією\(F\), для фактичного закону релаксації всі основні терміни (\(4.3.6\)) повинні бути порівнянними.
Як безпосередня елементарна перевірка осудності цього співвідношення, що випливає з аналогії Eqs. (\(1.1.1\)) і (\(1.1.5\)), мінімізація\(\Delta g\) при відсутності надпровідності (\(\psi = 0\)) дає правильний результат\(\pmb{\mathscr{B}} = \mu_0\pmb{\mathscr{H}}\). Зверніть увагу, що цей рахунок різниці між\(\Delta f\) і\(\Delta g\) необхідний тут, оскільки (на відміну від Eqs. (\(4.2.1\)) і (\(4.2.3\))), вільна енергія Гінзбурга Ландау (\(4.3.16\)) не враховує вплив поля на кожну частинку безпосередньо.
Це обговорюється в ЕМ Sec. 6.5.
Див., наприклад, QM Sec. 3.1.
Див., наприклад, EM Sec. 6.5.
Див., наприклад, М. Тінкхем, Вступ до надпровідності,\(2^{nd}\) ред., Макгроу-Хілл, 1996. Коротке обговорення ефектів Джозефсона та вихорів Абрикосова можна знайти в QM Sec. 1.6 та EM Sec. 6.5 цієї серії.
Див., наприклад, п. 45 в Е.Ліфшиц і Л.Пітаєвський, Статистична фізика, частина 2, Пергамон, 1980.
Оскільки в цьому наївному підході ми нехтуємо коливаннями спина, тобто їх розладом, припущення повного впорядкування передбачає\(S = 0\)\(F \equiv E – TS = E\), так що, і ми можемо використовувати будь-які позначення для енергії системи.
Той факт, що стабільні стани завжди відповідають\(\eta = \pm 1\), частково виправдовує обробку в цьому грубому наближенні параметра порядку\(\eta\) як неперервної змінної.
Оскільки ці скачки намагніченості супроводжуються (негативними) стрибками вільної енергії\(F\), їх іноді називають фазовими переходами першого порядку. Однак зауважте, що в цій простій теорії ці переходи між двома фізично схожими повністю впорядкованими фазами.
Для мене завжди було шокуючим, як мало мої аспіранти знали про цю захоплюючу (і дуже важливу) сферу сучасної інженерії, яка передбачає стільки цікавої фізики і фантастичних електромеханічних технологій. Для ознайомлення з нею можу порекомендувати, наприклад, монографію К.Мі і Е.Даніеля «Технологія магнітного запису»,\(2^{nd}\) ред., Макгроу-Хілл, 1996.
У деяких текстах таке наближення називається «теорією середнього поля». Ця термінологія може призвести до плутанини, оскільки теорія молекулярного поля належить до іншого, більш глибокого рівня теоретичної ієрархії, ніж, скажімо, (більш феноменологічні) теорії середнього поля в стилі Ландау. Наприклад, для даної мікроскопічної моделі молекулярно-польовий підхід може бути використаний для (наближеного) обчислення параметрів\(a\)\(b\), а\(T_c\) участь у Equation (\(4.3.6\)) — початковою точкою теорії Ландау.
Названий на честь П'єра Кюрі, а не його (більш відомої) дружини Марії Склодовської-Кюрі.
Він був розроблений в 1941 році Х.Крамерсом і Г.Ваннієром. Я дотримуюся цього методу тут, оскільки він дуже близький до того, який використовується в квантовій механіці (див., наприклад, QM Sec. 2.5), і може бути застосований і до інших проблем. Для більш простого підходу до 1D задачі Ізинга, який дає явне рішення навіть для «відкритої» системи з кінцевим числом спинив, дивіться модельне рішення Задачі 5.5.
Це результат «поступальної» (а точніше обертальної) симетрії системи, тобто її інваріантності заміні індексу\(k \rightarrow k + 1\) у всіх термінях Equation (\(4.5.2\)).
Названий на честь Фелікса Блоха, який першим обговорив такі збудження в феромагнетизмі.
Для замкнутої кільцевої моделі (рис.\(4.5.1\)) такий аналіз дає майже схожий прогноз, з тією різницею, що в тій системі стінки Блоха можуть з'являтися тільки попарно, так що\(E_W = 4J\), і\(S_W = \ln [N(N – 1)] \approx 2\ln N\).
Це дуже яскраве застосування одного з основних результатів термодинаміки. Якщо читачеві все ще незручно це, їм настійно рекомендується переглянути Equation (\(1.4.19\)) та його обговорення.
Для цього зацікавлений читач може бути посиланий або на Розділ. 151 у підручнику Ландау та Ліфшица, або на главу 15 у тексті Хуана, обидва наведені вище.
Обговорення таких законів в задачі фізичної кінетики, яке буде коротко розглянуто в главі 6.
Розрахунок цих показників для кількох конкретних випадків описаний у QM Secs. 6.6, 6.7 та 7.6 — див., наприклад, QM Equation (7.196), що справедливо для дуже загальної моделі квантової системи.
Зверніть увагу, що фліп одного спина змінює ознаки тільки\((2d + 1)\) членів в sum (\(4.2.3\)), тобто не вимагає перерахунку всіх\((2d +1)N\) членів суми, так що обчислення\(\Delta\) займає всього кілька множень-і накопичує операції навіть при\(N >> 1\).
Останній крок необхідний для уникнення уловлювання системи в локальних мінімумах її багатовимірного енергетичного профілю\(E_m(s_1, s_2,..., s_N)\).
Спочатку розроблена в квантовій теорії поля в 1950-х роках, вона була адаптована до статистики Л.Каданоффом в 1966 році, з вражаючим рішенням так званої проблеми Кубо К.Вілсоном в 1972 році, пізніше удостоєний Нобелівської премії.
Цього можна очікувати, оскільки фізично\(C\) є лише певним постійним доповненням до енергії системи. Однак введення цієї константи математично необхідно, оскільки Eqs. (\(4.5.31\)) і (\(4.5.32\)) можуть бути узгоджені лише в тому випадку, якщо\(C' \neq C\).
Це рівняння стану, запропоноване в 1948 році, описує більшість реальних газів краще, ніж не тільки оригінальна модель ван дер Ваальса, а й інші двопараметричні альтернативи, такі як моделі Бертелота, модифікованого Бертелота та Дітерічі, хоча деякі наближення з більшою параметри підгонки (наприклад, модель Соаве-Редліх-Квонг) працюють ще краще.
Ця модель в даний час менш популярна, ніж Redlich-Kwong (також з двома параметрами підгонки), аналіз якої був завданням попередньої проблеми.
Це завдання, по суті, є першим кроком варіаційного методу квантової механіки — див., наприклад, QM Sec. 2.9.
Обговорення цих параметрів, а також різниці між надпровідністю типу I та типу II можна знайти в ЕМ сек. 6.4-6.5. Однак ці деталі не потрібні для вирішення цієї проблеми.
Ця класична модель формально схожа на узагальнення справжньої (квантової) моделі Гейзенберга (\(4.2.1\)) на довільний спін\(s\), і служить її межею нескінченного спина.