13.8: Обсяг, температура та параметр Grüneisen

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76269

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Якщо стискати матеріал адіабатично і оборотно (тобто ентропічно), його температура підвищується. Сума, на яку вона піднімається, може бути представлена частковою похідною\( \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}\). Тут V може означати загальний обсяг, конкретний обсяг або молярний об'єм, відповідно до контексту, і вам доведеться вказати свої одиниці відповідно. Похідна негативна, тому що температура піднімається в міру зменшення обсягу.

[Порівняйте це з визначенням об'ємного коефіцієнта розширення\( \beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\), який є позитивним. Подумайте про різницю.]

Безрозмірна версія, яка також виражає зміну температури з об'ємом\( \frac{V}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln V}\right)_{S}\), буде, і тут немає необхідності вказувати, чи означає V загальна, питома або молярна. Похідна також може бути записана як\( -\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{S}\), де ρ - щільність. Позитивне значення,\( -\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln V}\right)_{S}=+\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{S}\) називається параметром Грюнайзен. Ми вже використовували символи G, g, γ і γ для різних речей в цих нотах, тому я застряг для відповідного символу. Іноді для безрозмірних параметрів використовуються некурсивні символи, такі як R для числа Рейнольдса в аеродинаміці. Спробуємо Gr для параметра Grüneisen.

Для ідеального газу співвідношення між об'ємом і температурою при оборотному адіабатичному розширенні становить TV ^γ ^{− 1} = постійна, і тому параметр Грюнейсена для ідеального газу дорівнює γ − 1.

Думаючи про зміни обсягу та температури, ми часто маємо на увазі якийсь газ (ідеальний чи інший). Однак геофізикам доводиться стикатися з дуже великими тисками у надрах Землі, де зміни обсягу і температури твердих тіл під тиском не незначні, а геофізики часто використовують параметр Грюнайзен для твердих матеріалів.

Для трохи практики у виведенні взаємозв'язків між деякими величинами, описаними в цьому розділі, подивіться, чи можете ви показати, що

\[ \mathrm{Gr}=\frac{\beta}{\rho C_{V} \kappa_{\mathrm{iso}}}=\frac{\beta}{\rho C_{P} \kappa_{\mathrm{ad}}}\]

\[ \gamma=1+\operatorname{Gr} \beta T.\]

Якщо ρ в цих питаннях розшифровується як щільність (маса на одиницю об'єму), то що, саме, це C _V і C _P? Загальний, специфічний або молярний? Або це не має значення? Якими стають ці рівняння у випадку ідеального газу?