13.1: Коефіцієнт розширення

Позначення: В ідеальному світі я б використовував α, β, γ відповідно для коефіцієнтів лінійного, площі та об'ємного розширення. На жаль, нам потрібно γ для співвідношення теплових потужностей. Багато людей використовують β для розширення обсягу, тому я буду стежити за цим. Що ж тоді використовувати для розширення площі? Я буду використовувати б, так що тепер у нас є α, b, β, який дуже незграбний. Однак ми рідко потребуватимемо б, тому, можливо, ми зможемо вижити.

Коефіцієнт лінійного розширення: α

Коефіцієнт розширення площі: b

Коефіцієнт об'ємного розширення: β

Для невеликих діапазонів температур збільшення довжини, площі та обсягу з температурою може бути представлено

\[l_{2}=l_{1}\left[1+\widehat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

\[ A_{2}=A_{1}\left[1+\hat{b}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

і

\[ V_{2}=V_{1}\left[1+\widehat{\beta}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right] \]

Ось\( \hat{\alpha}, \hat{b}\) і\( \widehat{\beta}\) наводяться приблизні коефіцієнти лінійного, площі і об'ємного розширення відповідно в діапазоні температур T ₁ до T ₂. Для всіх трьох одиниць є ступінь ⁻¹, тобто Cº ⁻¹ або K ⁻¹.

Для анізотропних кристалів коефіцієнт може бути різним в різні боки, а ось для ізотропних матеріалів ми можемо записати

\[ A_{2}=l_{2}^{2}=l_{1}^{2}\left[1+\hat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]^{2}=A_{1}\left[1+2 \tilde{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right] \]

\[ V_{2}=l_{2}^{3}=l_{1}^{3}\left[1+\hat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]^{3}=V_{1}\left[1+3 \tilde{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right]\]

Таким чином, для невеликих розширень,\( \hat{b} \approx 2 \tilde{\alpha}\) і\( \widehat{\beta} \approx 3 \hat{\alpha}\).

Рівняння 13.1.1, 2 і 3 визначають наближені коефіцієнти в кінцевому діапазоні температур. Коефіцієнти при тій чи іншій температурі визначаються через похідні, тобто

\[ \alpha=\frac{1}{l}\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{P},\]

\[ b=\frac{1}{A}\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{P}\]

\[ \beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.\]

Відносини b = 2α і β = 3α точні.

Ми вказуємо «при постійному тиску», тому що, очевидно, ми не хочемо, у нашому визначенні, запобігати розширенню матеріалу, збільшуючи тиск на нього, коли ми його нагріваємо.

Для твердих речовин коефіцієнт лінійного розширення зазвичай є відповідним параметром; для рідин і газів коефіцієнт об'єму зазвичай підходить. Для більшості звичних металів коефіцієнт лінійного розширення становить близько 10 ⁻⁵ К ⁻¹. Такі сплави, як нікель-сталевий сплав «інвар», що застосовуються в годинниковому будівництві, можуть мати набагато менші коефіцієнти. Звичайне скло має коефіцієнт лише трохи менше, ніж у металів; пірекс і плавлений кварц мають набагато менше розширення — отже, їх використання в дзеркалах телескопів. Для рідин і газів зазвичай вказується коефіцієнт об'єму. Об'ємний коефіцієнт ртуті становить близько 0,00018 К ⁻¹. Вода фактично стискається між 0 і 4 ^o C і розширюється вище цієї температури. Об'ємний коефіцієнт повітря при 0 ^о С дорівнює 0,0037 К ⁻¹.

При кімнатних температурах і вище коефіцієнт лінійного розширення металів не змінюється в величезній кількості з температурою, але при низьких температурах коефіцієнт розширення змінюється набагато швидше з температурою — як і питома теплоємність (див. Розділ 8.10). Дійсно, для даного металу варіація коефіцієнта розширення та питома теплоємність змінюються з температурою досить схожим чином, так що для даного металу відношення α/C _P є постійним у великому діапазоні температур.

Вправа: Квадратна металева пластина має круглий отвір площею 300 см ² посередині. Якщо коефіцієнт лінійного розширення дорівнює 2 × 10 ⁻⁵ Сº ⁻¹, обчисліть площу отвору при підвищенні температури плити через 100 градусів.

Вправа: Покажіть, що коефіцієнт об'ємного розширення ідеального газу дорівнює 1/ Т. Порівняйте це з числовим значенням для повітря, наведеним вище.

Хоча класична термодинаміка не займається детальними мікроскопічними процесами, цікаво запитати, чому твердий матеріал розширюється при нагріванні. Уявімо кристалічне тверде тіло, яке складається з атомів, з'єднаних між собою маленькими пружинами, і кожна пружина регулюється законом Гука, і, отже, кожен атом вібрує в параболічній потенційній ямі і рухається в простому гармонічному русі. Якщо ми збільшуємо температуру, то збільшуємо амплітуду коливань, але середні положення атомів не змінюємо. Отже, в такій моделі ми не очікували б ніякого розширення при нагріванні. Однак реальний потенціал не є параболічним, а формується, принаймні якісно, щось на зразок потенціалів Леннарда-Джонса або Морзе, згаданих у розділі 6.8 глави 6. Якщо матеріал нагрівається, амплітуда коливань збільшується, і через більш високі терміни в потенціалі, які надають потенціалу його асиметричну ангармонічну форму, середнє поділ атомів дійсно збільшується, і тому ми маємо розширення. Таким чином, розширення при нагріванні твердого матеріалу є наслідком ангармонічності атомних коливань і асиметрії потенціалу, в якому вони рухаються.

У наступних двох вправах я буду думати про розширення металевого стрижня в міру підвищення температури, і тиск буде вважатися постійним у всі часи. Таким чином, я збираюся припустити, що тиск не є змінною в обговоренні, і я буду визначати коефіцієнт лінійного розширення,\( \alpha=\frac{1}{l} \frac{d l}{d T}\) а не більш загальний\( \frac{1}{l}\left(\frac{\partial l}{\partial T}\right)_{P}\). Невеликий момент, який я роблю на цьому етапі, полягає в наступному: припустимо, що довжина металевого стрижня зростає лінійно з температурою, так\( \frac{d l}{d T}\) що це не означає, що коефіцієнт розширення не залежить від температури. А якщо α не залежить від температури, l не зростає лінійно з температурою. Наступні дві вправи проілюструють це, а також проілюструють, як точний коефіцієнт\( \alpha=\frac{1}{l} \frac{d l}{d T}\) пов'язаний з тим, що я назвав (через відсутність кращого терміну) «приблизний» коефіцієнт\( \widehat{\alpha}=\frac{1}{l_{1}} \frac{l_{2}-l_{1}}{T_{2}-T_{1}}\).

Вправа. Припустимо, що довжина металевого стрижня збільшується з температурою відповідно до того,\(l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right)\) де l ₀ - довжина при 0 К, а α ₀ - коефіцієнт при 0 К. Це означає, що\( \frac{d l}{d T}\) і l α не залежать від температури, і кожен дорівнює l ₀ α ₀. Показати, що коефіцієнт при температурі T задається

\[ \alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}.\]

Показати\( \widehat{\alpha}\), що, приблизний коефіцієнт в діапазоні температур T ₁ до T ₂, дорівнює точному коефіцієнту α, оціненому при T = T ₁.

Вправа. Припустимо, що коефіцієнт α не залежить від температури. Показати, що довжина стрижня збільшується з температурою відповідно до\( l=l_{0} e^{a T}\), де l ₀ - довжина при 0 K. Показати також, що\( \hat{\alpha}=\frac{e^{\alpha\left(T_{i}-T_{1}\right)}-1}{T_{2}-T_{1}}\).

До цього часу читачеві, можливо, прийшло в голову, що те, що ми назвали α), при всій своїй корисності в\( l_{2}=l_{1}\left[1+\widehat{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]\) рівнянні не є «коефіцієнтом» розширення при температурі T ₁, а також не середнім коефіцієнтом в діапазоні температур T ₁ до Т ₂. Середній коефіцієнт в цьому діапазоні повинен визначатися\( \overline{\alpha}\left(T_{2}-T_{1}\right)=\int_{T_{1}}^{T_{2}} \alpha d T\). Отже, тепер ще одна вправа:

Вправа. Припустимо, що довжина металевого стрижня збільшується з температурою відповідно до\(l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right)\), де l ₀ - довжина при 0 К, а α ₀ - коефіцієнт при 0 К. Показати, що

\[ \overline{\alpha}=\frac{1}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} \ln \left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right).\]

Резюме

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text { If } \frac{d l}{d T} \text { is constant } & \text { If } \alpha \text { is constant } \\ \hline l=l_{0}\left(1+\alpha_{0} T\right) & l=l_{0} e^{\alpha T} \\ \alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T} & \alpha=\alpha_{0} \\ \widehat{\alpha}=\alpha_{1} & \widehat{\alpha}=\frac{e^{\alpha\left(T_{i}-T\right)}-1}{T_{2}-T_{1}} \\ \overline{\alpha}=\frac{1}{\left(T_{2}-T_{1}\right)} \ln \left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right) & \overline{\alpha}=\alpha \\ \hline \end{array}\]

Звичайно, ви можете відчути, що ця відмінність між\( \alpha, \alpha_{0}, \hat{\alpha}\) і\( \overline{\alpha}\) є розщепленням волосків. Давайте відкриємо для себе, наскільки вони відрізняються, поставивши деякі цифри. Припустимо, що α ₀ = 1,7 × 10 ⁻⁵ К ⁻¹ і що l ₀ = 1 м Тоді, припускаючи, що T ₁ = 280 К (6,85° C) і T ₂ = 380 К (106,85° C), отримаємо

\( \begin{array}{ll}{\text { If } \frac{d l}{d t} \text { is constant }} & {\text { If } \alpha \text { is constant }} \\ {l_{1}=1.004760 \mathrm{m}} & {1.004771 \mathrm{m}}\end{array}\)

\( \begin{array}{ll}{\alpha(280 \mathrm{K})=1.691946 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\alpha(280 \mathrm{K})=1.700000 \times 0^{-5} \mathrm{K}^{-1}} \\ {\widehat{\alpha}=1.691946 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\hat{\alpha}=1.701446 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} \\ {\overline{\alpha}=1.690516 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1}} & {\overline{\alpha}=1.700000 \times 0^{-5} \mathrm{K}^{-1}}\end{array}\)

Загалом, якщо довжина при Т _{1 дорівнює} l ₁, то довжина l ₂ при T ₂ буде задана

\[ l_{2}=l_{1} \exp \left(\int_{T_{1}}^{T_{2}} \alpha d T\right).\]

У разі, коли dL/dT є постійним, так що\(\alpha=\frac{\alpha_{0}}{1+\alpha_{0} T}\), це стає

\[ l_{2}=l_{1}\left(\frac{1+\alpha_{0} T_{2}}{1+\alpha_{0} T_{1}}\right)=l_{1}\left(1+\alpha_{0}\left(T_{2}-T_{1}\right)-\alpha_{0}^{2} T_{1}\left(T_{2}-T_{1}\right)+\ldots\right).\]

У разі, коли α постійна, тому вона стає

\[ l_{2}=l_{1} \exp \left(\alpha\left(T_{2}-T_{1}\right)\right)=l_{1}\left(1+\alpha\left(T_{2}-T_{1}\right)+\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(T_{2}-T_{1}\right)^{2}+\ldots\right)\]

При цьому до першого порядку малих величин всі різновиди α рівні.

Коефіцієнт розширення як тензорна величина. У розділі 4 я коротко згадав, що у випадку з аністропним кристалом коефіцієнт теплопровідності є тензорною величиною. Те ж саме стосується анізотропного кристала, коефіцієнта розширення. Таким чином, якщо під час іспиту з фізики вас попросили навести приклади тензорних величин, ви можете навести їх як приклади - хоча невеликий ризик може бути пов'язаний, якби ваш учитель не вважав їх тензорами! Коефіцієнт розширення анізотропного кристала може змінюватися в різні боки. (В Ісландії Spar - карбонат кальцію - в одному напрямку коефіцієнт фактично негативний.) Якщо розрізати анізотропний кристал у вигляді куба, краї якого не паралельні кристалографічної осі, зразок при нагріванні не тільки розшириться в обсязі, але і зміниться за формою, щоб стати непрямокутним паралелепіпедом. Однак можна розрізати кристал у вигляді куба таким чином, щоб при нагріванні зразок розширювався до прямокутного паралелепіпеда. Краї куба (і результуючого паралелепіпеда) потім паралельні головним осям розширення, а коефіцієнти в цих напрямках є основними коефіцієнтами розширення. Ці напрямки будуть паралельні кристалографічним осям, якщо кристал має одну з декількох осей симетрії (але очевидно не інакше)