12.5: Короткий зміст, відносини Максвелла та відносини Гіббса-Гельмгольца

\[d U =T d S-P d V+\sum X d Y\]

\[d H =T d S+V d P+\sum X d Y\]

\[d A =-S d T-P d V+\sum X d Y\]

\[d G =-S d T+V d P+\sum X d Y\]

Якщо єдиною оборотною роботою, яку виконує система або є PDV робота розширення або стиснення, у нас є більш звичні форми

\[d U =T d S-P d V\]

\[d H =T d S+V d P\]

\[d A =-S d T-P d V\]

\[d G =-S d T+V d P\]

Усі чотири термодинамічні функції є функціями стану (а отже, їх диференціали є точними диференціалами) і тому

\[\left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V}=T \quad\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S}=-P\]

\[\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{P}=T \quad\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_{S}=V\]

\[\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{V}=-S \quad\left(\frac{\partial A}{\partial V}\right)_{T}=-P\]

\[\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P}=-S \qquad\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T}=V\]

Далі, прирівнюючи змішані другі похідні, отримаємо чотири термодинамічні відносини Максвелла:

\[\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=-\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V}\]

\[\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S}=\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P}\]

\[\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}\]

\[\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\]

Відносини Гіббса-Гельмгольца тривіально знайдені з A = U − TS та разом із рівняннями 12.6.11a та 12.6.12a. G = H − TS Вони

\[U=A-T\left(\frac{\partial A}{\partial T}\right)_{V}\]

\[H=G-T\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P}\]