Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.5: Випромінювання чорного тіла

  • Page ID
    76514
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перш ніж ми забудемо всі рівняння в цьому розділі, давайте використаємо рівняння 10.2.12 (яке ми вже використовували двічі — один раз при виведенні коефіцієнта Джоуля-Томсона і один раз у виведенні C P − C V) у зовсім іншому застосуванні:

    \[ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}-P.\]

    Це дуже загальне термодинамічне відношення, і жодним чином не обмежується експериментом Джоуля. Давайте застосуємо його до електромагнітного випромінювання (а не молекул) у корпусі.

    Можливо, ви вже вивчали теорію випромінювання в порожнині та тісно пов'язану теорію випромінювання чорного тіла. Ви будете знати, що класична електромагнітна теорія не змогла пояснити спостережувані характеристики випромінювання чорного тіла, і що вона не була повністю пояснена до появи квантової теорії. В середині дев'ятнадцятого століття Кірхгоф теоретично стверджував, що щільність енергії всередині порожнини не залежить від природи стінок порожнини і залежала лише від температури і довжини хвилі. Стефан експериментально показав, що щільність випромінювання всередині порожнини, інтегрованої на всі довжини хвиль, пропорційна четвертій потужності температури. Пізніше Lummer і Pringsheim зробили деякі детальні вимірювання, які показали, як щільність випромінювання на довжину хвилі змінювалася залежно від довжини хвилі та температури. Релі та Джинс показали, що класична електромагнітна теорія погано зазнала невдачі на коротких довжині хвиль, щоб пояснити спостережуваний розподіл випромінювання порожнини з довжиною хвилі. У 1900 році Планк, не знаючи, чому, показав, що якщо він розглядає випромінювання як складене з квантів енергії , очікується,\( u_{\lambda}=\frac{C_{1}}{\lambda^{5}\left(e^{C_{2} / \lambda T )}-1\right)}\) що щільність енергії на одиницю об'єму на одиницю довжини хвилі інтервалу буде змінюватися, як це дуже добре узгоджується з експериментальними даними Люммера і Прінгсхайм. Ви також можете знати, що якщо ви інтегруєте цей вираз на всі довжини хвиль (не особливо легко), ви виявите,\( \int u_{\lambda} d \lambda\) що пропорційно T 4, таким чином також погоджуючись із спостереженнями Стефана.

    Однак, хоча квантова теорія була необхідна для пояснення вимірювань Люммера-Прінгсхайма того, як u λ змінюється в залежності від температури, Больцман використовував класичну термодинамічну теорію, щоб пояснити закон Стефана T 4 майже відразу після того, як Стефан оголосив про своє результати, і задовго до появи квантової теорії. Теорія випромінювання говорить нам, що енергія випромінювання на одиницю об'єму u залежить тільки від температури (це закон випромінювання Кірхгофа) і що тиск випромінювання P пов'язане з енергією на одиницю об'єму по\( P=\frac{1}{3} u\). Виведення цього дуже схоже на вираз, який ми вивели для тиску молекул в газі. Для цієї ситуації рівняння 10.2.12 стає

    \[ u=\frac{1}{3} T \frac{d u}{d T}-\frac{u}{3},\]

    або

    \[ 4 u=T \frac{d u}{d T}.\]

    Інтеграція цього (зробіть це!) показує, що u T 4, без необхідності квантової теорії.

    Це часто пишуть як u a T 4, але будьте обережні, тут а не те, що воно взагалі відоме як «постійна Стефана». Докладніше про це див. розділи 1 та 2 (особливо розділ 1.17) моїх приміток «Зоряні атмосфери». Закон Стефана, як правило, стосується існування чорної поверхні тіла, M = σ T 4, тоді як тут ми маємо на увазі щільність енергії випромінювання в порожнині. Відношення між a і константою Стефана σ дорівнює a = 4σ/ c.

    Тепер припустимо, що у вас було деяке випромінювання при температурі T в корпусі (наприклад, Всесвіт) об'єму V. І припустимо, що обсяг повинен був розширюватися адіабатично, розбавляючи тим самим щільність енергії. Якою буде нова температура? У чому випливає, V означає обсяг (а не «питомий» або «молярний» об'єм) вольєра. U - це внутрішня енергія випромінювання всередині нього, і u - щільність енергії випромінювання, така, що U = uV, і ми будемо використовувати\( P=\frac{1}{3} u\) і з\( u=a T^{4}\).

    Якби обсяг збільшувався на дВ при тиску P, робота, виконана випромінюванням\( P d V=\frac{1}{3} u d V\), була б, і, якщо припустити, що розширення адіабатичне, це призводить (за першим законом термодинаміки) до зменшення внутрішньої енергії. Застосовуємо перший закон: dU = − pdV. Тобто

    \[ d(u V)=u d V+V d u=-\frac{1}{3} u d V.\]

    \[ \frac{d V}{V}=-\frac{3}{4} \frac{d u}{u}.\]

    Тому

    \[ V \propto u^{-3 / 4} \quad \text { or } u \propto V^{-4 / 3}.\]

    Але u T 4 і, отже,

    \[ V T^{3} \text { is constant, }\]

    або температура обернено пропорційна лінійним розмірам корпусу.

    • Was this article helpful?