8.4: Реверсивне адіабатичне розширення ідеального газу
- Page ID
- 76311
Адіабатичний процес - це процес, при якому тепло не надходить і не виходить з системи, а отже, для оборотного адіабатичного процесу перший закон набуває вигляду dU = − pDV. Але з рівняння 8.1.1, C V = (U/T) V. Але внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури і не залежить від обсягу (тому що немає міжмолекулярних сил), і так, для ідеального газу C V = dU/dT, і так у нас dU = C V dT. Таким чином, для оборотного адіабатичного процесу і ідеального газу, C V dT = −pDV. (Знак мінус показує, що при збільшенні V T зменшується, як очікувалося.) Але для молю ідеального газу PV = RT = (C P − C V) T, або P = (C P − C V) T/V.
Тому
\[ C_{v} d T=-\left(C_{P}-C_{V}\right) T d V / V\]
(Можливо, вам буде цікаво, чи C і V є молярними, конкретними або загальними кількостями. Якщо ви подивитеся на рівняння, ви погодитеся, що це справедливо, чи є об'єм і теплоємності молярними, питомими або загальними.)
Відокремте змінні і запишіть γ для C P/C V:
\[ \frac{d T}{T}+(\gamma-1) \frac{d V}{V}=0.\]
Інтегрувати:
\[ T V^{\gamma-1}=\text { constant }.\]
Це показує, як температура та об'єм ідеального газу змінюються під час оборотного адіабатичного розширення або стиснення. Якщо газ розширюється, температура знижується. Якщо газ стискається, він стає гарячим. Звичайно, тиск також змінюється, і ідеальний газ відповідає рівнянню PV/T = постійна. На ліквідацію Т отримаємо
\[ P V^{\gamma}=\text { constant }.\]
На ліквідацію V отримуємо
\[ P^{-(\gamma-1)} T^{\gamma}=\text { constant. }\]
На малюнку VIII.1 я малюю, як криві світла, п'ять ізотерм - тобто шляхи, які б пройшли ідеальним газом у площині ПВ в ізотермічних процесах при п'яти температурах. Я також показую, як більш важку лінію, адіабат, PV γ = постійну, яку я розрахував для γ = 5/3. Адіабат крутіше ізотерм, а крива показує, що в міру адіабатного розширення газу температура падає. Якщо ви знаєте вихідну температуру і старі і нові обсяги, рівняння 8.4.3 дозволить вам розрахувати нову температуру. Якщо ви знаєте вихідну температуру і старий і новий тиск, рівняння 8.4.5 дозволить вам розрахувати нову температуру. Хоча ці суто термодинамічні аргументи показують, що газ стає гарячішим, якщо ви стискаєте його, цього також слід очікувати на мікроскопічному рівні. Таким чином, якщо молекула пружно відскакує від поршня, який рухається до неї, вона отримає кінетичну енергію, і вона втратить кінетичну енергію, якщо відскакує від поршня, який віддаляється від неї.
Розрахуємо роботу, виконану моль ідеального газу в оборотному адіабатичному розширенні від (P 1, V 1) до (P 2, V 2):
\[ W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P d V.\]
Для оборотного адіабатичного розширення PV γ = K, а отже
\[ W=K \int_{v_{1}}^{v_{2}} V^{-\gamma} d V=\frac{K}{\gamma-1}\left(V_{1}^{-(\gamma-1)}-V_{2}^{-(\gamma-1)}\right)\]
Тобто,
\[ W=\frac{P_{1} V_{1}-P_{2} V_{2}}{\gamma-1}=\frac{R\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\gamma-1}\]
(Зверніть увагу, що T 2 < T 1 в цьому адіабатичному розширенні.)
Порівняйте це з рівнянням 8.3.1 для ізотермічного розширення.
Зауважте також, що, оскільки R = C P − C V і C P/C V = γ це також може бути записано
\[ W=C_{V}\left(T_{1}-T_{2}\right)\]
Це також дорівнює тепла, яке було б втрачено, якби газ охолоджувався від Т1 до Т2 при постійному обсязі. Подумайте про це! Це збіг, чи так повинно бути?
Ось корисна вправа. На малюнку VIII.2 газ йде від (P 1, V 1) до (P 2, V 2) за трьома різними оборотними шляхами:
а) ізобаричне розширення з подальшим ізохорним зниженням тиску;
b) ізохорне зниження тиску з подальшим ізобаричним розширенням;
(c) Адіабатичне розширення.
На кожному етапі розраховуйте роботу, виконану на або за допомогою газу, тепло, отримане газом або втрачене від газу, і збільшення або зменшення внутрішньої енергії газу. Ця вправа проілюструє, що U є функцією стану, а Q і W - ні. (Я очікую, що відповіді будуть в алгебрі; ігноруйте числа на осях - вони нічого особливо не означають.)