2.8: Ді і Дельта

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76228

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми обговорили спеціальні значення символів\(∂\) і, але нам також потрібно чітко розуміти значення більш звичних диференціальних символів\(∆\)\(δ\), і\(d\). Часто зручно використовувати символ для\(∆\) позначення приросту (не обов'язково особливо невеликого приросту) в деякій кількості. Потім ми можемо використовувати символ,\(δ\) щоб означати невеликий приріст. Тоді ми можемо сказати, що якщо\(y = x^2\), наприклад, і\(x\) якби збільшити на невелику суму\(δx\), відповідний приріст в\(y\) буде дано приблизно

\[ \delta y \cong 2x \delta x\]

Тобто,

\[ \frac{\partial y}{\partial x} \cong 2x.\]

Це не стане точним, поки ми не візьмемо межу як\(δx\) і не\(δy\) наблизимося до нуля. Ми пишемо цю межу, як\( \frac{dy}{dx}\) і тоді це точно вірно, що

\[ \frac{dy}{dx}=2x.\]

Існує дійсна точка зору, яка б стверджувала, що ви не можете писати\(dx\) або\(dy\) поодинці, оскільки обидва дорівнюють нулю; ви можете писати лише співвідношення\( \frac{dx}{dy}\). Було б неправильно, наприклад, писати

\[ dy = 2x~dx, \label{2.8.4}\]

або в кращому випадку це рівносильно запису 0 = 0. Я не збираюся суперечити цьому аргументу, але, ризикуючи викликати гнів деяких читачів, я часто збираюся писати рівняння, такі як Equation\ ref {2.8.4}, або, швидше за все, в термодинамічному контексті рівняння, такі як

\[dU = T dS − PdV,\]

хоча ви, можливо, віддаєте перевагу мені сказати, що, для невеликих приростів,

\[δU ≅ T δS − PδV.\]

Я збираюся стверджувати, що в межі нескінченно малих приростів це саме так\(dU = T dS − PdV\). Зрештою, чим менше прирости, тим ближче він стає істинним, і, в межі, коли прирости нескінченно малі, це точно так, навіть якщо це просто означає, що нуль дорівнює нулю. Сподіваюся, це не викличе занадто багато концептуальних проблем.