8.2: Моделювання Всесвіту (Проект)

Космологія - це наукове дослідження та пов'язані з ними математичні моделі Всесвіту в цілому. Дивно, але використовуючи лише кілька основних наукових принципів, можна побудувати кількісну модель Всесвіту, яка напрочуд добре узгоджується з даними спостережень. Ця модель не тільки узгоджується з поточними спостереженнями, але дає чіткі прогнози на вік Всесвіту і її подальшу долю.

Енергозбереження та перше рівняння Фрідмана

Розглянемо великий регіон нашого Всесвіту, що тягнеться на кілька сотень мільйонів світлових років у всіх напрямках від землі. Спостережливо ділянки Всесвіту, такі великі (або більші) здаються ізотропними (однаковими у всіх напрямках) і однорідними (однаковими з усіх локацій в межах області). Це означає, що якби нас магічно перевезли у випадкове місце в цьому регіоні, Всесвіт у великих масштабах виглядав би так само, як і з землі. Це спостереження узгоджується з найпростішими прогнозами відносності, які мають на увазі відсутність «бажаної» системи відліку у Всесвіті. Таким чином, ми можемо проаналізувати шматок Всесвіту, зосередженого на землі (який ми можемо легко спостерігати) і зробити висновки, які тримають для всього Всесвіту, навіть частини поза нашим прямим спостереженням.

Розглянемо велику область Всесвіту на малюнку\(\PageIndex{1}\), і одну конкретну галактику, розташовану на відстані\(R\) від Чумацького Шляху.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Загальна енергія цієї галактики - це сума її кінетичної енергії і гравітаційної потенційної енергії.

\[E = \dfrac{1}{2} mv^2 - \dfrac{GMm}{R}\]

де, за законом Гауса,\(M\) просто загальна маса всіх галактик в межах гаусової сфери радіуса\(R\). (Маса галактик поза сферою не сприяє потенційній енергії галактики.)

Крім ізотропії та однорідності, ще один набір спостережень відіграє центральну роль у нашому розумінні Всесвіту. У 1929 році, вимірюючи швидкості далеких галактик, Едвін Хаббл був приголомшений, виявивши, що кожне виміряне скупчення галактик рухається безпосередньо від землі. Більш того, він зазначив, що швидкість кожної галактики прямо пропорційна її відстані від землі, тобто прилеглі галактики віддаляються від землі з відносно невеликими швидкостями, тоді як далекі галактики дуже швидко віддаляються. Це, звичайно, перший шматок спостережних доказів на підтримку розширення Всесвіту, що виникло в результаті Великого вибуху.

Математично вимірювання Хаббла можна узагальнити як:

\[v = \dfrac{dR}{dt} = HR\]

де\(H\) знаходиться константа Хаббла. (Константа Хаббла насправді не є постійною, а скоріше є функцією лише часу.)

Поклавши це разом з енергетичним результатом, виходить:

\[E = \dfrac{1}{2} mH^2R^2 -\dfrac{GMn}{R} \label{eq2}\]

Тепер, що це рівняння говорить нам про Всесвіт? Зверніть увагу, що енергія цієї галактики - це різниця між двома членами, терміном позитивної кінетичної енергії, пов'язаним з постійною Хаббла, і негативним терміном потенційної енергії, пов'язаним із загальною масою між землею та цією галактикою. Оскільки ця галактика, а точніше скупчення галактик, є ізольованою системою, її енергія зберігається. Тому якщо загальна енергія сьогодні позитивна, вона назавжди залишиться позитивною. Таким чином, коли\(R\) стає все більшим і більшим (через розширення Хаббла) термін потенційної енергії падає до нуля, залишаючи лише позитивний термін кінетичної енергії. Таким чином, навіть у міру\(R\) наближення нескінченності галактика все ще має позитивну кінетичну енергію. Це означає, що галактика відійде від нас назавжди (а Всесвіт розшириться назавжди, тому що в цій конкретній галактиці немає нічого особливого).

І навпаки, якщо енергія в даний час негативна, вона завжди повинна бути негативною. Оскільки перший член в Equation\ ref {eq2} пропорційний\(R^2\), єдиний спосіб утримати цей термін від зробити всю енергію позитивною є зменшення\(H\) до нуля (тобто галактика повинна перестати рухатися). Як тільки він перестає рухатися, у нас є проблеми. Галактика (а значить і весь Всесвіт) почне руйнуватися назад до землі. Ситуація точно аналогічна закиданню предмета вгору з поверхні землі. Якщо кінетична енергія об'єкта перевищує його гравітаційну потенційну енергію, він відійде назавжди, якщо цього не зробить, він повернеться вниз. Для визначення кінцевої долі Всесвіту нам потрібно лише визначити значення постійної Хаббла (що відносно легко) і загальну масу нашого регіону Всесвіту (саме там лежать проблеми...).

Давайте продовжимо маніпулювати цим рівнянням у формі, яка зазвичай використовується космологами. Загальна маса між землею і розглянутою галактикою може бути записана через щільність маси всередині сфери (\(\rho\)) як:

\[ M = \rho \left( \dfrac{4}{3} \pi R^3 \right)\]

Таким чином,

\[ \begin{align} E &= \dfrac{1}{2} mH^2R^2 - \dfrac{4 \pi G m\rho R^2}{3} \label{eq4} \\[5pt] \dfrac{2E}{m} &= H^2R^2 - \dfrac{8 \pi G \rho R^2}{3} \label{eq5} \end{align} \]

Оскільки\(E\) і\(m\) (і число 2) є константами, було б розумно об'єднати їх все разом в єдину константу. Давайте будемо нерозумними і визначимо їх як добуток двох різних констант,\(k\) і\(C2\), і кинемо в негативний знак для хорошої міри:

\[-kC^2 = \dfrac{2E}{m}\]

Константа\(k\) - це кривизна Всесвіту, і\(C^2\)\(k\) вибирається така, яка дорівнює або 1, 0, або -1.

• Якщо\(k = 1\), кривизна Всесвіту позитивна, а простір має сферичну форму. Це вимагає\(E\) бути негативом, і тому Всесвіт розвалиться.
• Якщо\(k = -1\), кривизна Всесвіту негативна і простір має гіперболічну форму. Для цього\(E\) потрібно бути позитивним, і тому Всесвіт буде постійно розширюватися.
• Якщо\(k = 0\), Всесвіт має плоску, евклідову форму. Це вимагає, щоб Всесвіт не мав чистої енергії, і розширення Всесвіту асимптотично наближається до нульової швидкості як\(R\) наближається\(∞\).

З цим визначенням рівняння\ ref {eq5} стає

\[ -kC^2 = H^2R^2 - \dfrac{8 \pi G \rho R^2}{3} \]

\[ H^2 R^2 = \dfrac{8}{3} \pi G\rho R^2 - kC^2\]

\[\left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 = \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kC^2 \label{eq10}\]

Рівняння\ ref {eq10} відоме як перше рівняння Фрідмана, або рівняння швидкості, оскільки це диференціальне рівняння для «швидкості» розширення Всесвіту. Хоча ми використовували класичну фізику для отримання цього результату, результат є релятивістично правильним, якщо ми інтерпретуємо\(\rho\) як щільність енергії, а не масову щільність Всесвіту. Крім того, зазвичай\(R\) називають масштабним коефіцієнтом Всесвіту, оскільки він застосовується до будь-якої міри відстані у Всесвіті, а не тільки відстані між землею та певною галактикою. Нарешті, константа\(C\) може бути показана як улюблена постійна всіх у відносності, швидкості світла (\(c\))! Тому перше рівняння Фрідмана таке:

\[\left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 = \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \label{eq11}\]

II. Робоча енергія та друге рівняння Фрідмана

Загалом, єдиний спосіб, яким зразок матеріалу може змінити свою загальну енергію, - це робити роботу. В цілому зміна енергії системи дорівнює негативу її виконаної роботи (тобто якщо вона робить (позитивну) роботу, то її зміна енергії негативна):

\[ \begin{align} \Delta E &= -work \\[5pt] &= - \int F (dx) \end{align}\]

Силу, яку система чинить на своє оточення, можна представити як добуток її тиску та площі контакту

\[ \Delta E = -\int p A(dx)\]

а добутком площі контакту і зміщення цієї ділянки (\(dx\)) є зміна обсягу системи

\[ \Delta E = -\int p(dV)\]

\[dE = -p dV\]

\[\dfrac{dE}{dt} = -p \dfrac{dV}{dt}\]

Давайте тепер розглянемо не одну галактику на відстані\(R\) від землі, а скоріше загальну енергію в радіусній сфері\(R\). З\(\rho\) інтерпретацією як щільність енергії, загальна енергія всередині сфери просто

\[E =\rho \left( \dfrac{4}{3} \pi R^3 \right)\]

Таким чином,

\[\begin{align} \dfrac{dE}{dt} &= -p \dfrac{dV}{dt} \\[5pt] \dfrac{d}{dt} \left( \rho \dfrac{4}{3} \pi R^3 \right) &= - p \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{4}{3} \pi R^3 \right) \\[5pt] \left( \dfrac{d \rho}{ dt} \right)\dfrac{4}{3} \pi R^3 + \dfrac{4}{3} \pi \rho \left( 3R^2\dfrac{dR}{dt} \right) &= -p \dfrac{4}{3} \pi \left( 3 R^2 \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] \left( \dfrac{d \rho}{dt} \right) R + \rho \left(3 \dfrac{dR}{dt} \right) &= -p \left(3 \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] R \left( \dfrac{d\rho}{dt} \right) &= -3 (\rho + p) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \label{work-energy} \end{align}\]

Назвемо Equation\ ref {робота-енергія} космологічним співвідношенням робота-енергія. Чудово, у нього є ім'я, але що воно означає?

Так як всесвіт розширюється,

\[ \dfrac{dR}{dt} > 0\]

і таким чином

\[\dfrac{d\rho}{dt} < 0.\]

Таким чином, у міру розширення Всесвіту щільність енергії зменшується (тобто розбавляється розширенням). Подібно до того, як температура ідеального газу зменшується в міру його розширення, «температура» Всесвіту зменшується в міру її розширення.

Однак є один невеликий поворот. Ця історія передбачає, що щільність енергії і тиск Всесвіту позитивні. Якщо, наприклад, тиск негативний (що б це не означало) і більше за величиною, ніж щільність енергії, ви могли б отримати дивний результат всесвіту, який розширюється і збільшує свою енергетичну щільність. Детальніше про цей поворот пізніше.

Так що тепер, коли ми маємо це прекрасне рівняння, що ми повинні робити з ним? Як щодо того, якщо ми почнемо з похідної за часом рівняння Фрідмана (Equation\ ref {eq11}):

\[\begin{align} \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{d}{dt} \left[ \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \right] \\[5pt] 2 \dfrac{dR}{dt} \dfrac{d^2R}{dt^2} &= \dfrac{8}{3} \pi G R^2 \dfrac{d\rho}{dt} + \dfrac{8}{3} \pi G \rho \left(2R \dfrac{dR}{dt}\right) +0 \label{eq20} \end{align} \]

Зверніть увагу, що в середньому семестрі Рівняння\ ref {eq20} є множником

\[R \dfrac{ d\rho}{dr}.\]

Ми можемо замінити наш результат з Equation\ ref {work-energy} in для цього фактора в Рівняння\ ref {eq20}:

\[\begin{align} 2 \dfrac{dR}{dt} \dfrac{d^2R}{dt^2} &= \dfrac{8}{3} \pi G R \left[ -3 (\rho + p) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \right] + \dfrac{8}{3} \pi G \rho \left(2R \dfrac{dR}{dt}\right) \\[5pt] 2 \dfrac{d^2R}{dt^2} &= \dfrac{8}{3} \pi G R \left( -3 \rho - 3p \right) + \dfrac{8}{3} \pi G R (2 \rho ) \\[5pt] &= \dfrac{8}{3} \pi G R \left( - \rho - 3p \right) \\[5pt] \dfrac{d^2R}{dt^2} &= - \dfrac{4}{3}\pi GR ( \rho + 3p) \label{2ndFriedman} \end{align}\]

Рівняння\ ref {2ndFriedman} відоме як друге рівняння Фрідмана, або рівняння прискорення, оскільки воно є диференціальним рівнянням для «прискорення» розширення Всесвіту. Здається, це означає, що прискорення Всесвіту є негативним, а це означає, що розширення Всесвіту має сповільнитися з часом. Сума щільності енергії і триразового тиску визначає швидкість уповільнення, тобто Всесвіт з великою кількістю енергії (а отже, і маси) має більше сили тяжіння і сповільнюється швидше, ніж Всесвіт з меншою масою. Однак дві цікаві особливості потребують уваги. По-перше, це не просто питання, що створює гравітаційне тяжіння, оскільки нормальний позитивний тиск також уповільнює розширення Всесвіту. (Це означає, що газ у меншому контейнері буде надавати більше гравітаційного тяжіння, ніж однакова температура і маса газу в більшому контейнері.) По-друге, якби якимось чином матеріал мав негативний тиск, і його вистачило у Всесвіті, розширення Всесвіту могло б з часом прискорити.

III. Рівняння стану

Рівняння стану - це зв'язок між щільністю енергії і тиском речовини. Наприклад, ідеальний закон газу,

\[pV = nRT\]

є рівнянням стану, оскільки температура є мірою щільності енергії. Далі ми знайдемо рівняння стану для первинних складових Всесвіту, фотонів і матерії, а потім використаємо рівняння Фрідмана, щоб обчислити, як виглядатиме Всесвіт, що складається з цих двох речовин.

А. фотони

Уявіть собі один фотон, який рухається в напрямку +x з імпульсом\(P\), вражаючий і пружно відскакує від поверхні (рис.\(\PageIndex{2}\)). Сила, що чиниться на поверхню цим фотоном, задається:

\[ \begin{align} F_{1\,photon} &= \dfrac{\Delta P}{\Delta t} \\[5pt] &= \dfrac{P-(-P)}{t} \\[5pt] &= \dfrac{2P}{t} \end{align}\]

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Загальна сила, що чиниться на поверхню всіма фотонами у зразку, буде добутком вищевказаної сили та загальної кількості фотонів, що прямують у напрямку +x, які потрапляють у стіну приблизно в той же час. Будь-фотон, розташований в межах коробки ширини\(ct\) і області, що\(A\) рухається в напрямку +x, буде вдарити об стіну протягом цього інтервалу (рис.\(\PageIndex{3}\)).

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Загальна кількість фотонів (\(N\)) у коробці - це добуток числової щільності фотонів (\(n\)) та об'єму коробки:

\[ N = n(ctA)\]

Можна припустити, що близько ⅓ цих фотонів рухаються в\(x\) -напрямку (з ⅓ в\(y\) і\(z\)) і близько ½\(x\) -фотонів рухаються в напрямку +x (з ½ дюйма\(–x\)). Таким чином:

\[ \begin{align} F _{all\, photons} &= \left( \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{2} nctA \right) \left( \dfrac{2P}{t} \right) \\[5pt] &= \left( \dfrac{1}{3} ncAP \right) \end{align}\]

Таким чином, тиск на поверхню становить:

\[ \begin{align} p &=\dfrac{F}{A} \\[5pt] &= \dfrac{1}{3} nPc \end{align}\]

Так як енергія фотона дається

\[E = Pc\]

\[ p = \dfrac{1}{3} nE\]

і щільність енергії є добутком щільності чисел і енергії фотонів,

\[ \rho = nE\]

ми маємо рівняння стану для фотонів

\[ p_{\gamma} = \dfrac{1}{3} \rho_{\gamma}\]

Б. матерія

Виведення для матерії точно таке ж, як і похідне для фотонів, за винятком того, що «коробка» має ширину,\(vt\) а не\(ct\). Таким чином, ми приведемо до такого результату:

\[ p_M = \dfrac{1}{3} nPv\]

Зверніть увагу, що\(Pv\) дорівнює подвійній класичній кінетичній енергії. У нормальних умовах переважна більшість матерії у Всесвіті рухається з нерелятивістськими швидкостями. Тому кінетична енергія речовини абсолютно незначна порівняно з її енергією маси спокою. Таким чином, тиск речовини фактично дорівнює нулю в порівнянні з її енергетичною щільністю. Це відповідає рівнянню стану

\[ p_M=0\]

IV. Моделювання Всесвіту Світла і Матерії (і потреба в більшій кількості)

A. Всесвіт фотонів

Розглянемо всесвіт, що складається тільки з фотонів. Спочатку застосуємо космологічне співвідношення робота-енергія (Equation\ ref {робота-енергія}):

\[ \begin{align} R \left( \dfrac{d\rho}{dt} \right ) &= -3 (\rho-p) \left(\dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] &= -3 \left(\rho + \dfrac{1}{3} \rho \right) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] &= -3 \left( \dfrac{4}{3} \rho \right) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] &= -4 \rho \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \label{eq40} \end{align}\]

Як ви можете сподіватися, Equation\ ref {eq40} є роздільним диференціальним рівнянням:

\[ \begin{align} R \left( \dfrac{d\rho}{dt} \right ) &= -4 \rho \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] \dfrac{d \rho}{\rho} &= - 4 \dfrac{dR}{dt} \\[5pt] \int \dfrac{d \rho}{\rho} &= \int- 4 \dfrac{dR}{dt} \\[5pt] \ln \rho &= -4 \ln R +C \\[5pt] \rho_\gamma &= \dfrac{C}{R^4} \label{eq45} \end{align}\]

Рівняння\ ref {eq45} стверджує, що у міру розширення Всесвіту (у міру\(R\) збільшення) щільність енергії фотонів падає дуже швидко. (Якщо подвоїти радіус Всесвіту, щільність енергії падає в 16 разів.) Можливо, ви очікували, що щільність енергії знизиться у зворотній пропорції до обсягу (\(R^3\)) (тобто, якщо подвоїти радіус, ви отримаєте 8x об'єм і 1/8 щільність енергії). Додатковий фактор, що розріджує щільність енергії, полягає в тому, що довжини хвиль фотонів розтягуються в міру розширення Всесвіту. Оскільки енергія фотона обернено пропорційна його довжині хвилі, а його довжина хвилі розтягується прямо пропорційно масштабу Всесвіту, це призводить до додаткового коефіцієнта R в знаменнику. Це «додаткове» розведення щільності енергії фотонів у міру розширення Всесвіту має деякі цікаві наслідки, які ми незабаром вивчимо.

Тепер, коли ми знаємо взаємозв'язок між\(\rho\) і\(R\), ми можемо вирішити рівняння Фрідмана для всесвіту фотонів.

\[ \begin{align} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \\[5pt] &=\dfrac{8}{3} \pi G \left( \dfrac{C}{R^4} \right) R^2 - kc^2 \end{align}\]

Ми можемо ігнорувати термін кривизни з двох причин. По-перше, до меж нашої нинішньої здатності вимірювати кривизну Всесвіту, виявляється, що Всесвіт плоский, так\(k = 0\). По-друге, навіть якщо наші вимірювання трохи вимкнені, коли Всесвіт був набагато меншим, ніж зараз (нехай\(R →0\)), перший член у рівнянні Фрідмана повністю домінує над другим терміном. Якщо нас цікавить народження Всесвіту (коли\(R \approx 0\)), кривизна Всесвіту не має значення.

Таким чином,

\[\begin{align} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \left( \dfrac{C}{R^4} \right) R^2 \\[5pt] &= \dfrac{C}{R^2} \label{eq40.5} \end{align}\]

де я об'єднав усі константи разом у «нову» константу, але був занадто лінь, щоб змінити свій символ. (Я збираюся зробити це багато, так що звикніть до цього.)

Беручи квадратний корінь з обох сторін (і знову лінивий) Рівняння\ ref {eq40.5} залишає:

\[\dfrac{dR}{dt} = \dfrac{C}{R}\]

Це роздільне диференціальне рівняння:

\[ \begin{align} R\,dR &= C\,dt \\[5pt] \int R\,dR &= \int C\,dt \\[5pt] \dfrac{1}{2} R^2 &= Ct \\[5pt] R &= C\sqrt{t} \end{align} \]

Це говорить про те, що Всесвіт, наповнений фотонами, повинен починатися з нульового розміру (\(R = 0\)коли\(t = 0\)) з створення типу Big Bang, а потім розширюватися як проста функція квадратного кореня часу, безперервно сповільнюючись у своєму розширенні, але ніколи не зупиняючись. (Якщо\(k\) насправді не нуль, це вплине на поведінку цього всесвіту в пізньому часі, але не вплине на початкове створення та залежність від часу від квадратного кореня.)

Тепер давайте порівняємо цей Всесвіт з нашою власною. (Звичайно, у нашому Всесвіті є більше, ніж фотони, але якщо ця модель відповідає нашому Всесвіту, ми б сказали, що ми живемо у всесвіті, де переважають фотони.) Для цього візьмемо похідну за часом нашої модельної всесвіту:

\[\dfrac{dR}{dt} = \dfrac{1}{2} Ct^{-1/2}\]

і витягнути коефіцієнт\(R\)

\[ \begin{align} \dfrac{dR}{dt} &= \dfrac{1}{2} t^{-1} (Ct^{1/2}) \\[5pt] &= \dfrac{1}{2t} (R) \end{align}\]

Порівнюючи це із законом Хаббла

\[ \dfrac{dR}{dt} = HR\]

де\(H\) константа Хаббла. Це призводить до

\[ H = \dfrac{1}{2t}\]

\[ t = \dfrac{1}{2H}\]

Таким чином, константа Хаббла обернено пов'язана з віком Всесвіту. Поточне значення константи Хаббла дорівнює:

\[ H = 70 \dfrac{ km/s}{Mpc} = 2.27 \times 10^{-18} \,s^{-1}\]

Таким чином, якщо наш Всесвіт переважає над фотоном і має це значення для константи Хаббла, його вік становить:

\[ \begin{align} t &= \dfrac{1}{2 (2.27 \times 10^{-18} \,s^{-1}) } \\[5pt] &= 2.2 \times 10^{17} \,s \\[5pt] &\approx 7 \times 10^9 \,yr \end{align}\]

Нинішнє значення віку Всесвіту становить близько 13,7 мільярдів років, майже вдвічі більше, ніж ця модель, що домінує фотон. Отже, ми не живемо (в даний час) у всесвіті, де переважають фотони. Очевидно, що навколо теж є трохи матерії.

B. Всесвіт матерії

Розглянемо Всесвіт, що складається тільки з матерії.

Q1

Застосовуйте космологічне відношення робота-енергія для визначення взаємозв'язку між щільністю енергії та масштабним коефіцієнтом (\(R\)).

Ви повинні виявити, що щільність енергії речовини зменшується повільніше з розширенням, ніж щільність енергії фотонів. Це означає, що у Всесвіті з речовиною і фотонами (наприклад, нашими) матерія повинна домінувати у Всесвіті, коли R стає все більшим і більшим. Незалежно від того, скільки фотонної енергії спочатку існує, в межі R → ∞ ця енергія фотонів зникне, залишивши матерію домінувати у Всесвіті.

І навпаки, коли Всесвіт був дуже молодим (\(R → 0\)), щільність енергії фотонів зростає набагато швидше, ніж щільність енергії речовини. Таким чином, фотони домінують над раннім Всесвітом незалежно від кількості речовини у Всесвіті.

У нашому Всесвіті перехід від фотонного домінування до всесвіту, що домінує матерія, відбувся, коли Всесвіту було близько 70 000 років. До цього моменту щільності фотонів були настільки великими, що жодні структури (атоми, молекули тощо) не могли стабільно формуватися у Всесвіті, а Всесвіт розширювався, як моделюється в попередньому розділі, як t1/2. Після цього енергії фотонів були розбавлені розширенням, і Всесвіт розпочав свою епоху, в якій панує речовина, і розширилася зі швидкістю, яку ви зараз розрахуєте.

Q2

Розв'яжіть перше рівняння Фрідмана, щоб визначити часову залежність масштабного коефіцієнта у всесвіті, де домінує речовина.

Q3

Визначте взаємозв'язок між віком Всесвіту та постійною Хаббла у всесвіті, де домінують питання. Виходячи з спостережуваної константи Хаббла, визначте вік нашого Всесвіту, якщо в ньому домінують питання.

Ви повинні виявити, що для спостережуваної константи Хаббла всесвіт, який домінує, все ще становить лише близько 9 мільярдів років. Щось серйозно не так. Ми знаємо, що наш Всесвіт складається з матерії та фотонів, але жоден з цих двох типів модельних всесвітів не може бути таким старим, як наш Всесвіт. Звичайно, можливо, наші вимірювання константи Хаббла невірні, або, можливо, наші вимірювання віку Всесвіту невірні, або, можливо, наші вимірювання кривизни простору невірні, але всі ці вимірювання були перевірені багатьма незалежними засобами. Так що робити, якщо жоден з цих наборів вимірювань не помиляється? Ще один варіант полягає в тому, що наш Всесвіт складається з якогось іншого типу речовини. (Це не темна матерія, яку астрономи шукали протягом 50 років. Цей матеріал не може бути речовиною будь-якого типу, світлим чи ні. Це має бути зовсім інший тип речовини.) Дивно, але Ейнштейн передбачив існування цієї «речовини» майже сто років тому. Але перш ніж ми досліджуємо цю можливість, давайте детальніше розглянемо, як кривизна Всесвіту може вплинути на її вік.

C. вигнутий Всесвіт матерії

Давайте повернемося до першого рівняння Фрідмана (Equation\ ref {eq10}) для всесвіту, де домінують питання

\[\begin{align} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \\[5pt] &= \dfrac{8}{3} \pi G \left( \dfrac{C}{R^3} \right) R^2 - kc^2 \\[5pt] &= \dfrac{C}{R} - kc^2 \end{align}\]

Ігнорування терміна кривизни, сподіваємось, призвело до масштабного коефіцієнта форми:

\[ R =\dfrac C t^{2/3}\]

який намальований на рис\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Q4

Яка швидкість розширення для плоского (\(k = 0\)) Всесвіту, де домінує речовина\(t → ∞\)?

Тепер розглянемо гіперболічну (\(k = -1\)) Всесвіт. З\(k = -1\), права частина рівняння Фрідмана (Equation\ ref {eq10}) тепер більша, ніж це було для\(k = 0\) випадку. Оскільки ліва сторона рівняння Фрідмана є квадратом нахилу (\(dR/dt\)) кривої розширення, це означає, що\(k = -1\) Всесвіт завжди розширюється швидше, ніж всесвіт k = 0. Таким чином, навіть\(t = ∞\) при гіперболічної всесвіт все ще розширюється. Намалюйте криву, що представляє\(k = -1\) всесвіт на графіку вище.

А як щодо сферичної (k = +1) Всесвіту? З\(k = +1\), права частина рівняння Фрідмана тепер менша, ніж це було для\(k = 0\) випадку, і, таким чином,\(k = +1\) Всесвіт завжди розширюється повільніше, ніж\(k = 0\) Всесвіт. Таким чином, в якийсь час швидкість розширення сферичної всесвіту повинна стати негативною, тобто Всесвіт повинен почати руйнуватися. Намалюйте криву, що представляє\(k = +1\) всесвіт на графіку вище.

Графік, який ви побудували вище, ілюструє три різних типи всесвітів, які одночасно починають своє розширення. Однак те, що ми можемо безпосередньо виміряти про наш Всесвіт, - це не те, коли він почав розширюватися, а те, наскільки швидко він розширюється зараз. Таким чином, ми знаємо нахил кривої розширення в даний час.

Відповідність нахилу\(k = 0\) Всесвіту до його нинішнього виміряного значення призвело до створення Всесвіту близько 9 мільярдів років. На графіку нижче ретельно намалюйте криві для\(k = -1\) і\(k = +1\) всесвітів, надаючи їм правильний нахил в теперішній час.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Q5

З огляду на поточне значення постійної Хаббла, який тип Всесвіту (\(k = ±1\)або\(0\)) є найдавнішим? Уважно поясніть свою відповідь.

V. Вакуумна енергія

А. обгрунтування

Припустимо, порожній простір має ненульову щільність енергії. Це не енергія чогось, що займає простір, а скоріше енергія самого простору, властивість простору. Чому ми повинні робити це припущення? Найкраще виправдання виходить з квантової механіки, де навіть, мабуть, порожній простір не повинен мати щільність енергії точно нулю. Енергетична щільність рівно нулю, без невизначеності, здавалося б, суперечить енергетичній формі принципу невизначеності Гейзенберга. Квантова механіка, здається, передбачає, що порожній простір постійно заповнюється віртуальними частинками, чиста щільність енергії яких ненульова.

Ейнштейн, працюючи до появи квантової механіки та відкриття Хабблом розширюється Всесвіту, припускав, що простір мав ненульову щільність енергії, яку він назвав космологічною постійною, з абсолютно інших причин. Оскільки він зрозумів, що всесвіт лише матерії та фотонів повинен розширюватися або скорочуватися, і, як видається, не було доказів універсального розширення або скорочення, він вивчив рівняння загальної відносності і зрозумів, що енергія цієї форми може протидіяти впливу речовини і фотони і тримати Всесвіт статичним.

Б. Рівняння стану для енергії вакууму

Фундаментальним атрибутом щільності енергії вакууму є те, що вона має постійне значення, регулюється квантовою механікою і не залежить від того, що ще відбувається в цій області простору. Тому, якщо застосувати космологічне відношення робота-енергія (Equation\ ref {work-energy}) до енергії вакууму:

\[ \begin{align} R \left( \dfrac{d\rho}{dt} \right) &= -3 (\rho + p) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] R(0) &= -3 (\rho + p) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \\[5pt] 0 &= -3 (\rho + p) \left( \dfrac{dR}{dt} \right) \end{align}\]

Оскільки Всесвіт розширюється

\[ \dfrac{dR}{dt} \neq 0,\]

Отже,

\[ \begin{align} 0 &= \rho + p \\[5pt] \rho_V &= -p_V \end{align}\]

Таким чином, позитивна щільність енергії вакууму призводить до негативного тиску, і всі божевільні результати, про які я згадував раніше в цій діяльності. Крім того, зверніть увагу, що на відміну від щільності енергії речовини або фотонів, щільність енергії вакууму не зменшується в міру розширення Всесвіту. Таким чином, якщо у Всесвіті є будь-яке ненульове значення вакуумної енергії, вона в кінцевому підсумку буде домінувати над Всесвітом.

Перш ніж ми опишемо, як поводиться всесвіт, що переважає у вакуумі, давайте подивимося, як Ейнштейн використовував енергію вакууму для «стабілізації» Всесвіту.

C. енергія вакууму та статичний Всесвіт

Вивчіть друге рівняння Фрідмана (Equation\ ref {2ndFriedman}) для прискорення Всесвіту:

\[\dfrac{d^R}{dt^2} = -\dfrac{4}{3} \pi GR (\rho+3p)\]

Для всесвіту, де домінують питання або домінують фотон, Всесвіт має негативне прискорення і або сповільнюється під час його розширення, або прискорюється під час його краху. Жодна з цих можливостей не здавалася можливою Ейнштейну. Тому він створив всесвіт як з матерією, так і з енергією вакууму. Це призводить до рівняння Фрідмана:

\[\begin{align} \dfrac{d^2R}{dt^2} &= -\dfrac{4}{3} \pi GR (\rho_M+3(0)) -\dfrac{4}{3} \pi GR (\rho_V + 3(-p_V)) \\[5pt] &= -\dfrac{4}{3} \pi GR ( \rho_M - 2 \rho_V) \end{align} \]

У цій комбінованій всесвіті прискорення може дорівнювати нулю, якщо (і тільки якщо) щільність енергії речовини точно дорівнює дворазовій щільності енергії вакууму. Цей точний баланс, здавалося б, призведе до статичної всесвіту, в яку вірив Ейнштейн (і всі його сучасники).

Однак цей баланс нестабільний. Хоча щільність енергії може мати цю ідеальну пропорцію, усереднений у великому обсязі Всесвіту, майже напевно повинні були б існувати невеликі регіони, в яких, наприклад, щільність маси була трохи більшою, ніж удвічі більша щільність вакууму. Потім ці регіони почнуть руйнуватися, що ще більше збільшить щільність маси, що прискорить колапс, що ще більше збільшить щільність маси, яка... тощо У регіоні, в якому щільність маси була трохи меншою, ніж удвічі більша щільність вакууму, станеться навпаки. Позитивне прискорення в цих регіонах призвело б до їх розширення, що зменшило б щільність маси, що прискорило б розширення і т.д. абсолютно статичний Всесвіт неможливий, він буде негайно наповнений швидко розширюються і скорочуються субрегіонами. Мета Ейнштейна - всесвіт, стабілізований проти колапсу негативним тиском щільності енергії вакууму, неможлива.

Q6

Уявіть собі всесвіт з фотонами і енергією вакууму. Яка залежність між щільністю енергії фотонів і щільністю енергії вакууму призведе до універсального прискорення нуля? Чи є цей всесвіт стабільним чи нестабільним?

D. Всесвіт, де панують у вакуумі

7. Розв'яжіть перше рівняння Фрідмана, щоб визначити часову залежність масштабного коефіцієнта у всесвіті, де домінують вакуум.

Всесвіт, що переважає у вакуумі, - це серйозно дивний всесвіт, який називається Всесвітом ДеСіттера після першого фізика, який чітко описав його властивості. Мабуть, найдивнішим аспектом цього простору є те, що воно ніколи не було «створено». При\(t = 0\), простір має кінцеві розміри, тому особливої особливої особливості створення Великого вибуху немає. Більш того, простір має кінцевий, позитивний розмір незалежно від того, як далеко назад у часі ви йдете (нехай\(t →-∞\)). Константа Хаббла нічого не говорить нам про вік цього простору (як це робиться для фотонних та матеріальних просторів), оскільки простір завжди існував. Насправді константа Хаббла є просто аргументом в експоненціальному розширенні масштабного коефіцієнта,

\[ R = A e^{Ht}\]

і є не тільки просторовою константою, але і тимчасовою константою. Це означає, що Всесвіт ДеСіттера не тільки виглядає однаково в кожній точці простору, але й виглядає однаково в кожен момент часу (на відміну від всесвітів фотонів і матерії, які чітко демонструють ознаки «старіння»).

Звичайно, ми не живемо в чистому Всесвіті DeSitter, тому що, очевидно, матерія і фотони існують у нашому Всесвіті, тож як ми беремо три моделі, які ми розробили, і використовувати їх для опису нашого Всесвіту?

E. Наш Всесвіт

Наш Всесвіт складається з фотонів, речовини і (майже впевнено) енергії вакууму. Незалежно від точних пропорцій цих трьох видів енергії, історія розширення Всесвіту акуратно ділиться на три чітких етапи. У ранньому Всесвіті фотони домінують, навіть при наявності енергії вакууму, оскільки щільність енергії фотонів зростає без обмеження як\(R → 0\):

\[ \rho_V = \dfrac{C}{R^4}\]

при цьому енергія вакууму залишається постійною. Таким чином, в перші дні нашого Всесвіту (але, можливо, не найраніші частки секунди) Всесвіт поводиться як простий фотонний всесвіт, розширюючись як\(t^{1/2}\). Потім, коли фотони розбавляються, речовина бере верх, трохи змінюючи швидкість розширення, але Всесвіт все ще сповільнюється в своєму розширенні. Нарешті, врешті-решт, енергія вакууму бере на себе. Наш Всесвіт почне прискорюватися в своєму розширенні, в кінцевому підсумку стаючи невідрізним від експоненціально розширюється Всесвіту ДеСіттера. Перші докази цього прискореного розширення були зібрані в 1990-х роках, і тепер здається, що кілька мільярдів років тому наш Всесвіт почав здійснювати свій перехід до фази, де домінують вакуум.

Енергія вакууму і створення Всесвіту

В межах спостережних вимірювань наш Всесвіт плоский. Ця площинність вимагає дуже специфічного значення щільності енергії, яке називається критичною щільністю (\(\rho_C\)). Значення критичної щільності можна визначити з першого рівняння Фрідмана:

\[\begin{align} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \\[5pt] \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho_C R^2 - 0 \\ \dfrac{\left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2}{R^2} &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho_C \\[5pt] H^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho_C \\[5pt] \rho_C &= \dfrac{3H^2}{8\pi G} \end{align}\]

Якщо щільність енергії Всесвіту не дорівнює цьому точному значенню, Всесвіт не буде плоскою.

\[\begin{align} \left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2 &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho R^2 - kc^2 \\[5pt] \dfrac{\left( \dfrac{dR}{dt} \right)^2}{R^2} &= \dfrac{8}{3} \pi G \rho - \dfrac{kc^2}{R} \\[5pt] H^2 - \dfrac{8}{3} \pi G \rho &= - \dfrac{kc^2}{R} \end{align}\]

Тепер знову вивчіть рівняння Фрідмана, на цей раз для довільної кривизни:

\[ H^2 - \dfrac{8}{3} \pi G \rho = \dfrac{kc^2}{R^2}\]

Тепер помножте обидві сторони на\(3/8 \pi G\) і використовуйте визначення критичної щільності, отримане вище:

\[ \dfrac{3}{8\pi G} \left( H^2 - \dfrac{8}{3} \pi G \rho \right) = - \dfrac{ 3 kc^2}{8 \pi GR^2}\]

\[ \rho_C- \rho = - \dfrac{3kc^2}{8 \pi G R^2}\]

і розділіть обидві сторони на щільність енергії:

\[\begin{align} \dfrac{\rho_C- \rho}{\rho} &= - \dfrac{3kc^2}{8 \pi \rho G R^2} \\[5pt] \dfrac{\rho- \rho_C}{\rho} &= \dfrac{C}{ \rho R^2} \label{Flat} \end{align}\]

Рівняння\ ref {Flat} пов'язує або дробову різницю між щільністю енергії у нашому Всесвіті та критичною щільністю енергії, необхідною для площинності. Важливим аспектом цього рівняння є те, що ця різниця змінюється в міру зміни масштабу Всесвіту.

Якщо матерія або фотони домінують у Всесвіті поблизу створення, давайте розберемо, як змінюється ця дробова різниця. Оскільки щільність матерії масштабується з розширенням Всесвіту як:

\[ \rho_M = \dfrac{C}{R^3}\label{eq60}\]

права частина Equation\ ref {eq60} зростає в міру розширення Всесвіту:

\[ \dfrac{ \rho - \rho_C}{\rho} =\dfrac{C}{\left(\dfrac{C}{R^3} \right) R^2} \approx R\]

Оскільки щільність фотонів масштабується з розширенням Всесвіту як:

\[ \rho_\gamma = \dfrac{C}{R^4} \label{eq62}\]

права частина Equation\ ref {eq62} зростає в міру розширення Всесвіту:

\[ \dfrac{ \rho - \rho_C}{\rho} =\dfrac{C}{\left(\dfrac{C}{R^4} \right) R^2} \approx R^2\]

Таким чином, у Всесвіті, де панують матерія та фотони, різниця між щільністю Всесвіту та критичною щільністю буде збільшуватися в міру розширення Всесвіту. Це еквівалентно тому, що сказати, що площинність Всесвіту нестабільна, в тому, що Всесвіт стає менш плоским, коли він розширюється. Таким чином, якщо Всесвіт сьогодні спостережно близький до плоскої, вона, мабуть, була надзвичайно близька до плоскої при створенні. Наскільки близько? Спостерігаючи, Всесвіт сьогодні знаходиться в межах\(±1\%\) площинності. Масштабування назад у часі, воно повинно бути в межах\(±10^{-60}\%\) площинності біля створення! Це шалено точне значення щільності енергії, і, враховуючи природні варіації щільності енергії в різних регіонах Всесвіту, немає можливого способу, в якому матерія і фотон домінували Всесвіт настільки великий, наскільки наш може бути плоским. Це називається проблемою площинності в космології і вимагає певного вирішення.

Я повинен зазначити, що фаза вакууму, в якій ми зараз перебуваємо, не вирішує цю проблему. Викривлення Всесвіту вимірюється шляхом спостереження за мікрохвильовим фоновим випромінюванням, що випромінюється, коли Всесвіту було близько 400 000 років. Таким чином, Всесвіт був плоским задовго до того, як поточний вакуум домінував фаза.

Однак запропонована резолюція передбачає енергію вакууму. Уявіть собі дуже рано в історії Всесвіту (і я маю на увазі ДУЖЕ рано, як 10-34 с після «створення») щільність енергії вакууму більша за щільність енергії речовини або фотонів. (Це не та сама щільність енергії вакууму, що рухає струмом прискореного розширення Всесвіту. Нинішня щільність енергії вакууму не домінує у Всесвіті, поки енергія матерії та фотонів не розбавляться протягом декількох мільярдів років.) Ця щільність енергії вакууму є або короткочасним «вивільненням» енергії вакууму, аналогічним енергії, що виділяється, коли система проходить фазове перетворення, або енергія, пов'язана з вакуумом, що знаходиться в більш високому енергетичному стані, ніж він знаходиться в даний час, аналогічно вищим енергетичним станів дозволених електронів. в атомі. Так чи інакше, якщо енергія вакууму домінує в самому ранньому Всесвіті, ми можемо знову вивчити наше рівняння площинності. Оскільки енергія вакууму постійна протягом цього часового інтервалу:

\[ \rho_V = C\]

права частина рівняння площинності (Equation\ ref {Flat} зменшується у міру розширення Всесвіту:

\[ \dfrac{\rho - \rho_C}{\rho} = \dfrac{C}{(C)R^2} \approx \dfrac{1}{R^2}\]

Таким чином, енергія вакууму робить Всесвіт більш плоскою, оскільки вона розширюється! Незалежно від початкової кривизни Всесвіту, якщо в ній домінує енергія вакууму біля її народження, вона вийде майже ідеально рівно. Це, як уже згадувалося раніше, у твердій згоді з вимірами нашого Всесвіту. Цей процес, при якому дуже ранній сплеск прискореного розширення за рахунок вакуумної енергії згладжує наш Всесвіт, називається інфляцією. (Інфляція також пояснює ряд інших особливостей нашого Всесвіту, які більш прості моделі не можуть пояснити.)

Окрім вирішення проблеми площинності, інфляція (і вакуумна енергія) також може дати відповідь на найфундаментальніше питання в космології: «Як був створений Всесвіт?» Пам'ятайте, що чистий простір, що панує у вакуумі, не має «часу» творіння, воно існує вічно. Іноді називають вічною інфляцією, ця модель пропонує вічно роздувається вакуумно-енергетичний простір, в якому вакуум в певних субрегіонах іноді розпадається в нижчий енергетичний стан, створюючи такі всесвіти, як наша (і, ймовірно, багато хто не так схожий на наш). Очевидно, що сфера застосування цієї моделі трохи перевищує рівень цього курсу.