2.4: Міжзоряні подорожі - енергетичні питання (проект)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79263

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У попередньому розслідуванні ви виявили деякі основні труднощі в поїздці навіть до відносно сусідньої зірки. У цьому дослідженні ви познайомитеся з набагато більш важливим фактором, неймовірною кількістю енергії, необхідної для прискорення макроскопічного об'єкта до релятивістських швидкостей.

I. Енергетичні міркування

Розглянемо космічний корабель, повністю заправлений масою\(M\). Деяка частина маси космічного корабля знаходиться у вигляді його палива, таке, що після «спалювання» свого палива корабель матиме меншу масу. Ця маса є «корисною» масою космічного апарату, корисним навантаженням, і ми позначимо її\(fM\) (частку\(f\), від загальної завантаженої маси). Наприклад, якщо на кораблі 5% палива,\(f = 0.95\).

1. Що таке вираз для кількості палива на повністю завантаженому космічному апараті?

A. Fusion працює космічний корабель

Найефективнішим джерелом енергії, доступним за допомогою сучасних технологій, є енергія синтезу, і враховуючи, що це джерело енергії, що використовується зірками, це, мабуть, хороша ставка, що це може бути найефективнішим великомасштабним джерелом енергії, доступним у Всесвіті.

Уявіть собі космічний корабель, що працює на енергії синтезу. Найбільш ефективна реакція синтезу ефективно об'єднує чотири ядра водню в єдине ядро гелію. Оскільки ядро гелію менш масивне, ніж чотири ядра водню, енергію, що виділяється цією реакцією, можна обчислити, використовуючи відношення Ейнштейна:

\[E = mc^2.\]

1. Визначте енергію, що виділяється цією реакцією, шляхом перетворення різниці мас між ядром гелію і чотирма ядрами водню в міру енергії.

2. Ефективність реакції визначається як відношення енергії\(\epsilon\), що виділяється, до енергії, присутньої у вихідних ядрах водню. Обчисліть ефективність цієї реакції синтезу.

3. Використовуючи свій вираз для загальної кількості палива на космічному апараті, і ефективності реакції синтезу, напишіть символічний вираз (використовуйте\(\epsilon\), а не його числове значення) для загальної енергії, що виділяється при плавленні всього палива.

Енергія, що виділяється за допомогою синтезу, піде на забезпечення кінетичної енергії космічному апарату, а також кінетичної енергії для вихлопного гелію. Розрахунок частини цієї енергії, яка йде в переміщення космічного корабля, є складною задачею, тому ми просто наблизимо, що вся енергія йде в кінетичну енергію корабля! (Це величезна надмірна оцінка, але ми виявимо, що навіть при такому наближенні космічний корабель, що працює на злиття, не дуже здійсненний.)

4. Прирівняти кінетичну енергію корисного навантаження (\(fM\)) до загальної енергії, що виділяється при плавленні всього палива. З цього рівняння вирішуємо для f, частку початкової маси корабля, що є корисним навантаженням.

5. В останньому розслідуванні ви виявили, що при крейсерській швидкості\(v = 0.9992c\) космічний корабель міг дістатися до Веги трохи менше ніж за 3 роки. Використовуючи результат вище, яка частка маси цього космічного корабля може бути корисним вантажем, і скільки корабля повинно складатися з палива?

Ви повинні були виявити, що 99,97% маси вашого космічного корабля повинно бути паливом! Більш корисним способом висловити кількість палива, необхідного для розгону, є розрахунок співвідношення палива до корисного навантаження. Це кількість кг палива, необхідного для розгону одного кг корисного навантаження.

6. Розрахуйте співвідношення палива до корисного навантаження для вашого космічного корабля.

За кожен 1 кг корисного навантаження, який ви хочете взяти на Vega, вам доведеться забезпечити судно більш ніж 3000 кг палива. Власне, ситуація набагато гірша. Це просто паливо, необхідне для прискорення корисного навантаження до крейсерської швидкості. Для повної поїздки туди й назад, потрібно було б нести достатньо палива, щоб збільшити корисне навантаження до крейсерської швидкості, уповільнити його, щоб відпочити в пункті призначення, збільшити його до крейсерської швидкості знову для повернення додому, і уповільнити його після досягнення землі.

7. Скільки палива потрібно для повної поїздки в обидва кінці? Висловлюйте свою відповідь як кратну масі корисного навантаження, тобто кількості кг палива на кг корисного навантаження. Поясніть, чому відповідь не просто в чотири рази більше палива, необхідного для підвищення корисного навантаження поодинці до крейсерської швидкості.

Це число межує з смішним. Вам знадобиться більше\(10^{14}\, kg\) палива, щоб взяти один кг маси в обидва кінці до Веги.

8. Якщо ви не так прагнете швидко дістатися до Веги, ви можете подорожувати з крейсерською швидкістю\(0.5 \,c\). Розрахуйте кількість палива, як кратну масі корисного навантаження, необхідного для цієї поїздки в обидва кінці.

9. Це повинно бути істотно менше палива, але як довго, ігноруючи прискорення і уповільнення, буде подорож в обидва кінці до Vega (25 c yr away) взяти з відносно повільною швидкістю 0.5 c?

Б. збір палива по дорозі

Один з можливих шляхів подолання проблеми, виявленої вище, полягає в тому, щоб зібрати водень, необхідний для палива по дорозі до Веги. Міжзоряний простір містить приблизно один атом водню на кубічний метр. При досить великому збираючому «роті» можливо, це вирішило б паливну проблему.

Крім проблеми розміру «рота», необхідного для збору достатньої кількості водню, залишається і більш принципова проблема. Водень приблизно знаходиться в стані спокою по відношенню до Vega. Однак в кадрі космічного корабля він рухається в бік корабля з тією ж швидкістю, що і корабель рухається в бік Веги. Таким чином, атоми водню мають велику кінетичну енергію, коли їх черпає корабель. Зіткнення атомів і корабля ефективно сповільнить корабель. Коли кінетична енергія атомів (яка ефективно уповільнює корабель) приблизно дорівнює енергії, яку можна витягти з атомів для прискорення корабля, ця техніка збору палива по шляху стає відносно марною.

1. Встановивши кінетичну енергію зібраних атомів, рівну енергії, яку можна витягти з атомів, обчисліть швидкість, вище якої збір палива в міру руху стає програшною пропозицією.

2. Круїз зі швидкістю, розрахованою вище, ігноруючи прискорення і уповільнення, скільки часу вам знадобиться, щоб досягти Vega?

Космічний корабель, що працює з антиречовиною

Є одна остаточна можливість. Існує реакція, яка має ККД 1,0, де вся присутня початкова маса перетворюється в кінетичну енергію. Це знищення речовини антиречовиною. Якщо протон поєднується з антипротоном, загальна маса обох протонів перетворюється в кінетичну енергію одержуваних фотонів. Якщо ця реакція не забезпечує розумного джерела палива для нашої поїздки в Вегу, то поїздка в Вегу просто нездійсненна.

Існує багато дуже серйозних проблем з використанням аннігіляції матерії антиречовини в якості джерела палива. Перший полягає в тому, що у Всесвіті фактично немає природної антиречовини! Все антиречовину доводиться «будувати». В даний час ми технологічно можемо виробляти невелику кількість антиречовини, тому припустимо, що в майбутньому це не може бути непереборною проблемою. Звичайно, енергія, яка виділяється при знищенні антиречовини, повинна бути «введена» в антиречовину в першу чергу, але це виробництво може бути зроблено на рідній планеті і не потрібно обтяжувати наш космічний корабель. Зберігання великої кількості антиречовини та об'єднання її контрольованим чином на космічному кораблі - це інша історія, але давайте зробимо вигляд, що ми також освоїли це.

1. Уявіть собі ракетний двигун, який контрольованим чином поєднує речовину і антиречовину, і фокусує отримані фотони в щільний промінь, що рухається далеко від корми космічного корабля. Для цього двигуна визначають f, частку корисного навантаження від початкової маси корабля, щоб домогтися крейсерської швидкості\(v\). (Підказка: Корабель по суті можна вважати частинкою маси М в спокої, яка розпадається на великий спалах світла і меншу частку (корисне навантаження) відомої маси, що\(fM\) рухається з відомою швидкістю\(v\). Збережіть як енергію, так і імпульс.)

2. Використовуючи отриманий вище результат, яку частку маси космічного корабля може становити корисне навантаження, і скільки судно повинно складатися з палива?

3. Розрахуйте співвідношення палива до корисного навантаження для космічного корабля з антиматерії. Скільки палива, на кілограм корисного навантаження, потрібно для подорожі в обидва кінці?

Це менш смішно, але все ж вимагає більше мільйона кг палива на кг корисного навантаження.

4. Якщо ви не так прагнете швидко дістатися до Веги, ви можете подорожувати з крейсерською швидкістю 0,8 с.Обчислити кількість палива, як кратну масу корисного навантаження, необхідну для цієї поїздки в обидва кінці.

5. Скільки часу займе така подорож туди і назад при відносно повільній швидкості 0,8 с.

D. Останнє занепокоєння

1. Якби релятивістські подорожі були коли-небудь можливі, ми були б розумними, щоб уникнути зіткнення з будь-яким міжзоряним пилом. Розрахувати кінетичну енергію пилинки (10-6 г), що рухається при 0,8 с.Ця енергія порівнянна з тим, скільки 1000 кг машини їдуть зі швидкістю 65 миль/год?