2.1: Релятивістський імпульс, сила та енергія
- Page ID
- 79251
Одного разу Ейнштейн здійснив революцію в нашому розумінні простору і часу, фізики зіткнулися з монументальним завданням. Вся фізика, до Ейнштейна, базувалася на ідеї абсолютного простору і часу. Після того, як ці поняття були визнані помилковими, всю класичну фізику довелося переглянути в цьому світлі. У цьому розділі ми «переглянемо» наше розуміння імпульсу, сили та енергії.
Релятивістський імпульс
У класичній фізиці імпульс визначається як
\[\vec{p} = m\vec{v}\]
Однак використання цього визначення імпульсу призводить до величини, яка не зберігається у всіх системах відліку під час зіткнень. Однак, якщо імпульс повторно визначається як
\[ \vec{p}= \gamma m \vec{v} \label{eq2}\]
він зберігається під час зіткнень частинок. Тому експериментально релятивістський імпульс визначається Equation\ ref {eq2}.
Релятивістська сила
Після того, як природа підкаже нам правильну формулу, яку слід використовувати для обчислення імпульсу, математика говорить нам, як вимірювати силу та енергію. Сила визначається як похідна за часом імпульсу
\[ \vec{F}= \dfrac{d\vec{p}}{dt} \label{eq5}\]
(У класичній фізиці\(\vec{p} = m\vec{v}\), де рівняння\ ref {eq5} зводиться до\(\vec{F} = m\vec{a}\).)
Рівняння\ ref {eq5} є скалярною формою цього співвідношення і вірно лише для руху в одновимірному. Повна векторна обробка силою складніше, ніж її варто.
Підстановка правильного співвідношення для імпульсу (Equation\ ref {eq2}) на рівняння\ ref {eq5} дає
\[ \begin{align*} \vec{F} &= \dfrac{d (\gamma m \vec{v}) }{dt} \\[5pt] & = \left(\dfrac{d \gamma}{dt} \right) m \vec{v} + \gamma m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt} \right) \\[5pt] &= m \vec{v} \dfrac{d}{dt} \left[ \left(1- \dfrac{v^2}{c^2} \right) ^{-1/2} \right] + \gamma m \vec{a} \end{align*}\]
Використовуйте правило ланцюга для оцінки похідної\(\gamma\)
\[ \begin{align*} \vec{F} &= m\vec{v} \left[ - \dfrac{1}{2} \left( 1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \left( - \dfrac{2v}{c^2} \right) \left( \dfrac{dv}{dt} \right)\right]+ \gamma m \vec{a} \\[5pt] &= m \vec{v} \left[ \dfrac{v}{c^2} \left( 1 - \dfrac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \vec{a} \right]+ \gamma m \vec{a} \end{align*}\]
Фактор з загального фактора\(\gamma ma\),
\[\vec{F} = \gamma m \vec{a} \left[ \dfrac{\dfrac{v^2}{c^2}}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}+1 \right]\]
Знайти спільний знаменник і спростити,
\[\begin{align} \vec{F} &= \gamma m \vec{a} \left[ \dfrac{ \cancel{\dfrac{v^2}{c^2}} + 1 - \cancel{\dfrac{v^2}{c^2}}}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right] \\[5pt] &= \gamma m \vec{a} \left[ \dfrac{1}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right] \\[5pt] &= \gamma^3 m \vec{a} \label{Force5}\end{align} \]
Рівняння\ ref {Force5} - релятивістично правильна форма Другого закону Ньютона, для руху, обмеженого одним виміром. (Фізики рідко використовують силовий підхід при аналізі руху, оскільки імпульс та енергетичний підхід майже завжди корисніший.)
Релятивістська енергія
Кінетична енергія об'єкта визначається як робота, виконана над об'єктом у прискоренні його від спокою до швидкості\(v\).
\[ KE = \int_0^{v} F\, dx\]
Використання нашого результату для релятивістської сили (Equation\ ref {Force5}) дає
\[ KE = \int_0^{v} \gamma ^3 ma \,dx \label{eq16}\]
Змінна інтеграції в Equation\ ref {eq16} є\(x\), але integrand\(v\) виражається\(a\) через і\(v\) (приховано всередині\(\gamma\)). Щоб вирішити цю проблему,
\[\begin{align*} KE &= \int_0^v \gamma^3 m \left( \dfrac{dv}{dt} \right)\,dx \\[5pt] &= \int_0^v \gamma^3 m \left( \dfrac{dx}{dt} \right)\,dv \\[5pt] &= \int_0^v \gamma^3 m v \,dv \\[5pt] &= \int_0^v \dfrac{ m v \,dv}{\left(1 -\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}} \end{align*}\]
Цей інтеграл можна зробити за допомогою простої u-підстановки,
\[ u = 1 - \dfrac{v^2}{c^2}\]
\[du = - \dfrac{2v}{c^2} dv\]
\[\begin{align*} KE &= - \dfrac{mc^2}{2} \int_o^{v} \dfrac{du}{u^{3/2}} \\[5pt] &= - \dfrac{mc^2}{2} \left[ -2 u ^{-1/2} \right] \\[5pt] &= mc^2 \left[ \dfrac{1}{1-\dfrac{v^2}{c^2}} \right]_o^v \\[5pt] &= mc^2 \left[ \dfrac{1}{(1-\dfrac{v^2}{c^2})^1/2} -1 \right] \\[5pt] &=\gamma mc^2 -mc^2 \end{align*}\]
Переставляючи цю врожайність,
\[ \gamma mc^2 = KE + mc^2\]
Ейнштейн визначив термін\(\gamma mc^2\) як сумарну енергію частки. Таким чином, загальна енергія - це сума кінетичної енергії і абсолютно нової форми енергії, енергії спокою. Частинки мають енергію спокою лише завдяки масі. Насправді маса - це просто форма енергії.
\[E_{total} =KE + E_{Rest}\]
Електрон прискорюється через різницю потенціалів 80 кіловольт. Знайдіть кінетичну енергію, загальну енергію, імпульс і швидкість електрона.
Рішення
Наступна колекція рівнянь виражає співвідношення між імпульсом, енергією та швидкістю в спеціальній теорії відносності. (Імпульс часто легше виражається як «\(pc\)», а не «\(p\)», як ви побачите, як тільки почнете працювати проблеми.)
\[p =\gamma mv\]
\[ pc = \gamma mc^2 \left( \dfrac{v}{c}\right)\]
\[ \begin{align*} E_{total} &= \gamma mc^2 \\[5pt] &= KE + mc^2 \end{align*}\]
\[ KE = (\gamma -1) mc^2\]
\[E_{total}^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \label{Etot}\]
Рівняння\ ref {Etot} особливо корисно тим, що дозволяє встановити прямий зв'язок між енергією і імпульсом без необхідності обчислювати швидкість. Доказ цих відносин залишають як вправу.
З електродинаміки кінетична енергія заряду, прискореного через різницю потенціалів,\(V\) є просто добутком заряду (\(q\)) і різниці потенціалів (\(V\)),
\[ \begin{align*} KE &= qV \\[5pt] &= e(80 \times 10^{3} V) = 80 \,keV \end{align*}\]
Замість того, щоб підставляти числове значення заряду на електрон
\[ q = -e = -1.6 \times 10^{-19}\, C\]
в цей вираз (і отримання кінетичної енергії в джоулів) залишимо «е» в рівнянні і використаємо «eV» як одиницю енергії (тобто\(1.0\, eV = 1.6 \times 10^{-19} J\).
Таким чином, кінетична енергія електрона є\(80\, keV\).
Загальна енергія електрона тоді
\[\begin{align*} E_{total} &= KE + mc^2 \\[5pt] &= 80\,keV + 511 \, keV \\[5pt] &= 591 \,keV \end{align*}\]
Імпульс
\[E_{total}^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \]
\[ \begin{align*} pc &= \sqrt{E_{total}^2 - (mc^2)^2} \\[5pt] &= \sqrt{ 591^2 - (511)^2} \\[5pt] &=297\,keV \end{align*}\]
(Знову ж таки, імпульс часто легше виражається як «\(pc\)», а не «\(p\)»)
Швидкість електрона дорівнює
\[pc = \gamma mc^2 \left(\dfrac{v}{c} \right)\]
\[ 296 \,keV = 591 \, keV \left(\dfrac{v}{c} \right)\]
\[ v= 0.503 c\]