4.1: Поляризоване світло та параметри Стокса

Припустимо, що ми хочемо охарактеризувати пучок паралельного однотонного світла. Опис його має включати наступне.

* I t s довжина хвилі або частота. Його довжина хвилі залежить від показника заломлення матеріалу, в якому він рухається, тоді як його частота - ні. Тому, якщо задана довжина хвилі, середовище має бути вказано. Це може бути не завжди реалізовано, але більшість таблиць довжин хвиль спектральних ліній у видимій області спектра наведені для повітря, а не для вакууму. [Насправді для чогось називається «Standard Air» - подробиці про який можна знайти в http://orca.phys.uvic.ca/~tatum/stellatm/atm7.pdf ] S pec i fying частоту, а не довжина хвилі усуває можливу неоднозначність. Спектроскопісти часто цитують хвильнечисло у вакуумі, яке є зворотним довжині хвилі вакууму.

* I ts щільність потоку в Вт м ⁻². Це пов'язано з напруженістю електричного поля електромагнітної хвилі таким чином, який буде розглянуто далі в розділі.

* У своєму стані поляризації. У цьому розділі поляризоване світло, як правило, буде прийнято означати еліптично поляризоване світло, яке включає кругове та лінійно (плоске) поляризоване світло як особливі випадки. Стан поляризації можна описати, вказавши

* центриситет еліпса поляризації

* До орієнтації еліпса поляризації

* t he c hirality (рукоятність) поляризаційного еліпса

* При наявності поляризація повна або часткова, а якщо часткова, то ступінь поляризації.

До о і в тому числі Equation (\(\ref{A15}\)) (сторінка 8) ми будемо вважати, що поляризація загальна. Ми розглянемо часткову поляризацію після цього.

Пол аризоване світло, як правило, описується припускаючи, що в якийсь момент простору кінчик вектора, який представляє напруженість електричного поля, описує еліпс Ліссажу (рис. IV.1).

У т він малює пів-велику вісь a представляє найбільшу величину напруженості електричного поля, в вольт с на метр, протягом циклу, а напівнезначна вісь\( b\) представляють найменшу величину напруженості електричного поля протягом циклу. Якщо ви віддаєте перевагу, ви можете використовувати символи, такі\( E_{max}\) як\( E_{min}\) кінець в\( a\) гнізді з боку\( b\).

Якщо не для того, щоб описати еліпс, нам потрібно описати його розмір, його форму, його орієнтацію і хиральність або рукоятність (тобто обертається вектор за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки).

Природний спосіб зробити це, щоб дати довжину\( a\) напівосновної осі (у вольтах на метр), перевищення жорсткості (\( e\ =\ \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)), т кут,\( \theta\) який велика вісь робить з hor izontal, і, можливо, одне зі слів «за годинниковою стрілкою» або «проти годинникової стрілки». Необхідно буде, однак, чітко дати зрозуміти, чи дивитеся ви, спостерігач, в сторону джерела світла, або дивитеся в напрямку руху світла. Не всі використовують одну і ту ж конвенцію в цьому питанні, і відповідальність лежить на письменнику, щоб зрозуміти, яку конвенцію він або вона використовує. У цьому розділі я припускаю, що ми дивимося на джерело світла. На малюнку IV.1 я намалював e lli pse з h\( \frac{b}{a}\ =\ \frac{1}{2}\) (\( e\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ =\ 0.8660\)) і\( \theta\ =\ 30^{\circ}\).

[Оскільки я написав вищевказаний абзац, я отримав у грудні 2015 року меморандум від Міжнародного астрономічного союзу, в якому говориться, що давно існує конвенція МАС про те, що кут положення слід вважати позитивним у напрямку проти годинникової стрілки для спостерігача, який дивиться на джерело світла. Це насправді конвенція, яку я використовую в цих нотатках. У меморандумі МАС, однак, зазначено, що деякі вчені, які досліджують поляризацію космічного фонового випромінювання, використовують протилежну конвенцію, і, отже, МАС повторює свою рекомендацію, щоб усі астрономи, включаючи тих, хто працює над ЦБ РФ, використовувати вищевказану конвенцію. Це хороший приклад того, що я мав на увазі в попередньому пункті. Я б підкреслив, що, навіть незважаючи на те, що існує конвенція МАС - та, яку я рішуче підтримую - вона зобов'язана вам, щоб переконатися, якщо ви хочете, щоб ваші читачі зрозуміли вас, щоб це було однозначно зрозуміло, коли ви пишете про поляризацію, щодо того, яку конвенцію ви використовуєте. І не просто скажіть «конвенцію МАС». Скажіть, що кути вважаються позитивними, якщо збільшуються проти годинникової стрілки, коли ви звернені до джерела світла. Сподіваюся, що судді та редактори будуть виконувати це!]

Вище не йдеться про те, що щільність потоку пучка пов'язана з напруженістю електричного поля магнітної хвилі el ec t r om. У цьому пункті та наступному ми досліджуємо це співвідношення. Припустимо, для) ex a m pl e, що світло є плоскою поляризованою, і що максимальне значення електричного поля -\( \hat{E}\) вольт с\( \overline{E\ ^{2}}\ =\ \frac{1}{2}\hat{E}\ ^{2}\). Енергія e на одиницю об'єму - це\( \frac{1}{2}\ \epsilon\ \overline{E\ ^{2}}\ =\ \frac{1}{4}\ \epsilon\ \hat{E}\ ^{2}\ \text{J m}^{-3}\), де\( \epsilon\) він - діелектрична проникність середовища, в якій випромінювання рухається. Якщо він рухається зі швидкістю\( v\), щільність потоку пучка дорівнює\( \frac{1}{4}\ v\epsilon\ \hat{E}\ ^{2}\ \ \text{W m}^{-2}\). Швидкість d електромагнітної хвилі в середовищі діелектричної проникності\( \epsilon\) і проникності\( \mu\) задається\( v\ =\ \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}\), тому цей вираз стає\( \frac{1}{4}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\hat{E}\ ^{2}\ =\ \frac{\hat{E}\ ^{2}}{4Z}\), де\( Z\ =\ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\) імпеданс (в s e ns e використовується в електромагнітній теорії) середній. Для більшості прозорих носіїв\( \mu\) дуже близька до\( \mu_{0}\). до проникності вільного простору. Це не стосується діелектричної проникності, яка зазвичай коливається від 1 до декількох десятків разів\( \epsilon_{0}\). F або вакуум, імпеданс має значення близько 377\( \Omega\).

Якщо т світло буде ліптично поляризованим, то вираз для щільності потоку буде\( \frac{a^{2}\ +\ b^{2}}{4Z}\), де\( a\) і\( b\) a повторно електричні поля, описані в попередніх пунктах. Те, що\( \hat{E}\ ^{2}\) for або плоске поляризоване світло може бути замінено на\( a^{2}\ +\ b^{2}\) for або еліптично поляризоване світло повинно стати очевидним пізніше під час обговорення властивості кола директора еліпса.

Хоча найпростіші параметри можуть бути очевидними для використання при описі стану поляризації, справа в тому, що жоден з них не піддається прямому виміру. Що ми можемо відносно легко виміряти, - це інтенсивність світла при перегляді через поляризаційний фільтр, орієнтований під різними кутами. Ми можемо виміряти чотири параметри, відомі як параметр Стокса s, які ми опишемо коротко. Ми можемо виміряти параметри Стокса, і тоді наше завдання буде визначити з них ексцентриситет, орієнтацію і хіральність еліпса поляризації, а також ступінь поляризації.

Перш ніж описувати їх, кілька слів про позначення.

Традиційними символами, що використовуються для опису параметрів Стокса, є IQ UV. Ез може здатися дещо випадковим, тому деякі сучасні автори віддають перевагу більш систематичному,\( S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\ S_{4}\) тоді як деякі вважають за краще\( S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3}\). Якщо ви використовуєте сучасні\( S\) позначення, я б (настійно) рекомендував\( S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3}\) більше\( S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\ S_{4}\). Однак у цих примітках я буду старомодним, і я буду використовувати IQ UV , який, принаймні, має перевагу уникати двозначності над двома можливими \( S\)позначення, і вам не доведеться мені турбуватися, яку версію я використовую.

На малюнку е лінії представляють собою складову електричного поля, пропущеного фільтром. Довжини довгих органічних молекул, вбудованих у фільтр, перпендикулярні цьому напрямку передачі. Світло (тобто коливальне електромагнітне поле), яке коливається паралельно довжинам цих молекул, сильно поглинається через високу анізотропну поляризуемость цих молекул.

Перх aps ми можемо виміряти інтенсивність світла після проходження через фільтр на кожному з цих кутів, а також без фільтра, і якось визначити з цих вимірювань форму і орієнтацію поляризаційного еліпса.

Параметри е Стокса названі на честь британського фізика дев'ятнадцятого століття сера Джорджа Стоукса і можуть називатися параметрами Стокса, параметрами Стокса або параметрами Стокса, але, звичайно, не як параметри Стоука.

Уявімо, що у нас в руці витратомір, і що він може вимірювати щільність потоку, в W m ^{− 2} o f ou r паралельний пучок монохроматичного світла. Хоча ми вважаємо за краще використовувати символ\( F\) для щільності потоку, насправді щільність потоку безперешкодного світла є першим з параметрів Стокса, для якого традиційним символом є I (d), сучасний символ якого є\( S_{0}\) Або\( S_{1}\), в залежності від того, яку книгу ви читаєте.)

No w l et us припустимо, що ми вимірюємо щільність потоку світла після проходження через поляризаційний фільтр, орієнтований під різними кутами, як це запропоновано на малюнку IV.2. Другий і третій параметри Стокса, значить, визначаються

\[ \textbf{Q}\ =\ F_{0}\ -\ F_{90} \tag{1}\label{4.1}\]

і

\[ \textbf{U}\ =\ F_{45}\ -\ F_{135} \tag{2}\label{4.2}\]

Якщо ви не пощастило чи багаті, навряд чи ваш маленький витратомір точно вимірюватиме щільність потоку в абсолютних одиницях SI у Вт м ^{− 2}. Т тому тим з нас більш скромних засобів просто доведеться задовольнятися безрозмірними параметрами Стокса - вимірюються в одиницях так, щоб безперешкодна щільність потоку дорівнювала 1. Визначаємо безрозмірні параметри Стокса (для яких я використовую інший шрифт) по

\[ Q\ =\ \frac{F_{0}\ -\ F_{90}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{Q}}{\text{I}}} \tag{3}\label{4.3}\]

\[ U\ =\ \frac{F_{45}\ -\ F_{135}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{U}}{\text{I}}} \tag{4}\label{4.4}\]

Таким чином, для розмірних параметрів Стокса в W m ^{− 2} (який ми можемо не легко виміряти) я використовую IQ UV . F o r e e безрозмірні параметри Стокса, я використовую\( QUV\). (Немає необхідності в безрозмірному\( I\), тому що це 1.)

Якщо можна визначити ексцентриситет\( e\) і нахил\( \theta\) поляризаційного еліпса від\( Q\) і\( U\). Тут я даю свої відносини без виходів. Я дам висновок у Додатку до цієї глави. На даний момент, то ось відносини:

\[ Q\ =\ \frac{e^{2}\cos 2\theta}{2\ -\ e^{2}} \tag{5}\label{4.5}\]

\[ U\ =\ \frac{e^{2}\sin 2\theta}{2\ -\ e^{2}} \tag{6}\label{4.6}\]

Можливо, більший інтерес представляють розмови з них:

\[ e^{2}\ =\ \frac{2\sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}}}{1\ +\ \sqrt{Q^{2}\ + \ U^{2}}} \tag{7}\label{4.7}\]

\[ \tan 2\theta\ =\ \frac{U}{Q} \tag{8}\label{4.8}\]

У solvi ng Equation (\( \ref{4.8}\)) для\( \theta\), необхідно знати ознаки\( U\) і\( Q\) окремо, щоб уникнути неоднозначності квадранта. Надання\( \arctan 2\) функції в калькуляторі або комп'ютері значно полегшує це.

У таблиці e нижче наведено зразок поляризаційних еліпсів для різних комбінацій\( Q\) і\( U\). З або або причин, які стануть очевидними під час виведення формул у Додатку, всі elllips es намальовані такими, що\( a^{2}\ +\ b^{2}\) є однаковими для кожного. Це гарантує, що щільність потоку для кожного однакова.

Таким чином, поки ми мали справу з параметрами Стокса I (залежними від щільності потоку світла) та\( Q\) d\( U\) (пов'язані з формою та орієнтацією еліпса поляризації). Тепер ми повинні описати S tokes параметр V, і d як він пов'язаний з хиральністю (ручністю) еліпса. З цього приводу, коли я використовую слова «за годинниковою стрілкою» та «проти годинникової стрілки», я припускаю, що ми дивимося на джерело світла.

Якщо ми реальні l y хочемо знати полярність, нам потрібно мати хороший дослідницький грант і мати фільтр, який пропускає тільки кругово поляризоване світло. Лінійний поляризатор в поєднанні з четвертьволновой пластиною зробить це. Я візьму, що фільтр пропускає тільки світло, яке кругово поляризується за годинниковою стрілкою. Припустимо, щільність потоку після проходження через такий фільтр є\( F_{C}\) . Е. S токи V p param et er визначається як

\[ \textbf{V}\ =\ 2F_{C}\ -\ I, \tag{9}\label{4.9}\]

або, в безрозмірному вигляді,

\[ V\ =\ \frac{2F_{C}}{F}\ -1. \tag{10}\label{4.10}\]

Буде помічено, що цей параметр (як і інші) коливається від −1 (if) до +1 (if\( F_{C}=0\)), а отже, негативний\( V\) означає поляризацію проти годинникової стрілки, а позитивний\( V\) - поляризацію за годинниковою стрілкою.\( F_{C}=1\) Ми також покажемо в Додатку, що (за умови дотримання важливої умови - див. Нижче),\( V\) пов'язаний з ексцентриситетом шляхом

\[ V^{2}\ =\ \frac{4(1-e^{2})}{(2-e^{2})^{2}}. \tag{11}\label{4.11}\]

Це означає, що\( V=0\) має на увазі\( e=1\), а значить і лінійну поляризацію (для якої немає хіральності). Крім того,\( V^{2}=1\) має на увазі\( e=1\), а значить і кругова поляризація. І навпаки

\[ e^{2}=\frac{2(-1+V^{2}+\sqrt{1-V^{2}})}{V^{2}} \tag{12}\label{4.12}\]

Таким чином, не можна визначити як хиральність, так і ексцентриситет (але не\( \theta\)) з\( V\) поодинці. На малюнку IV.3 показано співвідношення між\( |V|\) і\( e\).

Ця надмірність повинна означати\( Q\), що,\( U\) і не\( V\) є незалежними, і дійсно це буде спостерігатися з рівнянь (\( \ref{4.5}\)), (\( \ref{4.6}\)) і (\( \ref{4.11}\)) що

\[ Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ 1. \tag{13}\label{4.13}\]

З точки зору розмірних параметрів Стокса:

\[ \bf{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ I^{2}}. \tag{14}\label{4.14}\]

В одному з\( S\) позначень це було б зручно

\[ S^2_1 + S^2_2 + S^2_3 = S^2_0. \tag{15}\label{4.15}\]

Просто перед Equation (\( \ref{4.11}\)) ми посилалися на важливу умову. Рівняння (\( \ref{4.11}\)) - (\( \ref{4.15}\)) та рисунок IV. 3, а повторно дійсні лише для випадку загальної еліптичної поляризації. Випадок часткової поляризації обговорюється в наступному. Розділ про часткову поляризацію не слід розглядати як відносно неважливе запізнення, оскільки більшість джерел поляризованого світла, з якими стикається, швидше за все, частково поляризовані, а не повністю поляризовані.

Партія Аль Поляризація

До цього моменту ми припустили, що ми були стурбовані однією когерентною хвилею з одним чітко визначеним станом поляризації. На практиці ми рідко це бачимо, і нам частіше доводиться стикатися з частково поляризованим світлом. Більшість з нас мають досить гарне уявлення про те, що мається на увазі під світлом, який частково плоский поляризований горизонтально. Ми маємо на увазі, що світло здебільшого такий:

але т ось також трохи цього:

Але якби це було так з двома когерентними хвилями, це призвело б, якби вони були в фазі, в цьому:

або якщо вони не були в фазі, в цьому:

По правді кажучи, якщо ми не дивимось на когерентне джерело світла, наприклад лазер, частково поляризоване світло може бути більше таким:

Це частково плоска поляризована приблизно під кутом 30º, але вона явно не повністю плоска поляризована. Частково поляризоване світло можна описати як суму повністю поляризованого компонента плюс unpol arized компонента. Таким чином, ми могли б описати ситуацію, проілюстровану вище, приблизно таким чином:

Pa rti союзник еліптичного поляризованого світла може бути описаний повністю еліптично поляризованим компонентом, а також неполяризованим компонентом:

Якби ми могли якось окремо виміряти щільність потоку поляризованих (p) і неполяризованих (u) c компонентів, ми могли б визначити ступінь поляризації за

\[ p\ =\ \frac{F_{p}}{F_{p}\ +\ F_{u}} \tag{16}\label{4.16}\]

Якщо ми знаємо, що світло частково плоске (лінійно) поляризоване, як на малюнку IV.5 (а не еліптично поляризоване, як на малюнку IV.6), ми можемо виміряти це досить легко. Помістіть поляризаційний фільтр перед джерелом і обертайте його до тих пір, поки щільність переданого потоку не пройде максимум,\( F_{\text{max}}\). а потім через h ще 90º, поки він не пройде через мінімум,\( F_{\text{min}}\). Це дасть вам ступінь поляризації від.

\[ p\ =\ \frac{F_{\text{max}}\ -\ F_{\text{min}}}{F_{\text{max}}\ +\ F_{\text{min}}}. \tag{17}\label{4.17}\]

і, звичайно, це також дає вам кут поляризації. Це, звичайно, стосується лише світла, який, як ви знаєте, частково лінійно поляризований. Це не підійде для частково еліптично поляризованого світла.

Нагадаємо, що

\[ Q\ =\ \frac{F_{0}\ -\ F_{90}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{Q}}{\text{I}}} \tag{3}\label{4.3b}\]

і

\[ U\ =\ \frac{F_{45}\ -\ F_{135}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{U}}{\text{I}}} \tag{4}\label{4.4b}\]

Якщо джерело частково плоский поляризований, кожне з вимірювань\( F_{0},F_{90},F_{45},F_{135}\) включає загальну лінійну або еліптичну складову та неполяризовану складову. Однак неполяризована складова однакова для кожного з цих чотирьох вимірювань. Отже, Q і U описують лише «загальний» компонент. Таким чином, всі рівняння до і включаючи Equation (\( \ref{4.8}\)), а також таблиця, що ілюструє форму еліпса як функції Q і U, все ще дійсні для «загальної» складової.

Параметр\( V\), однак, був визначений у рівняннях 9 та 10 шляхом

\[ \textbf{V}\ =\ 2F_{C}\ -\ I, \tag{9}\label{4.9b}\]

або, в безрозмірному вигляді,

\[ V\ =\ \frac{2F_{C}}{F}\ -1. \tag{10}\label{4.10b}\]

\( F_{C}\) a і\( F\) eac h містять «тотал» і неполяризовану складову, так що, на відміну від\( Q\) і\( U\), «тотальний» спільний компонент не виділяється.

Reca l l з Е рівнянь (\( \ref{4.13}\)) і (\( \ref{4.14}\)) що\( \bf{I\ =\ \sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}}}\) і\( Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ 1\).

Se були отримані для повністю еліптично (що включає лінійно) поляризоване світло. Для світла, який частково поляризований, він застосовується лише до «загальної» частини, так що для частково поляризованого світла,

\[ \text{p}\ =\ \sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}}. \tag{18}\label{4.18}\]

З E рівнянь (\( \ref{4.5}\)), (\( \ref{4.6}\)) і (\( \ref{4.18}\)) визначаємо, що

\[ \text{p}\ =\ \sqrt{V^{2}\ +\ \frac{e^{4}}{(2-e^{2})^{2}}} \tag{19}\label{4.19}\]

Таким чином, від t вимірювання\( F_{0},F_{90},F_{45},F_{135}\) та до їх комбінацій\( IQUV\) ми закінчили, для частково поляризованого світла, ступінь поляризації та ексцентриситету, орієнтації та хиральності поляризаційного еліпса.

Equa tion (\( \ref{4.18}\)) говорить про те, що стан поляризації світла можна описати точкою в\( QUV\) s pa c e. Це поняття описується сферою Пуанкаре:

У цьому контексті я часто бачив позначення\( 2\psi\) для\( \phi\) і\( 2\chi\) для 90º −\( \theta\). (\( \theta\)Тут, звичайно, не те саме, що на\( \theta\) малюнку IV.1.

Припустимо, для початку, що у нас повна поляризація, так що\( p=1\). Читачеві пропонується уявити форму поляризаційного еліпса в будь-якій точці на поверхні сфери. Нагадаємо, зокрема, що\( V=0\) має на увазі лінійну поляризацію, і\( V=\pm1\) має на увазі кругову поляризацію. Таким чином, y w він навколо екватора Пуанкаре представляє лінійну поляризацію, а на полюсах ми маємо кругову поляризацію.

Давайте подивимося вздовж меридіана довготи з\( \phi\) = 0 (\( U\)= 0). Коли ми йдемо від «північного полюса» до t він «південний полюс»,\( V\) йде від +1 (круговий) через 0 (лінійний) до −1 (круговий) і\( Q\) йде від 0 (c circular) через 1 (лінійний) до 0 (круговий). Корисно (суттєво) буде звернутися до таблиці на сторінці 5.

Читачеві тепер пропонується подумати (при цьому посилаючись на таблицю на сторінці 5) ситуацію вздовж меридіана з φ = 90º. А потім спробувати інші меридіани, в кінцевому підсумку покривши сферу еліпсами. Це трохи вище моїх художніх здібностей, але я знайшов дуже хороший, Google для сфери Пуанкаре. Виберіть «Зображення для сфери пуанкаре». Там є кілька чудових образів. Мені особливо подобається помаранчевий колір з Університету Арізони. Якщо натиснути на неї, сфера обертається, і ви зможете побачити всю сферу навколо.

ДОДАТОК

У статті вище я описав параметри Стокса, і пов'язував їх з формою, орієнтацією і хиральністю еліпса поляризації наступним чином (для повної поляризації):

\( Q\ =\ \frac{e^{2}\cos2\theta}{2-e^{2}} \qquad U\ =\ \frac{e^{2}\sin2\theta}{2-e^{2}} \qquad V^{2}\ =\ \frac{4(1-e^{2})}{(2-e^{2})^{2}}\)

У цьому Додатку я вивожу ці відносини.

Перш ніж почати, нагадаємо собі про встановлену властивість еліпса напіввеликих і напівмалих осей\( b\),\( a\) а саме, що місце кутів всіх обмежувальних прямокутників до e llips e - це коло, відоме як директор коло, який має радіус\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Це проілюстровано на рис. A1, на якій я намалював три обмежуючі прямокутники. Півдіагоналі всіх прямокутників, що описують коло, мають однакову довжину, а саме\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Доказ цієї теореми можна знайти в http://or c a.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm2.pd f , S ec ti on 2.3, або в багатьох книгах про властивості конічних перерізів.

Reca l знаю про значення\( a\) band\( b\). Вони є напівмажорними та напівнезначними осями еліпса, але вони також є найбільшими та найменшими значеннями електричного поля протягом циклу. Нагадаємо також, що енергія на одиницю об'єму електричного поля пропорційна квадрату напруженості електричного поля. Коли світло спостерігається прямим без втручання поляризаційного фільтра, потік щільності світла пропорційний, то, до\( a^{2}+b^{2}\). Тобто параметр Стокса\( I\) пропорційно onal квадрату радіуса кола директора.

У чому випливає, ми матимемо привід віднести еліпс поляризації до трьох прямокутних систем координат.

я . c система координат (\( x, y\)), в якій осі координат збігаються з осями поляризаційного еліпса.

II . Система координат c (\( x_{1}, y_{1}\)), i n в якій осі координат горизонтальні і вертикальні - або, якщо точніше, паралельно осям передачі перших двох фільтрів, проілюстрованих на малюнку IV.1.

iii . Система координат c (\( x_{2}, y_{2}\)), i n в якій осі координат паралельні осям пропускання двох останніх фільтрів, проілюстрованих на малюнку IV.1.

Еліпсис, що відноситься до цих трьох систем координат, показаний на малюнках A2, A3, A4. На кожному з цих малюнків я намалював обмежуючий прямокутник і коло директора. Щільність потоку випромінювання пропорційна квадрату діагоналі прямокутника, який однаковий у всіх трьох d ra крилах, і дорівнює діаметру кола директора, а саме\( 2\sqrt{a^{2}\ +\ b^{2}}\).

Якщо він також\( a,\ b,\ a_{1},\ b_{1},\ a_{2},\ b_{2}\) вказав довжини на цих кресленнях. Вони представляють m a максимальні значення складової електричного поля протягом циклу в напрямках шести осей. Дійсно, читач може навіть віддати перевагу альтернативні позначення:

\( a\ =\ \hat{E}_{x}\)

\( b\ =\ \hat{E}_{y}\)

\( a_{1}\ =\ \hat{E}_{x_{1}}\)

\( b_{1}\ =\ \hat{E}_{y_{1}}\)

\( a_{2}\ =\ \hat{E}_{x_{2}}\)

\( b_{2}\ =\ \hat{E}_{y_{2}}\)

Перше позначення простіше для аналізу геометрії еліпса. Друге позначення нагадує нам про фізичному значенні символів. Дійсно, показання нашого витратоміра пропорційно тональні, послідовно, до\( \hat{E}_{x}\ ^{2}\ +\ \hat{E}_{y}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{1}}\ ^{2}\ ,\ \hat{E}_{y_{1}}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{2}}\ ^{2}\ ,\ \hat{E}_{y_{2}}\ ^{2},\) або, в\( a,b\) позначеннях\( a^{2}\ +\ b^{2},\ a_{1}^{2},\ \ b_{1}^{2},\ a_{2}^{2}\ ,\ b_{2}^{2},\). Параметри St Kokes\( I,Q,U\) пропорційні послідовно або в\( a,b\) позначенні\( a^{2}\ +\ b^{2},\ a_{1}^{2}\ -\ b_{1}^{2},\ a_{2}^{2}\ -\ b_{2}^{2}\).\( \hat{E}_{x}\ ^{2}\ +\ \hat{E}_{y}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{1}}\ ^{2}\ -\ \hat{E}_{y_{1}}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{2}}\ ^{2}\ -\ \hat{E}_{y_{2}}\ ^{2},\)

Зверніться до малюнка А2. Рівняння до еліпса, що відноситься до цієї системи координат, є знайомим

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}\ +\ \frac{y^{2}}{b^{2}}\ =\ 1, \tag{A1}\label{A1}\]

Однак я хочу висловити довжини (напруженість електричного поля) в таких одиницях\( a^{2}\ +\ b^{2}\ =1\), що, і, далі, я хочу написати рівняння через ексцентриситет\( e\ =\ \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\). У цьому випадку Equation (\( \ref{A1}\)) стає

\[ fx^{2}\ +\ \text{g}y^{2}\ =\ 1 \tag{A2}\label{A2}\]

де

\[ f\ =\ 2\ -\ e^{2}\ \text{and}\ \text{g}\ =\ \frac{2-e^{2}}{1-e^{2}}. \tag{A3}\label{A3}\]

Тепер зверніться до малюнка А3. Якщо велика вісь еліпса робить кут\( \theta\) з горизонталлю, системи координат пов'язані

\[ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix}c & s \\ -s & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}, \tag{A4}\label{A4}\]

\( c = \cos \theta\)і\(s = \sin \theta\)

Використовуючи рівняння (\(\ref{A2}\)) та (\(\ref{A4}\)), ми знаходимо, що рівняння еліпса, що відноситься до системи\((x_1 , y_1)\) координат, є

\[(fc^2 + gs^2)x^2_1 - 2(g-f)scx_1y_1 + (fs^2+gc^2)y^2_1 = 1 \tag{A5}\label{A5}\]

Тепер ми бажаємо знайти\(a_1 = \hat{E}_{x_1}\) і\(b_1 = \hat{E}_{y_1}\), максимальну горизонтальну і вертикальну складові електричного поля. Довжину\(a_1\) можна дізнатися наступним чином. Вертикальна лінія\( x_1 = a_1\) перетинає цей еліпс при значеннях\(y_1\) заданих

\[(fs^2 + gc^2)y^2_1 - 2(g-f)sca_1y_1 + (fc^2+gs^2)a^2_1 - 1 = 0 \tag{A6}\label{A6}\]

Але лінія\( x_1 = a_1\) повинна бути вертикальною дотичною до еліпса, і тому квадратне рівняння (\(\ref{A6}\)) повинно мати два рівних дійсних кореня, що говорить нам, після невеликої алгебри, що

\[a^2_1 = \dfrac{fs^2+gc^2}{fg}. \tag{A7}\label{A7}\]

Подібний аналіз, починаючи з горизонтальної лінії,\(y_1 = b_1\) виявляє, що

\[b^2_1 = \dfrac{fc^2+gs^2}{fg}. \tag{A8}\label{A8}\]

Для перевірки правильності алгебри тепер можна перевірити це\(a^2_1 + b^2_1= 1\).

Параметр Stokes Q є\(a^2_1 - b^2_1\), і після деяких алгебри та тригонометричних ідентичностей встановлено, що

\[Q = a^2_1 - b^2_1 = \dfrac{e^2\cos 2 \theta}{2-e^2}, \tag{A9}\label{A9}\]

який є одним із відносин, які ми шукали.

Тепер зверніться до малюнка А3. Системи\(x,y\) координат\(x_2,y_2\) та пов'язані між собою

\[\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}C -S\\ S \quad C\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_2\\ y_2\end{array}\right), \tag{A10}\label{A10}\]

де

\[S = \sin (45 ^{\circ}- \theta) \quad \text{and} \quad C = \cos(45 ^{\circ}- \theta). \tag{A11}\label{A11}\]

Використовуючи рівняння (\(\ref{A2}\)) та (\(\ref{A10}\)), ми виявимо, що рівняння еліпса, що відноситься до системи\((x_2 , y_2)\) координат, є

\[(fC^2 + gS^2)x^2_2 + 2(g-f)SCx_2y_2 + (fS^2+gC^2)y^2_2 = 1 \tag{A12}\label{A12}\]

Для отримання\(U\) тепер приступимо аналогічним чином до аналізу\(Q\). Поєднуємо це рівняння з\( x_2 = a_2 \) і ставимо в умові, що отримане квадратне рівняння в\(y_2\) має два рівних дійсних кореня, щоб отримати

\[a^2_2 = \dfrac{fS^2 + gC^2}{fg} \tag{A13}\label{A13}\]

Аналогічним чином, за допомогою комбінації з\(y_2 = b_2\), отримуємо

\[b^2_2 = \dfrac{fC^2 + gS^2}{fg} \tag{A14}\label{A14}\]

Правильність алгебри можна перевірити, перевіривши це\(a^2_2+b^2_2 = 1\). Потім\(U\), що є\(a^2_2 - b^2_2\), можна обчислити за допомогою деякої алгебри і тригонометрії, щоб бути

\[U = \dfrac{e^2 \sin 2 \theta}{2-e^2}.\tag{A15}\label{A15}\]

І це хороший час, щоб нагадати собі рівняння (\(\ref{A9}\))

На наших малюнках в цьому розділі ми взяли\(b = \dfrac{1}{2}a, e= \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \theta = 30^{\circ}\) так\(Q = 0.3, U = 0.5196\).

Тепер для хіральності або передачі випромінювання. З вимірювань\(Q\) і\(U\) ми вивели ексцентриситет та орієнтацію еліпса Ліссажу, але ми ще не знаємо, чи рухається кінчик вектора Е за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки (як видно при погляді на джерело світла). Про це нам скаже\(V\) параметр Стокса.

Добре відомо, що еліпс Ліссажу може генеруватися як результат двох простих гармонічних лінійних коливань під прямим кутом один до одного. Для того, щоб зрозуміти параметр V, необхідно розуміти, що еліпс Ліссажу також може генеруватися двома круговими рухами, різної амплітуди, і рухатися в протилежних напрямках. Якщо напівмажорні та напівмалі осі еліпса Ліссажу відповідно\(a\) і\(b\), радіуси кругових складових дорівнюють\(\dfrac{1}{2}(a+b\) і\(\dfrac{1}{2}(a-b\) (див. Рис. 11).

Для вимірювання\(V\) розміщуємо перед джерелом світла фільтр, який пропускає лише циркулярно поляризоване світло. Ми припустимо, що він пропускає світло, яке є лівою рукою (проти годинникової стрілки), як видно при погляді на джерело світла. Тобто він буде перешкоджати меншому колу малюнка А5 і передавати велике коло.

Якщо частка щільності потоку, що передається фільтром\(f\), дорівнює\(V\) параметру Стокса\(2f-1\).

Приклади:

Якщо світло ліворуч круговою поляризацією, фільтр буде передавати все світло. Тобто,\(f=1, V=1\).

Якщо світло правою рукою циркулярно поляризований, фільтр не передаватиме жодного світла. Тобто,\(f = 0, V=-1\).

Якщо світло лінійно поляризоване, фільтр буде пропускати половину світла. (Лінійно поляризоване світло може генеруватися двома рівними колами, що рухаються в протилежних напрямках.) Тобто,\(f = \dfrac{1}{2}, V= 0\).

На малюнку А5,\(b = \dfrac{1}{2}\). Радіус малого кола (який перешкоджає) є\(\dfrac{1}{4}a\) і радіус великого кола (який передається) дорівнює\(\dfrac{3}{4}a\). Щільність потоку нефільтрованого світла пропорційна\(a^2 + b^2 = \dfrac{5}{4} a^2\). Щільність потоку світла, що пропускається, пропорційна\(\dfrac{9}{8}a^2\). (Щільність потоку, нагадаємо, пропорційна квадрату директорського кола. Радіус директора кола великого кола дорівнює\(\sqrt{(\dfrac{3}{4}a)^2 + (\dfrac{3}{4}a^2)} = \sqrt{(\dfrac{8}{9}a)^2}\). Отже, ми маємо\(f =0.9, V = 0.8\).

Якби ми перевернули всі стрілки на малюнку A5, це було б більше коло, яке було б заблоковано, а мале коло пройшло. Щільність потоку світла, що пропускається, тоді пропорційна\(\dfrac{1}{8}a^2\). Отже, ми маємо\(f = 0.1, V = -0.8\).

При цьому позитивний\(V\) означає, що кінчик Е -вектора рухається проти годинникової стрілки, а негативний\(V \) означає, що він обертається за годинниковою стрілкою.

Взагалі радіус великого кола є\(\dfrac{1}{2} (a+b)\) і радіус його директорської окружності дорівнює\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\). Якщо це коло, яке передається, щільність пропущеного потоку пропорційна\(\dfrac{1}{2} (a+b)^2\).

У нас є, значить,\(f = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a+b)^2}{a^2+b^2}, V =\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\). Це означає, до речі,\(V\) що пропорційно площі еліпса. Якщо візьмемо\(a^2 + b^2 = 1\), то\(V = 2ab\). Якщо це мале коло, яке передається,\(f = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a-b)^2}{a^2+b^2}, V =\dfrac{-2ab}{a^2+b^2}\).

Оскільки ексцентриситет еліпса задається\(e^2 = 1- \dfrac{b^2}{a^2}\), ми можемо висловити\(V^2\) в терміні ексцентриситету, таким чином

\[V^2 = \dfrac{4(1-e^2)}{(2-e^2)^2}.\tag{A16}\label{A16}\]

Це рівняння справедливе для повністю поляризованого світла. Для частково поляризованого світла поверніться до основного тексту.