11.3: Причинність та функція Гріна в часовій області

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79756

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Спробуємо перетворити Eq. (11.2.13) у функцію Гріна у часовій області за допомогою зворотного перетворення Фур'є:\[\begin{align} G(x,x';t-t') &= \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \, e^{-i\omega (t-t')} \, G(x,x'; \omega) \\ \nonumber &= \int_{-\infty}^\infty d\omega \, \frac{e^{i\omega \left[|x-x'| - (t-t')\right]}}{4\pi i\omega}\qquad (?!?) \nonumber\end{align}\] Існує проблема в останньому рядку: інтеграл проходить через реальну\(\omega\) лінію, але integrand має полюс на дійсній осі, що робить\(\omega = 0\) інтегральний непрозначений.

Щоб вирішити це, ми перевизначаємо\(G(x,x';\omega)\) як інтеграл над деформованим контуром\(\Gamma\):\[G(x,x';t-t') \equiv \int_\Gamma d\omega \, \frac{e^{i\omega \left[|x-x'| - (t-t')\right]}}{4\pi i\omega}.\] Ми виберемо деформований контур дуже специфічним чином, що виявляється вибором, який задовольняє причинність. Як показано на лівому підграфіку малюнка нижче, він проходить уздовж реальної осі, але пропускає над полюсом біля початку.

Інтеграл може бути вирішений або замиканням контуру у верхній півплощині, або в нижній півплощині. Якщо замкнути контур вище, то контур петлі не обкладає полюс, а значить\(G(x,x';t-t') = 0\). Відповідно до леми Йордана, ми повинні зробити це, якщо показник у integrand підпорядковується\[|x-x'| - (t-t') > 0 \quad \Rightarrow \quad |x-x'| > t-t'.\] Ця нерівність задовольняється у двох випадках: або (i)\(t < t'\) (в цьому випадку нерівність задовольняється для всіх,\(x,x'\) тому що\(|x-x'|\) є строго ненегативною), або (ii )\(t > t'\) але значення менше\(t-t'\), ніж\(|x-x'|\). Щоб зрозуміти фізичний сенс цих двох випадків, нагадайте, що\(G(x,x';t-t')\) представляє поле в положенні\(x\) і час, що виникають в\(t\) результаті імпульсу в просторово-часовій точці\((x',t')\). Таким чином, випадок (i) відповідає часу, що відбуваються перед пульсом, а випадок (ii) відповідає часу, що відбуваються після пульсу, але занадто далеко від місця пульсу, щоб хвиля досягла вчасно.

Для іншого випадку теорема залишку дає\[G(x,x';t-t') = -1/2.\] Просторово-часова діаграма нижче підсумовує наведені вище результати:\(|x-x'| - (t-t') < 0\)

Отримані в часовій області хвильові функції можуть бути записані як\[\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty dx' \int_{-\infty}^\infty dt' \left[-\frac{1}{2}\,\Theta(t-t' - |x-x'|)\right] f(x',t'),\] де\(\Theta\) позначає одиницю крокової функції. Іншими словами, хвильова функція в кожній просторово-часовій точці\((x,t)\) отримує рівний внесок від джерел\(f(x',t')\) у просторово-часових точках,\((x',t')\) що лежать в межах «минулого світлового конуса».